Metodes d’enumeracio i combinatoria , Apuntes de Matemática Discreta

¡Descarga Metodes d’enumeracio i combinatoria y más Apuntes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity!

Metodes d’enumeraci´o i combinatoria

Matem`atica discreta

Grau en Matem`atiques

Universitat de Val`encia

Leila Lebtahi

Continguts

1 Tecniques de recompte Cas 1. Variacions amb repetici´o Cas 2. Variacions ordinaries Cas 3. Combinacions ordinaries Cas 4. Permutacions amb repetici´o Cas 5. Combinacions amb repetici´o Resum 2 El nombre de subconjunts d’un conjunt 3 Principi d’inclusi´o-exclusi´o Comptant monomis Comptant carreteres 4 Variacions sobre el principi d’inclusi´o-exclusi´o 5 Funcions generatrius Nombres binomials generalitzats Desenvolupaments de Taylor Un ´ultim exemple 6 Annex: Resum de tecniques combinat`ories 7 Exercicis

T`ecniques de recompte

Exemple: Volem formar una junta directiva formada per un president, un secretari i un tresorer entre cinc possibles candidats: Anna, Biel, Carles, Daniel i Erika. Quantes possibles juntes directives podem formar si permetem que una persona puga assumir m´es d’un c`arrec?

Siga C = {Anna, Biel, Carles, Daniel, Erika}. Si permetem repeticions en els c`arrecs, aleshores, ens estan preguntant pel cardinal del conjunt C × C × C , ´es a dir:

|C × C × C | = |C |^3 = 5^3 = 125.

Si no es permeten repeticions, ´es a dir, si ja s’ha triat president, aleshores el secretari es tria entre les quatre persones restants, i aix´ı successivament. En aquest cas,

|C × (C − {president}) × (C − {president, secretari})| = 5 · 4 · 3 = 60.

En general, tractarem de comptar de quantes maneres diferents es poden triar k objectes d’un conjunt de n elements. Ara b´e, hi ha diferents possibilitats.

Cas 1. Variacions amb repetici´o

Els n elements s´on distints entre si.

Pot haver-hi repeticions (per tant, k pot ser major que n).

L’ordre en la tria importa.

Aleshores el nombre de variacions amb repetici´o de n elements agafats de k en k ´es

VR(n, k) = nk

Permutacions

Cas particular k = n:

Es important perqu`^ ´ e cada elecci´o, on l’ordre importa, de n elements d’un conjunt d’exactament n elements ´es el mateix que una aplicaci´o bijectiva del conjunt { 1 , 2 ,... , n} en si mateix.

Aix`o no ´es una altra cosa que una permutaci´o del conjunt { 1 , 2 ,... , n}.

Per tant, el nombre de permutacions del conjunt { 1 , 2 ,... , n} ´es

n!

Cas 3. Combinacions ordin`aries

Els n elements s´on distints entre si.

No hi ha repeticions (per tant, k ≤ n).

L’ordre en la tria no importa.

Aleshores el nombre de combinacions d’un conjunt de n elements agafats de k en k ´es el nombre combinatori

C (n, k) =

n k

n! k!(n − k)!

0 ≤ k ≤ n.

Noteu que el que estem fent en aquest cas ´es triar un subconjunt de k elements d’un conjunt que t´e n elements. Per tant, la quantitat de subconjunts de k elements d’un conjunt que t´e n elements ´es el nombre combinatori

(n k

Cas 4. Permutacions amb repetici´o

En general, si hi ha n 1 elements del primer tipus, n 2 elements del segon tipus,

... i ns elements de l’´ultim, de manera que

n 1 + n 2 + · · · + ns = n

aleshores, el nombre de permutacions amb repetici´o d’un conjunt de s elements {a 1 , a 2 ,... , as } en el que l’element ai es repeteix ni vegades, amb n 1 + n 2 + · · · + ns = n, ni ≥ 1, ´es

n! n 1! n 2!... ns!

Per similitud amb el cas anterior on apareixien els nombres combinatoris, es definixen els nombres multinomials com a

PR(n 1 , n 2 ,... , ns ) =

n n 1 , n 2 ,... , ns

n! n 1! n 2!... ns!

Cas 5. Combinacions amb repetici´o

Els n elements s´on distints entre si. Pot haver-hi repeticions. L’ordre en la tria no importa.

Exemples: 1 Suposem que el conjunt del qual hem de triar 2 elements ´es el {A, B, C }. Imagineu per exemple que dos persones han de triar cadascuna un gelat entre tres possibles sabors, A, B, C. Per tant, les possibles eleccions s´on

AA, BB, CC , AB, AC , BC.

La resposta ,per tant, seria 6. 2 Anem a complicar-ho un poc m´es. Un grup de 10 amics se’n van d’excursi´o i un d’ells s’encarrega de comprar una beguda per a cada u, podent triar entre aigua, batut o refresc. De quantes maneres diferents pot realitzar-se l’enc`arrec?

Cas 5. Combinacions amb repetici´o

Aix´ı que cada una de les combinacions es correspon amb una forma de triar on col·locar els guions, ´es a dir de 12 possibles posicions triar dos. Com no importa en quin ordre es col·loquen els guions i no poden estar els dos a la mateixa posici´o, aqueix nombre sera igual a les combinacions de 12 elements presos de 2 en 2, per tant sera: ( 12 2

En general, si hem de formar cadenes de k elements d’un conjunt de n elements, els grups es formaran amb k buits i amb n − 1 guions. Per tant, i segons el que hem fet en el Cas 4, el nombre de combinacions amb repetici´o de n elements agafats de k en k ´es

CR(n, k) = (n^ +^ k^ −^ 1)! (n − 1)! k!

n + k − 1 k

n + k − 1 n − 1

Resum

A tall de resum podem presentar la seg¨uent taula per als quatre casos en qu`e es trien r elements d’un conjunt que t´e n elements distints entre si:

 Rep.?  Ordre? 

S´ı No(r ≤ n)

S´ı Variacions amb repetici´o Variacions ordin`aries

No Combinacions amb repetici´o Combinacions ordin`aries

Les variacions ordin`aries tenen el cas particular de les permutacions que ´es quan r = n. I d’una altra banda tenim el cas de les permutations amb repetici´o que ´es quan en el conjunt on estem triant hi ha elements iguals entre si.

El nombre de subconjunts d’un conjunt

Vist d’aquesta manera ´es com si estigu´erem en el Cas 1. Estem formant cadenes de 3 elements triats d’un conjunt que nom´es t´e dos elements {N, S}. Per tant, el nombre de subconjunts de X ´es VR(2, 3) = 2^3 = 8.

La fam´ılia de conjunts formada per tots els subconjunts d’un conjunt, X , es denota per P(X ). Es pot demostrar, per tant, que

|P(X )| = 2|X^ |

Recordem la f´ormula del binomi de Newton:

(a + b)n^ =

n 1

an^ +

n 1

an−^1 b +

n 2

an−^2 b^2 + · · · +

n n

bn

la qual es pot demostrar f`acilment per inducci´o. Si la particularitzem per a a = 1 i b = x, tenim que

(1 + x)n^ =

n 1

n 1

x +

n 2

x^2 + · · · +

n n

xn

El nombre de subconjunts d’un conjunt

Els coeficients de cada monomi s´on un nombre combinatori els quals els hem fet servir per a comptar elements d’algun conjunt. Per exemple, el coeficient de x^7 en (1 + x)^20 ´es C 20 , 7 =

7

, que ´es la quantitat de subconjunts de 7 elements que t´e un conjunt de 20 elements.

Podem aprofitar la f´ormula anterior per a trobar diversos resultats. Per exemple, si posem x = 1, tornem a obtenir el resultat seg¨uent:

Corol·lari Per a tot n ∈ N ∑n

i=

n i

= 2n.

Ens fem ara la pregunta seg¨uent:

Quants subconjunts de cardinal parell t´e un conjunt de n elements?

El nombre de subconjunts d’un conjunt

Per tant, la quantitat de subconjunts de cardinal parell que t´e un conjunt de n elements ´es 2 n−^1

Noteu que els dos valors, x = 1 i x = −1, que hem fet servir en la deducci´o s´on les arrels de l’equaci´o x^2 = 1.

La pregunta que tamb´e podem respondre, simplement calculant complementaris, ´es:

Quants subconjunts de cardinal imparell t´e un conjunt de n elements?

Principi d’inclusi´o-exclusi´o

Calcular la quantitat de nombres naturals majors que zero i menors o iguals que 100 que s´on divisibles per 2 ´es ben f`acil. La pregunta ´es determinar el cardinal del subconjunt C 2 del conjunt X = { 1 , 2 ,... , 100 }. Com que, de cada dos naturals consecutius, un d’ells ´es divisible per 2 i l’altre no, aleshores |C 2 | =^100 2

Ara volem calcular la quantitat de nombres naturals majors que zero i menors o iguals que 100 que s´on divisibles per 2 o per 5. Si denotem per C 5 el subconjunt de X format pels naturals divisibles per 5, aleshores ens estan demanant pel cardinal de C 2 ∪ C 5 , ´es a dir, el subconjunt format pels elements que estan en C 2 o en C 5. Hi ha casos molt diversos. Per exemple, el 14 esta en C 2 pero no en C 5 el 15 esta en C 5 pero no en C 2 el 20, que pertany alhora a C 2 i a C 5 , ´es a dir, pertany a C 2 ∩ C 5