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Unidad 4. Programación lineal Matemáticas aplicadas a lasBACHILLERATO
Ciencias Sociales II
Resuelve
Página 107
Resolución de inecuaciones lineales
■ Para representar x – y ≤ 2, representa la recta de ecuación y – x = 2. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad.
y – x Ì 2 1
1
■ Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones: a) x + 5 y > 10 b) x + 2 y ≤ 16 c) 2 x + y ≤ 20 a)
1
1
x + 5 y > 10
b)
1 1
111 1111
x + 2 y Ì 16
c)
2 x + y Ì 20
2
2
Resolución de sistemas de inecuaciones
■ Representa el recinto formado por las siguientes condiciones: y x x y x y x y
(^2) x
x (^) + 2 x + 5 y (^) = 10 y (^) = 16
y^ – x^ = 2
1
1
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Programación lineal para dos variables. Enunciado general
Página 116
1 Representa la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
x ≥ 0, y ≥ 3, x + y ≤ 10, 2 y ≥ 3 x Averigua en qué puntos se hace máxima y mínima la función F ( x , y ) = 4 x + 3 y****. Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan:
x y
A
x x y
B
x y y x
C
y x y
D
F (A ) = F (0, 3) = 9 F (B ) = F (0, 10) = 30
1 10
1
y = 3
x (^) + (^) y (^) = 10
4 x + 3 y = 0
A
B
C
D
2 y^ = 3
x
F (C ) = F (4, 6) = 34 F (D ) = F (2, 3) = 17
F (x, y) = 4x + 3y se hace mínima en A (0, 3) y máxima en C (4, 6).
2 Representa el recinto definido por estas inecuaciones:
x ≥ 0 y ≥ 0 x ≤ 10 x ≤ y y – 2 x ≤ 6 3 x + 4 y ≥ 35 ¿En qué punto la función F ( x , y ) = 10 x + 15 y alcanza el valor máximo? Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan:
( , ) y z x y
A
x y x y B
x y x 10 C10 10
x y x
D
F (A ) = F (1, 8) = 130
F (B ) = F (5, 5) = 125
F (C ) = F (10, 10) = 250
F (D ) = F (10, 26) = 490
x^ = 10 y^ – 2
x = 6
x^ = y
(^3) x (^) + 4 y (^) = 35
10 x + 15 y = 0
D
C
B
A
(^11)
Representamos después la dirección de las rectas que son de la forma 10x + 15y = K. F (x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo en el punto D (10, 26).
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Ejercicios y problemas resueltos
Página 117
1. Optimización sin contexto
Hazlo tú. En el mismo recinto, ¿para qué valores es máxima la función z = 3 x + 4 y****? ¿Y mínima?
z = 3x + 4y
2 1 1 2 3
(^3) x (^) + 4 y (^) = 17 3 x + 4 y = 0
3 x + 4 y = 3
Obtenemos el máximo en el vértice (3, 2):
z (3, 2) = 3 · 3 + 4 · 2 = 17
El mínimo está en el vértice (1, 0), en el que:
z (1, 0) = 3 · 1 + 4 · 0 = 3
2. Optimización sin contexto
Hazlo tú. Con la misma función F ( x , y ) haz lo mismo para el siguiente recinto:
5 x + 6 y ≤ 30; x – y ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ 0
F (x, y) = 3x + 4y
2
3
4
5
1
1 2 3 4 5 6
x – y = 0
3 x + 4 y = —^210 11
(^5) x (^) + 6 y (^) = 30
3 x + 4 y = 0
Obtenemos el máximo en el vértice d 1130 , 1130 n :
F d^1130 , 1130 n= 3 · 1130 + 4 · 1130 = 21011 =19 1,
El mínimo está en el vértice (0, 0), en el que:
F (0, 0) = 3 · 0 + 4 · 0 = 0
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3. Puntos de coordenadas enteras
Hazlo tú. Calcula x e y que hacen máxima y mínima la función z = x + y sujeta a estas restriccio- nes: x e y deben ser números naturales y además:
x + y ≥ 6; 2 x + y ≥ 6; x + 3 y ≥ 7
Como deben ser números naturales, añadimos las restricciones: x ≥ 0, y ≥ 0.
La región que se obtiene es:
2
3
4
5
6
7
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x + y = 0
2 x + y = 6 x + y = 6
x + 3 y = 7
Tomamos una recta paralela a la función objetivo y vemos que, al trasladarla, los primeros puntos de la región factible por los que pasa son los de la recta x + y = 6.
Por tanto, el valor mínimo se obtiene en los puntos (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) y (5, 1).
No hay máximo. La función x + y se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto.
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4. Coste mínimo
Hazlo tú. En una granja hay un total de 9 000 conejos. La dieta mensual mínima que debe consumir cada conejo es de 48 unidades de hidratos de carbono y 60 unidades de proteínas. En el mercado hay dos productos ( A y B ) que aportan estas necesidades de consumo. Cada envase de A contiene 2 unidades de hidratos de carbono y 4 unidades de proteínas y cada envase de B contiene 3 unidades de hidratos de carbono y 3 unidades de proteínas. Cada envase de A cuesta 0,24 euros y cada envase de B cuesta 0,20 euros.
Calcula el número de envases de cada tipo que se debe adquirir para que el coste sea mínimo. Halla el valor de dicho coste mensual mínimo.
x = envases del producto A
y = envases del producto B
Hacemos una tabla con los datos:
HIDRATOS DE CARBONO PROTEÍNAS COSTE (€) ENVASE DE A 2 4 0, ENVASE DE B 3 3 0,
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Las restricciones son:
≤ ≤ ≤ ≥ ≥
x y x y x y x y
Beneficio que se quiere maximizar: z = 1 200x + 1 000y en euros.
La representación de la región de validez y la función objetivo es:
2 x + y = 90
x + 2 y = 90 x
6 x + 5 y = 0
A
B
C 10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
El último punto de la región factible en el que tocan las rectas paralelas a la función objetivo es el vértice B (30, 30), punto en el que z será máxima.
Por tanto, deben facturarse 30 toneladas de M 1 y 30 toneladas de M 2.
6. Solución múltiple
Hazlo tú. Un tendero va al mercado central con su furgoneta, que puede cargar 700 kg, y con 500 € en el bolsillo, a comprar fruta para su tienda. Encuentra las manzanas a 0,80 € /kg y las naranjas a 0,50 € /kg. El tendero cree que podrá vender las manzanas a 0,88 € /kg y las naranjas a 0,55 € /kg. ¿Qué cantidad de manzanas y de naranjas le conviene comprar si quiere obtener el mayor beneficio posible? x = cantidad de manzanas (kg) y = cantidad de naranjas (kg)
Las restricciones son: ≤ , , ≤ ≥ ≥
x y x y x y
Beneficio que se quiere maximizar: z = 0,08x + 0,05y en euros.
La representación de la región de validez y la función objetivo se muestra a la derecha:
x + y = 700
0,08 x + 0,05 y = 0
0,8 x + 0,5 y = 500
A
B
C 100 200 300 400 500 600
100
200
300
400
500
600
700
Como la recta 0,8x + 0,5y = 500 es paralela a la función de beneficio, cualquier punto del segmento BC es una solución válida. Es decir, cualquier cantidad de manzanas entre 500 kg y 625 kg y de naranjas entre 0 kg y 200 kg que verifique la igualdad 0,8x + 0,5y = 500 conseguirá un beneficio máximo. Por ejemplo, comprar 500 kg de manzanas y 200 kg de naranjas, o 500 kg de manzanas y ninguna naranja, o 400 kg de manzanas y 360 kg de naranjas, hace que el beneficio que se obtiene en todos los casos sea máximo: z = 0,08 · 500 + 0,05 · 200 = 50 € z = 0,08 · 625 + 0,05 · 0 = 50 € z = 0,08 · 400 + 0,05 · 360 = 50 €
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7. Problema de transporte
Hazlo tú. Una fábrica de tintas dispone de 1 000 kg del color A , 800 kg del color B y 300 kg del co- lor C , con los que fabrica dos tipos de tinta, una para la etiqueta de un refresco y otra para un cartel. Cada bote de tinta de la etiqueta necesita 10 kg del color A , 5 kg del color B y 5 kg del color C y cada bote de tinta del cartel requiere 5 kg del A y 5 kg del B****. La fábrica obtiene un beneficio de 30 € por cada bote de tinta para etiquetas y de 20 € por cada uno de tinta para carteles. Si vende todos los botes fabricados, ¿cuántos botes de cada tipo de tinta debe fabricar para maximizar su beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo? x = número de botes de tinta para etiquetas
y = número de botes de tinta para carteles Hacemos una tabla con los datos:
TINTA A (kg) TINTA B (kg) TINTA C (kg) BENEFICIO (€) BOTE PARA ETIQUETAS 10 5 5 30 BOTE PARA CARTELES 5 5 0 20
Las restricciones son:
≤ ≤ ≤ ≥ ≥
x y x y x x y
Beneficio que se quiere maximizar: z = 30x + 20y en euros. La representación de la región de validez y la función de beneficio es:
x = 60
x + y = 160
2 x + y = 200
3 x + 2 y = 0
A
B
C
D 20 40 60 80 100
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Evidentemente, la recta variable 30x + 20y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el pun- to B (40, 120), es decir, debe fabricar 40 botes para etiquetas y 120 botes para carteles para maximizar el beneficio. El beneficio máximo será de 30 · 40 + 20 · 120 = 3 600 €.
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3. Mecánicos y electricistas En una empresa van a trabajar mecánicos y electricistas. Por necesidad del mercado debe haber ma- yor o igual número de electricistas que de mecánicos, y el número de electricistas no debe superar el do- ble del de mecánicos. Se necesitan al menos 20 electricistas y no hay más de 30 mecánicos disponibles.
Si por cada mecánico se obtienen 2 000 € de beneficio mensual y por cada electricista, 2 500 € , ¿cuán- tos de cada clase se deben contratar para maximizar el beneficio? Llamamos x al número de mecánicos e y, al de electricistas. Restricciones:
≤ ≤ ≥ ≤ ≥ ≥ x y y x y x x y
Función objetivo: F (x, y) = 2 000x + 2 500y La representación de la región de validez y la función objetivo es:
y = 20
4 x + 5 y = 0
x = 30
x = y
A^ y^ = 2 x
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
La recta variable 2 000x + 2 500y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto A (30, 60). Hay que contratar 30 mecánicos y 60 electricistas para obtener un beneficio máximo.
4. Dos tipos de abonos
Ana debe fertilizar los terrenos de su finca con dos abonos, A y B. El abono A cuesta 0,9 € /kg y el B, 1,5 € /kg. El abono A tiene un 20 % de nitrógeno y un 10 % de fósforo, mientras que el B contiene un 18 % y un 15 %, respectivamente. Los terrenos están bien fertilizados con al menos 180 kg de nitrógeno y 120 kg de fósforo. ¿Cuál es el gasto mínimo que debe hacer Ana para fertilizar de manera correcta sus terrenos? Llamamos x al número de kilos de abono A e y al número de kilos de abono B. Hacemos una tabla con los datos:
FERTILIZANTE A FERTILIZANTE B NECESIDADES NITRÓGENO 20 % 18 % 180 kg FÓSFORO 10 % 15 % 120 kg COSTE 0,9 1,
La función objetivo es F (x, y) = 0,9x + 1,5y en euros.
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Las restricciones son: , , ≥ , , ≥ ≥ ≥
x y x y x y
La representación de la región de validez y la función beneficio es:
0,9 x + 1,5 y = 0
0,2 x + 0,18 y = 180
0,1 x + 0,15 y = 120
A
C
B
200 400 600 800 1000 1 200 1400
200
400
600
800
1000
1200
La recta variable 0,9x + 1,5y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice C (1 200, 0). Ana debe comprar solo 1 200 kg de fertilizante A para realizar un gasto mínimo. Este gasto será de F (1 200, 0) = 0,9 · 1 200 = 1 080 €.
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3 Maximiza la función z = x + y + 1 sujeta a las siguientes restricciones: y x x y y x x y
Representamos las rectas y la dirección de x + y + 1 = K. Obtenemos la región que cumple las condi- ciones del problema:
( , )
y x x
A
x x y
B
x y x y
C
4 d n
x y y x
D
2
x^ = y
x^ = 10
3 x + 4 y = 24 x + y + 1 = 0
D C
B
A
y^ – 2
x^ = 6
z = F (x, y) = x + y + 1 F (A ) = F (10, 26) = 37; F (B ) = F (10, 10) = 21; F (C ) = F d 247 ,^247 n =^557 ; F (D ) = F (0, 6) = 7 El máximo se alcanza en el punto A (10, 26) y vale 37.
4 En la región determinada por x + y ≥ 5, x + 3 y ≥ 9, 4 x + y ≥ 8, x ≥ 0 e y ≥ 0, halla el punto en el que la función F ( x , y ) = 2 x + 3 y alcanza su valor mínimo. ¿Puede alcanzar su máximo en esa región? Representamos las rectas, la dirección de 2x + 3y = K y la región que cumple las condiciones del pro- blema, teniendo en cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.
x x y
A
x y x y
B
x y x y C
+ = 4 ( ,^ )
x y y D
(^1 )
x (^) + (^) y (^) = 5
x (^) + 3 y = 9
2 x + 3 y = 0
A
C D
(^4) x (^) + y (^) = 8
B
El mínimo de F (x, y) se encuentra en uno de los vértices de la región factible: F (A ) = F (0, 8) = 24 F (B ) = F (1, 4) = 14 F (C ) = F (3, 2) = 12 F (D ) = F (9, 0) = 18 El mínimo se alcanza en el punto C (3, 2) y vale 12. No tiene máximo, pues hay puntos en la región en los que F (x, y) toma valores tan grandes como queramos.
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5 Calcula los puntos del siguiente recinto: x y x y y
que hacen mínima o máxima la función z = 2 x + y****. ¿Cuántas soluciones hay?
Representamos las rectas
x y x y y y
- y obtenemos la región que cumple las restricciones dadas.
Representamos la dirección de las rectas 2 x + y = K dibujando 2 x + y = 0. Esta recta es paralela a 2 x + y = 20, que determina uno de los lados del recinto.
(^2) x
- (^) y (^2) x (^) + (^) = 20 (^) y = 0
2 x^
-^ y
= 20
2 20
y = 20
(^2) y = 0
Hay infinitos puntos que hacen mínima la función: todos los que están sobre el segmento de recta 2 x + y = 20, con 0 ≤ x ≤ 10. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x y y
= 4 Punto (20, 20)
6 ¿Es posible maximizar y minimizar la función z = x + y + 1 sujeta a estas restricciones?: x x x
y y y
Para obtener el recinto que cumple las restricciones del problema, representamos las rectas: x y x y x y
Para ver la dirección de z = x + y + 1, representamos la recta x + y + 1 = 0.
2 x^ – 3
y^ – 3 = 0
(^11)
x (^) + (^) y (^) + 1 = 0 5 x^ –
y^
(^3) x (^) + 4 y (^) – 13 = 0
No existe máximo ni mínimo.
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b) G (x, y) alcanza el máximo en el punto de corte de las rectas: y x y x
x y
4 4 Punto (2, 1)
El máximo vale G (2, 1) = 11. G (x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, 0) y vale G (0, 0) = 0.
9 Considera el triángulo de vértices (0, 0), (2, 8) y (10, 3). Determina razonadamente el punto en el que cada una de las siguientes funciones alcanza su máximo: a) F ( x , y ) = – 4 x + y + 9 b) F ( x , y ) = 4 x + y + 12 Sabemos que el máximo se alcanza en algún vértice (o en un lado). Calculamos el valor de la función dada en cada uno de los vértices: a) F (x, y) = – 4x + y + 9 ( , ) ( , ) ( , )
F
F
F
4 Hay infinitos puntos que hacen máxima la función: todos los puntos del lado que
une los vértices (0, 0) y (2, 8).
b) F (x, y) = 4x + y + 12 ( , ) ( , ) ( , )
F
F
F
4 La función alcanza el máximo en el punto (10, 3).
10 Define mediante un sistema de inecuaciones cada uno de los recintos representados en las si- guientes figuras: a) b)
2 4 6 8
2
4
6
8
5 10 15 20
5
10
15
20
c) d)
20 40 60 80
20
40
60
80
1000 2000
1000
2000
a)
x y x y x y
x
x y x y
x
x y x y x y
y x y x y x
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11 a) Calcula los puntos donde se hace máxima y mínima la función F ( x , y ) = 2 x + y para la región de validez del apartado a) del ejercicio anterior. Haz lo mismo para estas otras funciones: b) Para el apartado b): G ( x , y ) = x + 2 y c) Para el apartado c): H ( x , y ) = 3 x + 4 y d) Para el apartado d): I ( x , y ) = x – 3 y
a) La representación de la región de validez y la función objetivo es:
La recta variable 2x + y = K toma su valor máximo (dentro de los vá- lidos) en el vértice D (7, 4); y su valor mínimo en el vértice B (3, 2).
2 2 x + y = 0
4 6 8
2
4
6
8 A
B C
D
b) La representación de la región de validez y la función objetivo es:
La recta variable x + 2y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice D (17,5; 16,25); y su valor mínimo en el vértice B (2,5; 1,25).
x + 2 y = 0
A
B
C
D
5 10 15 20
5
10
15
20
c) La representación de la región de validez y la función objetivo es:
La recta variable 3 x + 4y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice C (40, 10). No hay máximo en esta región pues H (x, y) se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto.
3 x + 4 y = 0
20 40 60 80
20
40
60
80
A
B C
d) La representación de la región de validez y la función objetivo es:
La recta variable x – 3y = K no toma un valor máximo ni mínimo en esta región. La función I (x, y) se puede hacer tan grande y tan peque- ña como se quiera en el recinto propuesto.
x – 3 y = 0
1000 2000
1000
2000
A
B
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P ara resolver
13 Una persona tiene 15 000 € para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene un in- terés anual del 9 %, y el tipo B, del 5 %. Decide invertir, como máximo, 9 000 € en A, y como mínimo, 3 000 € en B. Además, quiere invertir en A tanto o más que en B. a) Dibuja la región factible. b) ¿Cómo debe invertir los 15 000 € para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio anual máximo? a) Llamamos x a la cantidad de euros invertidos en acciones de tipo A e y a la cantidad de euros invertidos en acciones de tipo B. Las restricciones del problema son: ≥ ≤ ≥ ≥ ≤
x x y x y x y
Representamos las rectas y obtenemos la región factible, que es la zona sombreada:
200
x (^) + (^) y (^) = 1500
y = 300
x^ = 900 y^ = x
900 1500
200
1500
b) La función objetivo es F (x, y) = 0,09x + 0,05y. Vemos cuál es el valor de esta función en los vértices de la región factible:
P (300, 300) S (900, 300)
( , )
x y x y Q
x y x R
F (P ) = F (300, 300) = 42
F (Q ) = F (750, 750) = 105
200 F (R ) = F (900, 600) = 111
0,09 x + 0,05 y = 0
P
R
S
x (^) + (^) y (^) = 1500
y = 300
x^ = 900 y^ = x
900 1500
200
1500
Q
F (S ) = F (900, 300) = 96
Para que el beneficio sea máximo, se deben invertir 900 € en acciones de tipo A y 600 € en accio- nes de tipo B. El beneficio máximo anual es de 111 €.
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14 Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta imperial y la tarta de lima.
La tarta imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 8 €. La tarta de lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 10 €. En el almacén les quedan 10 kilos de azúcar y 120 huevos. a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? b) ¿Se cumplirían los requisitos si decidieran elaborar 3 tartas imperiales y 9 tartas de lima? c) ¿Cuántas unidades de cada tipo de tarta debe elaborar la confitería para obtener el mayor ingreso por ventas? a) Llamamos x al número de tartas de tipo imperial e y al número de tartas de lima. Las restricciones del problema son: ≥ ≥ , ≤ ≤ ≤ ≤ ,
x y x y x y x y x y x y
enteros
Representamos el conjunto de restricciones:
5 10 15
x (^) + (^) y (^) = 15
x (^) + 2 y (^5) (^) = 20
10
15
Las posibles combinaciones de especialidades que pueden hacer se corresponden con los puntos de coordenadas enteras dentro de este recinto, incluida la frontera. b) Por tanto, sí se cumplirían los requisitos si decidieran elaborar 3 imperiales y 9 de lima. c) La función que da los ingresos por ventas es F (x, y) = 8x + 10y.
Tendremos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x + 10y = 0 → 4 x + 5y = 0, que nos da la dirección de las rectas 8x + 10y = K. El máximo se alcanza en el punto de intersec- ción de las rectas: x y x y
4 Punto (10, 5)
Por tanto, han de fabricar 10 tartas imperiales y 5 de lima. 5 10 15
x (^) + (^) y (^) = 15
x (^) + 2 y (^) = 20
8 x + 10 y = 0
5
10
15
