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MATEM ´ATICAS
Grado en Finanzas y Contabilidad
Relaci´on de Ejercicios 4.
Optimizaci´on de funciones
de una variable.
Curso 2017/
RESUMEN TE ´ORICO
¿C´omo estudiar el signo de una funci´on f? Se descompone el dominio en intervalos determinados por
los puntos x donde f (x) = 0. los puntos de discontinuidad de f.
y se estudia el signo en cada intervalo.
¿C´omo estudiar el crecimiento o decrecimiento de f? Se estudia el signo de la primera derivada f ′(x). Para descomponer en intervalos usamos
los puntos x donde f ′(x) = 0 (PUNTOS CR´ITICOS). los puntos de discontinuidad de f ′.
y se tiene en cuenta que: f ′^ > 0 −→ f crece, f ′^ < 0 −→ f decrece.
¿C´omo estudiar la convexidad o concavidad de f? Se estudia el signo de la segunda derivada f ′′(x). Para descomponer en intervalos usamos
los puntos x donde f ′′(x) = 0. los puntos de discontinuidad de f ′′.
y se tiene en cuenta que: f ′′^ > 0 −→ f convexa, f ′′^ < 0 −→ f c´oncava. ¿C´omo hallar los extremos locales de f? Los candidatos son (si los hubiera):
los puntos cr´ıticos de f. (O sea, donde f ′(x) = 0). los puntos frontera del dominio. los puntos x donde no existe^1 la derivada f ′(x) (pero s´ı f (x)).
A continuaci´on se estudia el crecimiento y decrecimiento y se concluye.
NOTA 1: Los puntos de discontinuidad de f ′(x) donde no existe f (x) s´ı son frecuentes. Por ejemplo, para f (x) = 1 /x, hay una discontinuidad en x = 0, tanto para f ′(x) como para f (x). Tales puntos no son candidatos a extremo local, pero s´ı deben usarse para descomponer en intervalos para el crecimiento y decrecimiento. NOTA 2: Si el dominio es todo R (o, cualquier intervalo abierto) y la funci´on es continua y derivable en todo ese dominio, los ´unicos candidatos son los puntos cr´ıticos. NOTA 3: Tambi´en se pueden clasificar los puntos cr´ıticos con la derivada segunda. (Pero, ¡cuidado!, la derivada segunda no sirve para clasificar los puntos frontera.) (^1) Estos puntos son poco frecuentes. Aparecen s´olo en el caso de funciones definidas a trozos o en algunas funciones radicales. De hecho, habitualmente supondremos que no aparecen tales puntos.
¿C´omo hallar los extremos globales de f en [a, b]? (Caso del Teorema de Weierstrass) Sea f : [a, b] → R continua. Los candidatos son los anteriormente comentados. El Teorema de Weierstrass garantiza que existen extremos globales. Basta evaluar la funci´on f (x) en todos los candidatos. El mayor valor corresponde al m´aximo global. El menor valor corresponde al m´ınimo global.
Ejercicios RESUELTOS
- Para la funci´on f (x) = x e−x, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los m´aximos y m´ınimos locales, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexi´on. ¿Tiene m´aximo global o m´ınimo global? Soluci´on: El dominio es todo R. Y la funci´on es continua y derivable. Por tanto, estamos en el caso c´omodo para los extremos locales. La derivada es f ′(x) = e−x^ + e−x^ · (− 1 ) · x = e−x^ − xe−x^ = e−x( 1 − x). Estudiamos su signo. Los puntos que dividen en intervalos son las discontinuidades de f ′^ (no hay) y los puntos donde f ′^ se anula (es decir, los puntos cr´ıticos, que a su vez son posibles m´aximos o m´ınimos), que calculamos a continuaci´on. f ′(x) = 0 =⇒ e−x( 1 − x) = 0 =⇒ x = 1. Esto da lugar a dos intervalos, (−∞, 1 ), ( 1 , +∞). Elegimos un punto arbitrario en cada intervalo y miramos el signo de la derivada. f ′( 0 ) = e^0 > 0. Por tanto, f crece en (−∞, 1 ). f ′′( 2 ) = e−^2 (− 1 ) < 0. Por tanto, f decrece en ( 1 , +∞). Vemos ahora los m´aximos y m´ınimos. El ´unico punto cr´ıtico es x = 1. Vemos que la funci´on crece antes de 1 y decrece despu´es. De esto se deduce que en x = 1 hay un m´aximo local. ¿Podemos saber si es un m´aximo global? En este caso particular, s´ı. Porque crece en todos los puntos anteriores a 1 y decrece en todos los posteriores. Entonces en 1 hay en realidad un m´aximo global. Como no hay m´as puntos cr´ıticos, no hay m´ınimos locales. Estudiamos ahora la convexidad y concavidad. A partir de la primera derivada, f ′(x) = e−x( 1 − x), calculamos la segunda derivada: f ′′(x) = −e−x^ · ( 1 − x) + e−x(− 1 ) = −e−x^ + xe−x^ − e−x^ = xe−x^ − 2 e−x^ = e−x(x − 2 ) Es decir, f ′′(x) = e−x(x − 2 ) Estudiamos su signo. Tenemos en cuenta las discontinuidades de f ′′, que no hay, y los puntos donde f ′′ se anula (=posibles puntos de inflexi´on), que calculamos a continuaci´on: f ′′(x) = 0 =⇒ e−x^ (x − 2 ) = 0 =⇒ x = 2. Esto da lugar a dos intervalos, (−∞, 2 ), ( 2 , +∞). Elegimos un punto arbitrario en cada intervalo y miramos el signo de la segunda derivada. f ′′( 0 ) = e^0 (− 2 ) < 0. Por tanto, f es c´oncava en (−∞, 2 ). f ′′( 4 ) = e−^4 ( 2 ) > 0. Por tanto, f es convexa en ( 2 , +∞). Vemos ahora los puntos de inflexi´on. El posible punto de inflexi´on es x = 2. Como la funci´on cambia de convexidad al pasar por 2, se deduce que en x = 2 hay un punto de inflexi´on. A t´ıtulo de curiosidad, la gr´afica es:
Ejercicios PROPUESTOS
- Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones.
a) f (x) = [ln(x)]^2 − 4 , b) g(x) = ln(ex^ + e−x) Sol.- a) Decrece en ( 0 , 1 ) y crece en ( 1 , +∞). b) Decrece en (−∞, 0 ) y crece en ( 0 , +∞).
- Encuentre los intervalos de convexidad y de concavidad de cada una de las siguientes funciones.
a) f (x) = xex, b) g(x) = 11 −+^ xx
Sol.- a) Es c´oncava en (−∞, − 2 ) y convexa en (− 2 , +∞). b) Es c´oncava en (−∞, − 1 ) y convexa en (− 1 , +∞).
- Considere la funci´on f (x) = x^3 − 27 x + 5. Encuentre sus m´aximos y m´ınimos locales. Luego dibuje en el plano sus puntos m´aximos y m´ınimos y calcule (^) x→l´ım+∞ f (x) y (^) xl´→−ım∞ f (x). Haga un esbozo de la gr´afica de f y deduzca si existe o no m´aximo y/o m´ınimo global y, en su caso, en qu´e punto(s). Sol.- Tiene un m´aximo local en x = −3 y un m´ınimo local en x = 3. Luego se dibujan los correspon- dientes puntos, P 1 = (− 3 , 59 ) y P 2 = ( 3 , − 49 ), se calcula (^) x→l´ım+∞ f (x) = +∞ y (^) x→−l´ım∞ f (x) = −∞ y se hace la gr´afica. En ella se observa que no hay m´aximo ni m´ınimo global.
- Estudie el crecimiento, decrecimiento, m´aximos y m´ınimos locales para las siguientes funciones.
a) F(x) = 3 x^4 − 8 x^3 + 15 b) G(x) = x^3 − 3 x^2 + 6 x + 9 , c) H(t) = (^) (t +^1 2 ) 2
Sol.- a) Decrece en (−∞, 0 ) y en ( 0 , 2 ). Crece en ( 2 , +∞). Tiene un m´ınimo local en x = 2. b) Crece en todo R. No tiene extremos locales. c) Crece en (−∞, − 2 ) y decrece en (− 2 , +∞). No tiene extremos locales.
- Halle el m´aximo y el m´ınimo global de cada funci´on en el intervalo indicado:
a) f (x) = − 2 x − 1 en [ 0 , 3 ] b) f (x) = x^3 − 3 x + 8 en [− 1 , 2 ] c) f (x) = x
x en^ [^
12 , 2 ]
Sol.- a) El valor m´aximo es −1 y se alcanza en x = 0. El valor m´ınimo es −7 y se alcanza en x = 3. b) El valor m´aximo es 10 y se alcanza en x = −1 y x = 2. El valor m´ınimo es 6 y se alcanza en x = 1. c) El valor m´aximo es 5/2 y se alcanza en x = 1 /2 y en x = 2. El valor m´ınimo es 2 y se alcanza en x = 1.
- Una empresa que produce un cierto bien quiere maximizar sus beneficios. El ingreso total generado en un cierto periodo por la producci´on y venta de q unidades es I(q) = 2240 · q euros, mientras que C(q) = 2 q^2 + 40 q + 5000 designa el coste total en euros del proceso. Por limitaciones t´ecnicas no se pueden producir m´as de 500 unidades del producto. ¿Cu´antas unidades se deben producir para que el beneficio sea m´aximo? (Justifique que se trata de un m´aximo) Sol.- q = 500.
- Para cierto art´ıculo la ecuaci´on de demanda es p = 5 − 0 , 001 x, siendo p el precio unitario y x el n´umero de unidades vendidas. La funci´on de coste es C(x) = 2800 + x. Se supone que se vende todo lo que se produce.
a) Encuentre la expresi´on del ingreso como funci´on de x. b) ¿Qu´e valor de x maximiza el ingreso? c) Encuentre la expresi´on del beneficio como funci´on de x. d) ¿Qu´e valor de x maximiza el beneficio? Calcule el beneficio m´aximo. Sol.- b) x = 2500. d) x = 2000, B( 2000 ) = 1200 u.m.
- La funci´on de beneficio de cierta empresa es B(x) = − 4 + x e−x/^20. ¿Para qu´e valor de x es m´aximo el beneficio? ¿Cu´al es el m´aximo beneficio? Sol.- El beneficio es m´aximo cuando x = 20. El m´aximo beneficio es 3,36 u.m.
- Una empresa estima que el coste de la producci´on de x unidades de un cierto bien est´a dado por la funci´on C(x) = 800 + 0 , 04 x + 0 , 0002 x^2. Halle el nivel de producci´on que hace m´ınimo el coste medio. Sol.- Para x = 2000 se hace m´ınimo el coste medio.
- La funci´on de coste total para una empresa est´a dada por
C(x) = 300 x − 10 x^2 + x
3 3 Calcule la producci´on x para la cual: (a) El coste marginal es m´ınimo. (b) El coste medio es m´ınimo.
- Una agencia organiza viajes a conciertos y cobrar´a un precio que depende linealmente del n´umero de personas. Cuando el grupo es de 35 personas, el precio por persona es de 9 euros. Por cada persona m´as, el precio por persona se reduce en 0,20 euros. a) Exprese el precio por persona como funci´on del n´umero de personas que forman el grupo. b) Encuentre el ingreso como funci´on del n´umero de personas. c) ¿Para qu´e n´umero de personas se maximizar´a el ingreso total de la agencia? Sol.- (a) p = − 0 , 2 q + 16. (b) I(q) = − 0 , 2 q^2 + 16. (c) q = 40 personas.
- Suponga que el ingreso semanal de una pel´ıcula estrenada recientemente est´a dado por
I(t) = (^) t^1002 + t 9 , (t ≥ 0 )
donde I(t) es el ingreso en millones de euros y t es el tiempo, en semanas, transcurrido desde su estreno. Se pide: a) Encuentre el valor de t para el que se maximiza el ingreso. (Justifique que se trata de un m´aximo). b) Calcule el ingreso m´aximo. c) Haga un esbozo de la gr´afica de la funci´on I(t) (para t ≥ 0). d) Suponga que, si el ingreso disminuye durante 4 semanas consecutivas, la pel´ıcula se retirar´a de la cartelera. Y 12 semanas despu´es de esto, se sacar´a el video. ¿Cu´ando saldr´a el video? Sol.- (a) t = 3 semanas. (b) I( 3 ) = 503 ' 16 ,667 millones de euros. (d) 19 semanas despu´es del estreno.
