tema 4 macro dinamica, Apuntes de Macroeconomía

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Tema 4: Un Modelo Macroecon´omico Completo

Macroeconom´ıa Din´amica

Octubre 2017

Elecci´on Renta-Ocio y Ahorro-Consumo

Vamos a considerar de forma conjunta las decisiones Renta-Ocio y Ahorro-Consumo analizadas en los dos temas anteriores. De esta forma construimos un modelo completo que nos va a servir para analizar diferentes problemas macroecon´omicos. Adem´as vamos a estudiar las decisiones de inversi´on en capital f´ısico, que son de gran relevancia en el an´alisis macro. De nuevo vamos a analizar las asignaciones eficientes y compararlas con el equilibrio competitivo.

Periodo 0

La producci´on es Y 0 = F (K 0 , l 0 ), el individuo tiene que elegir entre dos m´argenes Mayor consumo C 0 y mayor nivel de utilidad en t = 0. Mayor inversi´on hoy (y menor C 0 ), pero con un mayor capital K 1 y mayor producci´on Y 1 en el siguiente periodo. El individuo est´a sujeto a dos restricciones La restric. de recursos Y 0 = C 0 + I 0 ( 1 ). La ley de movimiento del capital, K 1 = I 0 + ( 1 − δ )K 0 ( 2 ). Estas dos restricciones se pueden reducir a una sola

K 1 = Y 0 − C 0 + ( 1 − δ )K 0

Periodo 1 y Funci´on de utilidad

De modo an´alogo tenemos para el periodo 1

K 2 = Y 1 − C 1 + ( 1 − δ )K 1

Que se obtiene de las correspondientes Restricci´on de recursos (RR) Y 1 = F (K 1 , l 1 ) = C 1 + I 1. Ley de movimiento del capital (LM), K 2 = I 1 + ( 1 − δ )K 1. La funci´on de utilidad agregada es

u(C 0 , o 0 ) + β u(C 1 , o 1 )

La Condici´on de Transversalidad

La condici´on de transversalidad impone K 2 = 0. ¿Porqu´e? ¿Qu´e sentido tiene? Es importante darse cuenta que en el modelo de dos periodos la CT equivale a I 1 = 0 y que para que sea factible hay que asumir δ = 1 ¿Porqu´e? Es una condici´on de optimalidad, si no la impusi´eramos la soluci´on no ser´ıa ´optima.

Problema del Planificador: Soluci´on

La soluci´on al problema del planificador viene dada por un sistema de ecuaciones que determina los valores de las variables que buscamos: K 0 , K 1 , K 2 , C 0 , C 1 , l 0 y l 1. Tenemos por lo tanto 7 inc´ognitas, sin embargo la soluci´on del problema del planificador s´olo nos va a aportar 5 ecuaciones. Necesitamos por lo tanto otras dos ecuaciones para que nuestro sistema de ecuaciones est´e determinado. Estas dos ecuaciones son La condici´on inicial K 0. La condici´on de transversalidad K 2 = 0. La condici´on de transversalidad no s´olo es una condici´on de optimalidad, ¡¡¡tambi´en es un condici´on necesaria para que el sistema est´e determinado!!!!

Ejercicio II

(^4) La RR y la LM del periodo 0

K 1 = F (K 0 , 1 − l 0 ) − C 0 + ( 1 − δ )K 0 (^5) y del periodo 1

K 2 = F (K 1 , 1 − l 1 ) − C 1 + ( 1 − δ )K 1

Que junto con la condici´on inicial K 0 y la condici´on de transversalidad K 2 = 0 nos proporcionan un sistema de 7 ecuaciones con 7 inc´ognitas.

El Tipo de inter´es Real Neto

¿Qu´e representa “1 + F (^) K′ (Kt , 1 − lt ) − δ ”? Lo solemos denominar como 1 + Rt y decimos que es uno m´as el tipo de inter´es real neto. Representa el rendimiento de dejar de consumir una unidad de bien de consumo hoy y dedicarla a la inversi´on. Si renuncio a una unidad de consumo hoy, ma˜nana voy a obtener: la unidad que invert´ı (1) + el producto marginal del capital (tipo de inter´es: F (^) K′ (Kt , 1 − lt )), pero a ello hay que restarle lo que se ha depreciado el capital ( δ ). As´ı definimos Rt = F (^) K′ (Kt , 1 − lt ) − δ.

Problema con T periodos

El problema del planificador se puede extender f´acilmente a T + 1 periodos

max {Ct ,lt ,Kt+ 1 }Tt= 0

T

t= 0

β u(Ct , 1 − lt )

sujeto a

Kt+ 1 = F (Kt , lt ) − Ct + ( 1 − δ )Kt , ∀ t = 0...T dado K 0 > 0 y la condici´on de transversalidad KT + 1 = 0 Para resolver el problema construimos el Lagrangiano y hallamos las condiciones de primer orden para cada periodo, con respecto a Ct , lt , Kt+ 1 y λ t.

Condiciones de Primer Orden

Construimos el Lagrangiano,

L =

T

t= 0

{ β t^ u(Ct , 1 − lt ) + λ t [F (Kt , lt ) − Ct + ( 1 − δ )Kt − Kt+ 1 ]}.

Las condiciones de primer orden de este problema son, (Ct ) → β t^ u C′ (Ct , 1 − lt ) = λ t (lt ) → β t^ u o′ (Ct , 1 − lt ) = λ t F (^) l′ (Kt , lt ) (Kt+ 1 ) → λ t = λ t+ 1 [F (^) K′ (Kt+ 1 , lt+ 1 ) + ( 1 − δ )] ( λ t ) → F (Kt , lt ) = Ct + Kt+ 1 − ( 1 − δ )Kt.

Condiciones de Primer Orden

Las condiciones de primer orden proporcionan tres ecuaciones para dos periodos cualquiera t y t + 1: (^1) El margen ocio-consumo (en el periodo t)

u′ o (Ct , 1 − lt ) = F (^) l′ (Kt , lt )u′ c (Ct , 1 − lt ) (^2) La Ecuaci´on de Euler entre dos periodos (margen ahorro-consumo)

u c′ (Ct , 1 − lt ) = ( 1 + F (^) K′ (Kt+ 1 , lt+ 1 ) − δ ) β u c′ (Ct+ 1 , 1 − lt+ 1 ) (^3) La RR y la LM del periodo t

Kt+ 1 = F (Kt , lt ) − Ct + ( 1 − δ )Kt

Que junto con la condici´on inicial K 0 y la condici´on de transversalidad KT + 1 = 0 nos proporcionan un sistema de ecuaciones determinado.

Problema con ∞ periodos

El problema del planificador se generaliza de forma inmediata a ∞ periodos

max {Ct ,lt ,Kt+ 1 }∞ t= 0

∞

t= 0

β u(Ct , 1 − lt )

sujeto a

Kt+ 1 = F (Kt , lt ) − Ct + ( 1 − δ )Kt , ∀ t = 0...∞ dado K 0 > 0 y la condici´on de transversalidad limt→∞

λ t λ 0

Kt+ 1

Condici´on de Transversalidad II

En realidad lo que impone la CT es que el capital no puede crecer demasiado r´apido. Su tasa de crecimiento tiene que ser menor que el tipo de inter´es Rt. La CT impide que haya burbujas y tambi´en es conocida como Condici´on de No-Juegos de Ponzi. ¿Ejemplos recientes?...y los seguir´a habiendo...

Equilibrio Competitivo

Equilibrio Competitivo: Las Familias

Las familias son las due˜nas del capital y de las empresas (recogen los beneficios) y alquilan el capital a las empresas a la tasa rt. Adem´as suministran el factor trabajo por el que reciben un salario wt Tambi´en compran el bien de consumo (que les da utilidad) y el bien de inversi´on. Deciden su oferta de trabajo lt. Por lo tanto su restricci´on presupuestaria (RP) en el periodo t es Ct + It = wt lt + rt Kt + π t Al ser due˜nas del capital est´an sujetas a la ley de movimiento del capital (LM) Kt+ 1 = It + ( 1 − δ )Kt Sustituyendo la inversi´on tenemos una ´unica ecuaci´on de las dos anteriores Kt+ 1 = wt lt + rt Kt + π t − ct + ( 1 − δ )Kt