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Ingenier´ıa Inform´atica. Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Inform´atica
Tema 2: Series num´ericas
31 de octubre de 2002
En el tema anterior dejamos abierta la cuesti´on de cu´ales son los n´umeros reales. Todos los conjuntos num´ericos se construyen para corregir alguna carencia del conjunto anterior, pero ¿cu´al es la carencia de los n´umeros racionales que se corrige con los reales?
El conjunto de los n´umeros reales se define como: ((R es el ´unico cuerpo ordenado y completo que extiende a Q)). La definici´on de cuerpo ordenado la recordamos en el tema anterior y la de cuerpo completo la damos a continuaci´on:
Un cuerpo ordenado se dice completo si veri- fica la siguiente propiedad: todo conjunto no vacio acotado superiormente tiene una cota superior m´ınima o supremo.
Sin embargo, esta definici´on no responde a la pregun- ta que haciamos anteriormente: ¿c´omo son los n´umeros reales que no son racionales? En realidad no podemos describir lo n´umeros reales de la misma forma que des- cribimos los n´umeros racionales a partir de los enteros o los complejos a partir de los reales, sino que la re- presentaci´on se hace a trav´es de la noci´on de l´ımite de sucesiones. La propiedad de completitud se puede enunciar como: un cuerpo es completo si toda sucesi´on mon´otona y acotada en el cuerpo es convergente; de es- ta forma, los n´umeros reales se definen como los l´ımites de cualquier sucesi´on mon´otona y acotada de n´umeros racionales.
Por ejemplo, afirmar que existe un n´umero real a tal que a^2 = 2 equivale a demostrar que existe una sucesi´on xn tal que l´ım xn = a y a^2 = 2, lo cual es cierto para la sucesi´on definida recursivamente por x 0 = 2, xn+1 = xn 2 +^
xn^.
La sucesi´on an =
1 +^1 n
)n es un ejemplo bastante interesante; esta sucesi´on es creciente y acotada y por lo tanto representa a un n´umero real. Sin embargo, este n´umero real NO puede ser descrito de una forma al- ternativa y por ello lo representamos con una letra: el n´umero e se ((define)) como el l´ımite de esta sucesi´on. Existen otras forma de definir los n´umeros reales; por ejemplo, utilizando la representaci´on decimal, un n´ume- ro entero y una secuencia de decimales describen un n´umero real. Si la secuencia es finita o infinita peri´odi- ca, el n´umero es racional, pero s´ı la secuencia es infinita no peri´odica, el n´umero es irracional. Esta definici´on es equivalente a la anterior, ya que la secuencia de deci- males determina una sucesi´on convergente. La siguiente sucesi´on a 0 = 2′ 4 , a 1 = 2′ 41 , a 2 = 2′ 414 , a 3 = 2′ 4142 , a 4 = 2′ 41421 , a 5 = 2′ 414213 , a 6 = 2′ 4142136 ,... es una sucesi´on convergente a
2, aunque el problema es determinar el t´ermino general en funci´on de n o de forma recursiva. Otra posible forma de describir los n´umeros reales es mediante construcciones geom´etricas. El conjunto de los n´umeros reales se puede representar como una rec- ta en la que se destaca un punto, el correspondiente al n´umero 0; a la izquierda de ´el se representan los reales negativos y a la derecha los positivos. Cualquier distan- cia o longitud de segmento corresponde a un n´umero real, aunque no seamos capaces de calcularla algebrai- camente; por ejemplo, el n´umero
2 corresponde a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1. De la misma forma, la longitud de una semicircunferencia de radio 1 debe corresponder a un n´umero real, sin em- bargo, esta longitud no es un n´umero racional ni puede ser determinada de forma algebraica; sabemos que esta
Curso 2002/03. C´alculo para la Computaci´on. Tema 2. 1
longitud est´a dada por un n´umero irracional que repre- sentamos por π.
El objetivo final de este tema y el siguiente es apren- der a trabajar con sucesiones y aprender a obtener su- cesiones que representen a las magnitudes reales con las que trabajamos habitualmente. Empezamos este tema recordando la noci´on de sucesi´on num´erica y el con- cepto de l´ımite, para posteriormente estudiar un tipo particular de sucesi´on: las series num´ericas.
- Sucesiones num´ericas
Definici´on 1 Una sucesi´on de n´umeros reales es una aplicaci´on a : N → R. Las imagenes de la aplicaci´on se denotan an y se denominan t´erminos de la sucesi´on.
Definici´on 2 Sea an una sucesi´on de n´umeros reales:
- Decimos que an est´a acotada si el conjunto {an}n∈N est´a acotado; es decir, si existe un n´umero real positivo M tal que |an| ≤ M para todo n.
- Decimos que an es creciente si an ≤ an+1 para todo n; y decimos que es estrictamente creciente si an < an+1 para todo n.
- Decimos que an es decreciente si an ≥ an+1 para todo n; y decimos que es estrictamente decreciente si an > an+1 para todo n.
Definici´on 3 Sea an una sucesi´on.
- Decimos que
∈ R es el l´ımite de la sucesi´on an si: Para todo ε > 0 , existe un n´umero natural N tal que |an −| < ε para todo n ≥ N. En tal caso escribimos l´ım an = (^) nl´→∞ım an = y de- cimos que an es convergente y converge a. Si la sucesi´on no es convergente decimos que es diver- gente. - Decimos que +∞ es el l´ımite de la sucesi´on an si: Para todo M ∈ R, existe un n´umero natural N tal que an > M para todo n ≥ N.
En tal caso decimos que la sucesi´on diverge a +∞ y escribimos l´ım an = +∞.
- Decimos que −∞ es el l´ımite de la sucesi´on an si: Para todo M ∈ R, existe un n´umero natural N tal que an < M para todo n ≥ N. En tal caso decimos que la sucesi´on diverge a −∞ y escribimos l´ım an = −∞.
En adelante utilizaremos la siguiente notaci´on: R = R∪{−∞, +∞}; este conjunto se denomina R ampliado.
Proposici´on 4 Sean an y bn dos sucesiones covergen- tes a ` y m respectivamente; entonces:
- l´ım(an + bn) = ` + m
- l´ım anbn = ` · m
- Si bn 6 = 0 para todo n y m 6 = 0, entonces l´ım b^1 n
m.
- Si bn > 0 para todo n ≥ N y m = 0, entonces l´ım b^1 n
- Si bn < 0 para todo n ≥ N y m = 0, entonces l´ım b^1 n
Esta proposici´on se generaliza a limites infinitos con la proposici´on siguiente. En el enunciado de la misma vamos a utilizar varias expresiones donde se utiliza el s´ımbolo ∞; tales expresiones deben considerarse como abreviaturas; por ejemplo, +∞ + = +∞ debe leerse como sigue: el l´ımite de una sucesi´on que es suma de una sucesi´on divergente a +∞ y otra convergente a, es +∞.
Proposici´on 5 La siguientes igualdades simb´olicas son v´alidas:
- ±∞ + ` = ±∞
- (+∞) + (+∞) = (+∞), (−∞) + (−∞) = (−∞).
- (+∞)(+∞) = +∞, (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(−∞) = −∞.
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convergenc´ıa de funciones se puede definir en t´erminos de l´ımites de sucesiones:
Teorema 8 (Caracterizaci´on secuencial) Consideremos una funci´on f : D ⊆ R → R y a ∈ R. (^) xl´ım→a f (x) = ` ∈ R si y solo si: para toda sucesi´on xn tal que
- {xn} ⊂ D,
- xn 6 = a para todo n, y
- l´ım xn = a,
se verifica que l´ım f (xn) = `.
Este resultado tiene importantes consecuencias pr´acticas:
- Dada una funci´on f con dominio D, solo podemos estudiar la convergencia de f en a si existe una sucesi´on contenida en D y convergente hacia a. Un n´umero a con est´a propiedad se denomina punto de acumulaci´on de D.
- Respecto del c´alculo de l´ımites, el teorema anterior se puede utilizar en dos direcciones. Por una parte, lo podemos utilizar para calcular l´ımites de suce- siones utilizando las propiedades de continuidad de las funciones:
l´ım sen πn − 1 2 + 3n = sen π 3
En este ejemplo, hacemos uso de que l´ım x→π/ 3 sen x =
sen π 3 por ser la funci´on seno una funci´on continua en R.
- Por otra parte, podemos utilizar el teorema ante- rior para probar que una funci´on no es convergen- te, encontrando dos sucesiones en las hip´otesis del teorema pero cuyas im´agenes no tengan el mismo l´ımite. Por ejemplo, vamos a probar que:
La funci´on sen x NO tiene limite en +∞, es decir, “ (^) x→l´ım+∞ sen x no existe”
Para ello, haciendo uso del teorema anterior, vamos a tomar dos sucesiones divergentes a +∞:
xn = 2πn yn = π 2 + 2πn Dado que: l´ım sen xn = l´ım 0 = 0 6 = 1 = l´ım 1 = l´ım sen yn podemos concluir que la funci´on sen x no tiene l´ımi- te en +∞.
El teorema que recordamos a continuaci´on junto con la observaci´on 2 anterior, son de gran ayuda en el c´alcu- lo de l´ımites.
Teorema 9 1. Todas las funciones elementales son continuas en su dominio.
- Si una funci´on est´a determinada por operaciones algebraicas (suma, producto, cociente y composi- ci´on) entre funciones elementales en un entorno de un punto a (entorno en Dom(f )), entonces la funci´on es continua en a.
Un tipo de expresiones que no hemos contemplado hasta ahora son aquellas de la forma an = xnyn^ ; para trabajar con ellas usaremos siempre la siguiente igual- dad: xnyn^ = eyn^ log^ xn Teniendo en cuenta que la funci´on exponencial es conti- nua en R y que (^) x→l´ım+∞ ex^ = +∞, (^) x→−∞l´ım ex^ = 0, podemos escribir que:
l´ım xnyn^ = el´ım(yn^ log^ xn) En este tipo sucesiones surgen tres nuevos tipos de in- determinaciones,
1 ∞^ ∞^0 que se reducen, por la igualdad anterior, a la indeter- minaci´on 0 · ∞.
1.3. Infinit´esimos e infinitos equivalentes
Definici´on 10 Decimos que la funci´on f (x) es un infi- nit´esimo en a si (^) xl´ım→a f (x) = 0 y f (x) 6 = 0 en un entorno reducido de a.
Curso 2002/03. C´alculo para la Computaci´on. Tema 2. 4
Definici´on 11 Decimos que dos funciones f y g, son equivalentes en a si
x^ l´ım→a^ f^ (x) g(x)
La equivalencia de funciones es realmente importante en los casos en que las dos funciones son infinit´esimos en a o las funciones son divergentes a ±∞ en a, ya que en ellos la definici´on de equivalencia da indetermina- ciones del tipo 00 y ∞ ∞ respectivamente. En el teorema siguiente vemos como se pueden utilizar la equivalencia de infinit´esimos en el c´alculo de l´ımites de funciones; la caracterizaci´on secuencial de l´ımites de funciones, hace que esta t´ecnica sea igualmente ´util para el c´alculo de l´ımites de sucesiones.
Teorema 12 Sean f y g dos infinit´esimos equivalentes en a y h(x) otra funci´on definida en un entorno de a. Entonces:
- (^) xl´ım→a f (x)h(x) existe si y solo si (^) xl´ım→a g(x)h(x) existe, y en tal caso coinciden.
- (^) xl´ım→a^ h f ((xx)) existe si y solo si (^) xl´ım→a^ h g((xx)) existe, y en tal caso coinciden.
- (^) xl´ım→a logr f (x)h(x) existe si y solo si x^ l´ım→a logr^ g(x)h(x)^ existe,^ y^ en^ tal^ caso^ coinci- den.
- (^) xl´ım→a logr^ h f ((xx)) existe si y solo si^ xl´ım→a logr^ h g((xx)) exis- te, y en tal caso coinciden.
- (^) xl´ım→a h(x) n
f (x) existe si y solo si (^) xl´ım→a h(x) n
g(x) existe, y en tal caso coinciden.
- (^) xl´ım→a^ √ n^ h(x) f (x) existe si y solo si (^) xl´ım→a^ √ n^ h(x) g(x) existe, y en tal caso coinciden.
Este teorema resume la t´ecnica que se conoce co- mo sustituci´on de infinit´esimos equivalentes ya que, en la pr´actica, las equivalencias dadas en el enunciado, se convierten en igualdades. Por ejemplo, en el c´alcu- lo de un l´ımite aplicar´ıamos el apartado 2 escribiendo
xl´ım→a^ h f ((xx)) = l´ xım→a^ h g((xx)) una vez verificadas las hip´otesis del teorema. Por otra parte, debemos tener en cuenta
que el teorema recoge las ´unicas sustituciones generales que podemos realizar y que por lo tanto, no debemos sustituir infinit´esimos en otras situaciones.
Las equivalencias fundamentales son:
sen x ≡ x en 0 tg x ≡ x en 0 1 − cos x ≡ x
2 2 en 0 arc sen x ≡ x en 0 arc tg x ≡ x en 0 ex^ − 1 ≡ x en 0 log(x + 1) ≡ x en 0 A partir de estas se pueden obtener muchas otras con los siguientes resultados:
Teorema 13 Sean f y g dos infinit´esimos equivalen- tes en a y sea h(x) continua en b y tal que h(b) = a. Entonces, f ◦ h y g ◦ h son infinit´esimos equivalentes en b. (Queda impl´ıcito que las composiciones se pueden realizar en un entorno de b).
Proposici´on 14 Si f y g son infinit´esimos equivalen- tes en a y λ ∈ R∗, entonces λf y λg tambi´en son infi- nit´esimos equivalentes en a.
Por ejemplo: tg(x^2 − 1) ≡ x^2 − 1 en 1 ax^ − 1 ≡ x log a en 0 log x ≡ x − 1 en 1
1.3.1. Sucesiones equivalentes
Definici´on 15 Decimos que dos sucesiones an y bn, son equivalentes en a si
l´ım an bn
Definici´on 16 Decimos que la sucesi´on an es un infi- nit´esimo en a si l´ım an = 0 y an 6 = 0 para todo n ≥ N.
La caracterizaci´on secuencial de l´ımite de funci´on, per- mite crear equivalencias entre sucesiones infinitesima- les.
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n´umero an se denomina t´ermino n-esimo de la serie y Sn es la n-esima suma parcial.
Denominaremos suma de la serie al l´ımite, si existe, de la sucesi´on de sumas parciales; si este l´ımite es `,
escribiremos
∑^ ∞
n=
an = a 1 +· · ·+an+· · · = `. Si este l´ımite
es un n´umero real, diremos que la serie es convergente, en caso contrario diremos que es divergente; si el l´ımite es +∞ o −∞, diremos que la serie diverge a +∞ o −∞ respectivamente. La convergencia o divergencia de una serie se denomina car´acter de la serie.
2.1. Propiedades elementales. Ejemplos
Proposici´on 24 Si la sucesi´on {bn} se obtiene a partir de la sucesi´on {an} a˜nadiendo, eliminando o modifican- do un conjunto finito de t´erminos, entonces las series asociadas tienen el mismo car´acter.
En particular, si an = bm para todo n ≥ N 1 y para todo m ≥ N 2 , entonces las series asociadas a an y bn tienen el mismo car´acter. Un ejemplo inmediato donde se ve la importancia de esta propiedad es el siguiente:
las series
∑^ ∞
n=
an y
∑^ ∞
n=
an tienen el mismo car´acter.
Atendiendo a esta propiedad, en adelante, cuando simplemente estemos estudiando el car´acter de una se- rie, no ser´a necesario indicar cu´al es el primer t´ermino de la misma escribiendo simplemente:
an. Sin em- bargo, a la hora de calcular la suma de una serie s´ı es necesario conocer el primer t´ermino.
Teorema 25 (Condici´on Necesaria) Si una serie ∑ an es convergente entonces l´ım an = 0. Equivalen- temente, si l´ım an 6 = 0, entonces
an es divergente.
Teorema 26 (Serie Geom´etrica) Si a 6 = 0, la serie ∑^ ∞
n=
arn^ = a + ar + ar^2 + · · · + arn^ +... se denomina
serie geom´etrica de t´ermino inicial ‘a’ y raz´on r. Esta serie verifica:
∑^ ∞ n=
arn^ =
converge a (^1) −a r si |r| < 1 diverge si |r| > 1
Corolario 27 En general, decimos que la serie
∑^ ∞
n=N
an es geom´etrica si an+1/an = r ∈ R para todo n. Esta serie converge si y solo si |r| < 1 y en tal caso
∑^ ∞
n=N
an =
aN 1 − r.
Ejemplos:
∑^ ∞ n=
3 n+2^ :^
3 n+ 3 n+3^ =
3 =^ r; es decir, la serie es geom´etrica de raz´on 1 / 3 y primer t´ermino 1 / 27 ; por tanto, la serie es convergente y su suma es 1 / 18. ∑^ ∞ n=
23 n 7 n^ :^
23 n+3 7 n 7 n+1 23 n^ =
7 =^ r; por tanto la serie es geom´etrica de raz´on 8 / 7 y en consecuencia diver- gente a +∞. ∑^ ∞ n=
(−1)n+ 5 n−^1 :^ la serie es geom´etrica de raz´on − (^1) / 5 y primer t´ermino 1 y por lo tanto, es con- vergente y su suma es 5 / 6.
Teorema 28 (Serie arm´onica) La serie
∑^ ∞
n=
n se de- nomina serie arm´onica y es divergente a +∞.
Dado que la sucesi´on de sumas parciales es creciente, para demostrar el teorema basta comprobar que alguna subsucesi´on diverge a +∞; sea Sn la sucesi´on de sumas parciales y consideremos la subsucesi´on S 2 n :
S 2 n^ = (1) +
2 n−^1 + 1 +^ · · ·^ +
2 n
+^1
+^1
+^1
+^1
2 n^
+ · · · +^1
2 n
= 1 + n 1 2 Dado que la sucesi´on minorante diverge a +∞, la suce- si´on S 2 n^ tambi´en.
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Teorema 29 (Serie telesc´opica) Sea bn una suce-
si´on. La serie
∑^ ∞
n=N
(bn − bn+1) se denomina serie te-
lesc´opica. Esta serie converge si y solo si la sucesi´on bn
converge y en tal caso,
∑^ ∞
n=N
(bn − bn+1) = bN − l´ım bn+1.
Ejemplo:
∑^ ∞
n=
log n^ + 1 n =
∑^ ∞
n=
(log(n + 1) − log n) =
− log 2 + l´ım log(n + 1) = +∞
Teorema 30 Si
∑^ ∞
n=N
an converge a ‘a’ y
∑^ ∞
n=N
bn conver-
ge a ‘b’, entonces
∑^ ∞
n=N
(an + bn) converge a ‘a + b’ y ∑^ ∞
n=N
c · an converge a ‘c · a’, para todo c ∈ R.
2.2. Series de t´erminos positivos
Estudiar la convergencia de una serie utilizando las sumas parciales no siempre ser´a sencillo; encontrar una expresi´on para las sumas parciales que permita calcu- lar su l´ımite es, en general, un problema bastante dif´ıcil. Por esta raz´on, el estudio de las series se har´a en dos eta- pas: en primer lugar, se estudiar´a solamente el car´acter de la serie; en segundo lugar, si la serie es convergente, afrontaremos el c´alculo de su suma o bien aproximare- mos su valor.
En esta secci´on vamos a estudiar las series de t´ermi- nos positivos. Este estudio ayudar´a en la siguiente sec- ci´on a estudiar las series de t´ermino general con signo arbitrario.
Proposici´on 31 Si {an} es una sucesi´on de t´erminos positivos, la sucesi´on de sumas parciales asociada a ella es creciente y en consecuencia, la serie
an es o bien convergente o bien divergente a +∞.
Teorema 32 (Criterio de condensaci´on) Sea {an} una sucesi´on decreciente de t´erminos positivos. Enton- ces
an y
2 ka 2 k tienen el mismo car´acter.
Corolario 33 (Series p-arm´onicas) Las series ∑ (^1) np^ para^ p >^0 se denominan^ p–arm´onicas. Estas series verifican: si 0 < p ≤ 1 , es divergente; si p > 1 es convergente.
Por el criterio de condensaci´on, la serie p–arm´onica ∑ (^1) np^ tiene el mismo car´acter que^
∑ 2 k 2 kp^ =^
2 k(p−1)^
esta serie geom´etrica converge si y solo si p > 1.
La importancia de las series p–arm´onicas est´a en que permiten estudiar muchas otras utilizando los criterios de comparaci´on.
Teorema 34 (Criterio de comparaci´ ∑ on) Sean an y
bn dos series tales que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ∈ N.
- Si
bn converge entonces
an tambi´en converge.
- Si
an diverge entonces
bn tambi´en diverge.
Ejemplo: La serie
n + 2n^ es convergente ya que 1 n + 2n^
2 n
y la serie
2 n^ es convergente. Teorema 35 (Criterio de comparaci´on por paso al l´ımit Sean
an y
bn dos series de t´erminos positivos y tal que bn 6 = 0 para todo n. Sea ` = l´ım a bn n
; entonces:
- Si ` > 0 ambas series tienen el mismo car´acter.
- Si ` = 0 y
bn converge, entonces
an tambi´en converge.
- Si ` = ∞ y
an converge, entonces
bn tambi´en converge.
Ejemplo: La serie
n sen n^12 no es convergente ya que
l´ım
n sen n^12 1 /n = l´ım
sen n^12 1 /n^2
y la serie
n es divergente.
Curso 2002/03. C´alculo para la Computaci´on. Tema 2. 8
que conviene utilizar; elegir uno u otro depende de la forma del t´ermino general de la serie. Optaremos preferiblemente por el criterio del cociente cuando sea posible y que permite utilizar posteriormente el de Raabe.
- Criterio de condensaci´on. Es conveniente utilizarlo, cuando sea posible, en series donde interviene la funci´on logaritmo.
- Comparaci´on. Si ninguno de los criterios anteriores decide el car´acter de la serie, intentaremos buscar una serie conocida con la que poder compararla; solo la pr´actica y la resoluci´on de bastantes pro- blemas facilita esta etapa.
2.2.2. El cociente an+1/an
Como ya se habr´a comprobado, el estudio del cocien-
te a an+ n
es de gran utilidad para la determinaci´on del
car´acter de una serie. En esta secci´on, recogemos toda la informaci´on que puede obtenerse de dicho cociente. Siguiendo el esquema de la secci´on anterior, el estudio de este cociente se incluir´a en el primer paso.
- Si an a+ n = r ∈ R entonces la serie es una serie geom´etrica.
- Si a an+ n = αn αn^ ++^ βγ con α, β, γ ∈ R la serie es hi- pergeom´etrica (ver ejercicios).
- Si an > 0 y a an+ n
1 para todo n > N , la sucesi´on {an} es creciente y por tanto su l´ımite no puede ser 0: la serie es divergente.
- Si an > 0 y a an+ n
< 1 para todo n > N , la sucesi´on {an} es decreciente.
2.2.3. Sucesiones decrecientes
El criterio de condensaci´on y el criterio de Leibniz (que veremos en la secci´on siguiente) incluyen entre sus condiciones el que una sucesi´on sea decreciente. Para demostrar que una sucesi´on es decreciente podemos uti- lizar los siguientes m´etodos:
- Si an − an+1 > 0, entonces an es decreciente.
- Si an a+ n
< 1, entonces an es decreciente.
- Si f : [N, +∞) → R es una funci´on decreciente tal que f (n) = an para todo n ≥ N , entonces an es una sucesi´on decreciente a partir de N. (para determi- nar si una funci´on es decreciente podemos utilizar su derivada).
- Por ´ultimo, podemos utilizar diversas propiedades algebraicas de las sucesiones y funciones decrecien- tes (ver ejercicio 23).
2.3. Series alternadas
Los teoremas dados en la secci´on anterior son v´alidos solamente para series de t´erminos positivos. En esta, va- mos a ver dos resultados que permiten estudiar algunas series con t´erminos de signo arbitrario.
Definici´on 42 Decimos que una serie
an es absolu- tamente convergente si la serie
|an| es convergente.
Teorema 43 Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Una serie convergente pero no absolutamente conver- gente se dice condicionalemente convergente.
Definici´on 44 Una serie
an se dice alternada si pa- ra todo n se verifica que an/an+1 < 0 ; es decir, su t´ermino general es de la forma (−1)nbn o (−1)n+1bn donde bn es una sucesi´on de t´erminos positivos.
Teorema 45 (Criterio de Leibniz) Sea
(−1)nan una serie tal que
- la sucesi´on an es decreciente y de t´erminos positi- vos,
- l´ım an = 0,
entonces, la serie es convergente. (Obs´ervese que, seg´un hemos visto, la condici´on l´ım an = 0 es necesaria para cualquier serie.)
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Proposici´on 46 Sea
∑^ ∞
n=
(−1)nan una serie en las con-
diciones del criterio de Leibniz, Sn su sucesi´on de su- mas parciales y S su suma; entonces:
|SN − S| < aN +
En la acotaci´on del error tenemos que usar el valor absoluto porque en este caso el error puede ser por ex- ceso o por defecto.
- Suma de Series
Un vez que hemos determinado la convergencia de una serie, podemos abordar el c´alculo de su suma. Este tipo de problemas no es trivial y solo unos tipos deter- minados de series son f´acilmente sumables. A continua- ci´on vamos a dar la relaci´on de las series fundamentales; a partir de ellas y de las propiedades algebraicas de las series num´ericas y de potencias, podemos sumar mu- chas m´as.
- Series geom´etricas:
∑^ ∞
n=N
an, an a+ n = r ∈ R; son con- vergentes solamente para |r| < 1 y en tal caso su suma vale: S = 1 a −N r
- Series telesc´opicas:
∑^ ∞
n=N
(bn − bn+1) = bN − l´ım bn+
- Series aritm´etico-geom´etricas:
∑^ ∞
n=N
(an + b)rn; esta serie converge si y solo si |r| < 1 y en tal caso su suma es: ∑^ ∞ n=N
(an + b)rn^ = (aN^ +^ b)r
N 1 − r
N + (1 − r)^2
- Series Hipergeom´etricas:
∑^ ∞
n=N
an, an > 0 para to-
do n > m, an a+ n
= αn αn^ ++^ βγ ; converge si y so- lo si γ > α + β y en tal caso su suma es: S = aN (α(N − 1) + γ) γ − α − β.
- Series de Taylor. En el tema siguiente desarrollare- mos la teor´ıa necesaria para justificar las siguientes igualdades:
∑^ ∞ n=
xn n! = ex, x ∈ R
∑^ ∞ n=
xn n = − log(1 − x), x ∈ [− 1 , 1)
∑^ ∞ n=
(−1)n^ x^2 n+ (2n + 1)! = sen x, x ∈ R
∑^ ∞ n=
(−1)n^ x
2 n (2n)! = cos x, x ∈ R
∑^ ∞ n=
x^2 n+ (2n + 1)! = senh x, x ∈ R
∑^ ∞ n=
x^2 n (2n)! = cosh x, x ∈ R
∑^ ∞ n=
α n
xn^ = (1 + x)α, x ∈ (− 1 , 1)
∑^ ∞ n=
(−1)n
α n
= 0, α > 0
∑^ ∞ n=
α n
= 2α, α > − 1 , α 6 = 0
∑^ ∞ n=
(−1)n 2 n + 1
n
x^2 n+1^ = arc sen x, |x| ≤ 1
∑^ ∞ n=
(2n)! (2nn!)^2 (2n + 1) x^2 n+1^ = arc sen x, |x| ≤ 1
∑^ ∞ n=
(−1)n^ x
2 n+ 2 n + 1 = arc tg x, |x| ≤ 1
∑^ ∞ n=
2 n + 1
n
x^2 n+1^ = argsenh x, |x| < 1
∑^ ∞ n=
(−1)n^ (2n)! (2nn!)^2 (2n + 1) x^2 n+1^ = argsenh x, |x| < 1
∑^ ∞ n=
x^2 n+ 2 n + 1 = argtgh x, |x| < 1
Recordemos que, si α ∈ R,
(α n
se define como:
( α n
= α(α^ −^ 1)^ · · ·^ (α^ −^ n^ + 1) n!
Curso 2002/03. C´alculo para la Computaci´on. Tema 2. 11
Ingenier´ıa Inform´atica
Relaci´on 2 de C´alculo para la computaci´on
Curso 2001/
- Responder las siguientes preguntas razonando las respuestas con ((precisi´on)):
a) Dadas dos sucesiones an y bn consideramos los conjuntos de sus elementos: A = {an}, B = {bn}. Si A = B, ¿podemos afirmar que l´ım an = l´ım bn? b) Una sucesi´on cuyo conjunto de elementos tiene dos puntos de acumulaci´on distintos ¿puede ser conver- gente? c) Es cierto que ¿toda sucesi´on acotada es convergente? d) ¿Es correcto escribir la igualdad simb´olica ∞ 0 = ∞? e) Si an a+ n
= sen n, ¿podemos afirmar que el l´ımite l´ım √nan no existe? f ) Las sucesiones an = sen n y bn = n ¿son infinit´esimos equivalentes?
- Resolver los siguientes l´ımites:
l´ım (^) nn 3 + 3+ 4 l´ım
1 − (^31) n
) 2 n l´ım n
a si a > 0
l´ım (^) log 5log^ nn l´ım log( logn^ + 3)n l´ım( 3
n − 3
n − 1)
l´ım
n
1 − (^) na
l´ım
n −
(n + a)(n + b)
l´ım n ( n
a − n−^1
a)
- Decimos que dos sucesiones an y bn son infinitos equivalentes si l´ım an = l´ım bn = ∞ y l´ım a bn n
a) Demostrar que an = log(n + k), bn = log(kn) y cn = log n son infinitos equivalentes. b) Demostrar que si knp^ es el t´ermino de grado mayor en el polinomio P (n), entonces an = P (n) y bn = knp son infinitos equivalentes. c) Demostrar que an = (n + 1)α^ − nα^ y bn = αnα−^1 son infinitos equivalentes.
- Calcular el l´ımite l´ım P Q^ ((nn)) donde P y Q son polinomios. (Tener especial cuidado en contemplar todas las
posibles situaciones diferentes).
- ¨ Dada la sucesi´on an = (^) n(log^1 n) 2 calcular el l´ımite l´ım n
1 − an a+ n
- Los siguientes l´ımites se resuelven utilizando el criterio de St¨oltz o el criterio del cociente:
l´ım √nn l´ım n
n^2 + n l´ım log n^ n l´ım (log^ n)
2 n l´ım n
(n + 1)(n + 2)... (n + n) l´ım n^1 n
(3n + 1)(3n + 2)... (3n + n)
l´ım 2 + 4 +^ · · ·^ + 2
n 3 + 9 + · · · + 3n^ nl´→∞ım^1
p (^) + 2p (^) + · · · + np np+^ , p ∈ N
l´ım n^12 (2 +^3
2 2 +^ · · ·^
(n + 1)n nn−^1 )^ l´ım
log(1 · 2 · · · · · n) n log n
- ¨ Calcular el l´ımite l´ım n
α en^ para todo^ α^ ∈^ R. (Observar primero que para^ α <^ 0 el c´alculo es trivial; para^ α >^0 utilizar el criterio de St¨oltz).
- Utilizar el teorema de acotaci´on para calcular los siguientes l´ımites:
l´ım n! nn l´ım
(n − 1)! (1 +
2)... (1 + √n) l´ım
n^2
(n + 1)^2
(n + n)^2 l´ım
n^2 + 1
n^2 + 2
n^2 + n l´ım n n^2 + 1
- n n^2 + 2
- · · · + n n^2 + n
- Calcular el l´ımite l´ım
1 · 2 +^
2 · 3 +^ · · ·^ +^
(n − 1)n +^
n(n + 1)
- Utiliza la f´ormula de Stirling para calcular el l´ımite l´ım (^) nnn!.
- Los siguientes l´ımites se resuelven utilizando la constante de Euler:
nl´→∞ım^ e
e 3
e... n
e n nl´→∞ım
log(1 +^12 + · · · + n^1 ) log(log n)
nl´→∞ım(1 +^1 3
2 n + 1 ) l´ım (^) n + 1^1 + (^) n + 2^1 + · · · + (^) n +^1 n
- Justificar que las siguientes sucesiones son convergentes y calcular sus l´ımites
a 1 = 3 an = √1 + an− 1
b 1 = 0 b 2 = 1 bn = bn−^1 + 2 bn−^2
c 1 =
cn = 2√cn− 1
d 1 = a > 0 dn = a + (dn− 1 )^2
- a) Demostrar que no existe ning´un n´umero racional cuyo cuadrado sea 2 (es decir,
2 6 ∈ Q).
b) Considerar la sucesi´on an definida recursivamente por: a 0 = 2, an+1 = a 2 n + (^) a^1 n
. Demostrar que dicha sucesi´on (de n´umeros racionales) es decreciente y acotada inferiormente (y en consecuencia convergente en R). Demostrar a continuaci´on que el l´ımite es
- Dar una definici´on recursiva de la siguiente sucesi´on y calcular su l´ımite (demostrando previamente que la sucesi´on es convergente): √ (^54) , 5
5
b) Si c ≤ 1 entonces,
an no converge.
- Demostrar las propiedades de linealidad del operador
Si
∑^ ∞
n=N
an converge a ‘a’ y
∑^ ∞
n=N
bn converge a ‘b’, entonces
∑^ ∞
n=N
(an + bn) converge a ‘a + b’ y
∑^ ∞
n=N
c · an converge a ‘c · a’.
- Sean f y g dos funciones crecientes y estrictamente positivas en su dominio, h una funci´on decreciente, cn una sucesi´on creciente y dn una sucesi´on decreciente; demostrar que, entonces:
a) f + g es una funci´on creciente. b) f · g es una funci´on creciente. c) 1 /f es una funci´on decreciente. d) −f es una funci´on decreciente. e) f ◦ g es una funci´on creciente y f ◦ h es una funci´on decreciente. f ) f (cn) es una sucesi´on creciente y f (dn) es una sucesi´on decreciente. g) h(cn) es una sucesi´on decreciente y h(dn) es una sucesi´on creciente.
- Consideremos la serie
∑^ ∞
n=
P (n) Q(n) donde^ P^ y^ Q^ son dos polinomios de grados^ p^ y^ q^ respectivamente; demostrar que entonces:
a) Si q − p ≤ 1 la serie diverge. b) Si q − p > 1 la serie converge
- Demostrar que la serie
∑^ ∞
n=
R(n)rn, donde R es una funci´on racional y |r| 6 = 1, converge si y solo si |r| < 1.
Este resultado se demuestra f´acilmente con el criterio del cociente; para r = 1 estamos en el caso del ejercicio anterior y para r = −1 demostrar el siguiente resultado:
La serie
∑^ ∞
n=
(−1)n^ P Q^ ((nn)) donde P es un polinomio de grado p y Q un polinomio de grado q verifica:
a) Si q − p > 1 la serie converge absolutamente. b) Si q − p = 1 la serie converge condicionalmente. c) Si q − p < 1 la serie diverge.
- Probar que: si an y bn son dos infinit´esimos equivalentes, entonces las series asociadas tienen el mismo car´acter
- A la serie
∑^ ∞
n=
(an + b)rn^ se la denomina aritm´etico-geom´etrica. Estudiar el car´acter de estas series y hallar su suma en los casos que sea posible (Indicaci´on: seguir un m´etodo an´alogo al utilizado para las series geom´etricas)
- Una serie
∑^ ∞
n=
an se dice hipergeom´etrica si verifica que a an+ n
= αn αn^ ++^ βγ para α, β, γ ∈ R; estudiar el car´acter de estas series y hallar su suma en los casos que sea posible.
- Aproximar la suma de la serie
∑^ ∞
n=
(−1)n^ log n^ ncon un error menor que 10−^3.
- Aproximar la suma de la serie
∑^ ∞
n=
n^2 con un error menor que 10
- ¨ El objetivo de este ejercicio es demostrar el criterio del cociente: sea an una sucesi´on de t´erminos positivos y supongamos que l´ım an+1/an =
< 1; consideremos una constante k ∈ (, 1) y sea Sn su sucesi´on de sumas parciales. a) Probar que existe un natural n 0 tal que an+1/an < k para todo n ≥ n 0 ; es decir, an+1 < kan para todo n ≥ n 0. b) De la desigualdad anterior deducir que Sn + an+1 − a 1 < kSn y despejando Sn concluir que Sn es una sucesi´on acotada y por tanto convergente (que es lo que queriamos demostrar). c) Sea N un numero natural; demostrar que an < kn−N^ aN para todo n > N y deducir que
∑∞^ n=N^ an^ < n=N k n−N (^) aN. Concluir que:
S − SN < aN^ k 1 − k
d) A partir del punto anterior, demostrar que S − SN ≤ aN (^1) −
- Estudiar el car´acter de las siguientes series:
∑^ ∞ n=
sen nx n^2
∑^ ∞
n=
√ (^3) n (^2) − 1
∑^ ∞
n=
n^2 n! ∑^ ∞ n=
sen^1 n
∑^ ∞
n=
n log n
∑^ ∞
n=
n(log n)^2 ∑^ ∞ n=
2 nn! nn
∑^ ∞
n=
ann! nn
∑^ ∞
n=
(−1)n+1^1 2 n − 1 ∑^ ∞ n=
(−1)n^ log n^ n
∑^ ∞
n=
(log n)r
∑^ ∞
n=
(log n)n ∑^ ∞ n=
(−1)n^ n log^1 n
∑^ ∞
n=
√^ (−1)n n −
n + 1
∑^ ∞
n=
(−1)n^2 nn ∑^ ∞ n=
( (^) n 7 n + 4
) 4 n− 2 ∑∞
n=
log n 2 n^3 − 1
∑^ ∞
n=
2 n−^1 (3n + 2) · n^4 /^3 ∑^ ∞ n=
(a + 1) · · · (a + n) n!
∑^ ∞
n=
an n
∑^ ∞
n=
na n! ∑^ ∞ n=
nn (2n + 1)n
∑^ ∞
n=
[( (^) n + 1 n
)n
]−n ∑∞
n=
1 + 12 + · · · + (^1) n n^3 ∑^ ∞ n=
2 + 4 + 8 + · · · + 2n 3 n
∑^ ∞
n=
n · cos^2 πn 3 2 n
∑^ ∞
n=
1 + 2^1 + · · · + 2n 4 n ∑^ ∞ n=
n + 2n + · · · + n^2 n^5
∑^ ∞
n=
sin^3 n n^4
∑^ ∞
n=
1 + cos^2 n n^3 ∑^ ∞ n=
n −^
n!
n=
n^3 2 n
∑^ ∞
n=
(−1)n^ (n!)
2 (2n)! ∑^ ∞ n=
n! (−2)n
∑^ ∞
n=
sen
π 4 n^2
n=
√^ (−1)n n(n + 1)
