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RELACIÓN 2
Programación Lineal
Ejercicio 1. La región factible de un problema de programación lineal es la intersección del primer cuadrante con los tres semiplanos definidos por las siguientes inecuaciones: 𝑥 10
a) Dibuja dicha región y determina sus vértices b) Calcula el mínimo de la función objetivo 𝐹(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 5𝑦 , en el recinto anterior Ejercicio 2. Los 18 chicos y 24 chicas de 2º de Bachillerato de un centro docente, organizan un viaje. Para financiarlo, deciden trabajar por las tardes en una empresa realizando encuestas que contrata equipos de dos tipos: Tipo A: dos chicos y cuatros chicas Tipo B: tres chicos y tres chicas La empresa abona por una tarde de trabajo 18€ al equipo del tipo A y 30€ al equipo de tipo B. Se pide: a) Dibujar la región factible b) ¿Cómo les conviene distribuirse para obtener la mayor cantidad de dinero posible? c) Si la empresa abonara 24 € a cada uno de los tipos de equipo, ¿cómo les convendría entonces hacer la distribución?
Ejercicio 3. Sea R la región del plano determinada por
{
a) Representa la región R del plano b) Calcula el máximo de la función 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 en esta región
Ejercicio 4. Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y 160 de la editorial B, con los que decide hacer dos tipos de lotes: el lote económico, con tres libros de la editorial A y uno de la editorial B, que venderá por 8 €, y el lote selecto, con un libro de la editorial A y dos de la editorial B, que venderá por 10 €. Deduce razonadamente cuántos lotes debe hacer de cada tipo para maximizar sus ingresos al vender todos los lotes. Ejercicio 5. Una factoría produce coches de los modelos A y B. El beneficio por la venta de un coche del modelo A es de 450 € y la venta del modelo B reporta un beneficio de 600 €. La capacidad de la factoría impide producir más de 400 coches por día del modelo A y más de 300 coches del modelo B. Además, no es posible producir diariamente más de 500 coches entre ambos modelos. Se vende toda la producción que se hace y se desea saber, razonadamente, cuántos coches interesa fabricar de cada modelo para obtener el máximo beneficio.
Ejercicio 6. Dibuja el recinto que cumple las siguientes condiciones: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 − 4 ≤ 0, 𝑦 − 𝑥 + 1 ≥ 0, 𝑦 + 2𝑥 − 5 ≤ 0 Localiza, de forma razonada, el punto del recinto en el que la función objetivo 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 se hace máxima.
Ejercicio 7. La Consejería de Sanidad de Canarias dispone de 30 médicos, 48 enfermeros y 240 millones de euros para construir centros asistenciales en dos barrios. Los requerimientos de cada centro son Barrios Médicos Enfermeros Millones A 3 3 30 B 2 4 10 Si las autoridades consideran prioritario prestar atención sanitaria al mayor número de personas y, sabemos que en el barrio A se proporcionará asistencia a 1500 personas de media, mientras que en el barrio B se podrá atender a 600 personas de media, ¿cuántos centros se deberán construir en cada barrio?
Ejercicio 8. En una fundición disponen de 1200 kg de hierro, 800 kg de cobre y 700 kg de níquel. Fabrican dos tipos de aleaciones: la A, en la que se mezclan los tres a partes iguales, y la B, en la que se mezclan 4 partes de hierro con 2 de cobre y 1 de níquel. Los precios de venta por grano son de 6 cents para la aleación A y 8 cent para la B. Determina cuántos kilos de cada tipo de aleación se deben fabricar para que la ganancia obtenida sea máxima.
Ejercicio 9. Una fábrica de madera produce dos líneas de muebles: el clásico ( C) y el funcional (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones b) ¿Qué combinaciones de puebles puede fabricar? c) Si el beneficio corresponde a la función B=3C+2F, ¿cuántas unidades de cada línea de muebles deben fabricarse para maximizarlo? ¿Cuál es el máximo beneficio? Ejercicio 10. a) Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar. “Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kg de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kg de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1800 g de hidratos y 240 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0.50€ y 1 kg de pienso cuesta 0.25€, calcule cuantos kg de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo” b) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≤ 2𝑦 + 2, 𝑥 + 𝑦 ≤ 5 Calcule el máximo de 𝐹(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 3𝑦 y en dicho recinto, así como el punto donde se alcanza.
Ejercicio 11. Se considera la región definida por las siguientes inecuaciones: 2𝑥 − 𝑦 ≥ 2, −𝑥 + 2𝑦 ≤ 2, 3𝑥 + 𝑦 ≤ 15 𝑦 ≥ 0
Ejercicio 17. Plantee, sin resolver, el siguiente problema de programación lineal: “Una empresa fabrica camisas de dos tipos A y B. El beneficio que obtiene es de 8 euros por cada camisa del tipo A y de 6 euros por cada una del tipo B. La empresa puede fabricar, como máximo, 105 camisas, y las del tipo B han de suponer, al menos, el 60% del total. ¿Cuántas camisas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
Ejercicio 18. Determina los valores máximo y mínimo de la función 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 sometida a las restricciones 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 0 ≤ 𝑦 ≤ 10 8 ≤ 2𝑥 + 𝑦 ≤ 16
Ejercicio 19. Halla los vértices del recinto plano formado por las soluciones del sistema de inecuaciones:
Ejercicio 20. Determina los valores máximo y mínimo de la función 𝑧 = 2𝑥 − 8𝑦 sometida a las restricciones: 3𝑥 − 2𝑦 ≤ 12 𝑥 − 4𝑦 ≥ −20 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 24 𝑥 + 2𝑦 ≥ 4 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0
Ejercicio 21. Para fabricar dos tipos de cables, 𝐴 y 𝐵, que se venderán a 150€ y 100€ el hectómetro, respectivamente, se emplean 16 kg de plástico y 4 kg de cobre para cada hectómetro del tipo 𝐴 y 6 kg de plástico y 12 kg de cobre para cada hectómetro de tipo 𝐵. El cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble del tipo A y, además, solo tenemos 252 kg de plástico y 168 kg de cobre. Determina la longitud, en hectómetros, de cada tipo de cable, para que la cantidad de dinero obtenida en su venta, sea máxima.
Ejercicio 22. Sea R la región del plano determinada por
a) Representa dicha región R b) ¿De qué tipo de región se trata? c) Calcula sus vértices de forma explícita d) Optima la función 𝐹(𝑥, 𝑦) = 150𝑥 + 300𝑦 dentro de la región R
