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Asignatura: estadistica, Profesor: , Carrera: Economía, Universidad: UNIOVI
Tipo: Ejercicios
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© Covadonga Caso, Esteban Fernández, Ana Salomé García, Matías Mayor, Mª Jesús Río y Mª Rosalía Vicente
(^1) Distribuciones bidimensionales
2 Distribuciones marginales
(^3) Dependencia e independencia estadística
(^4) Medidas de asociación en tablas de contingencia
(^5) La correlación y su medida
Distribuciones bidimensionales
Una distribución bidimensional viene dada por las observaciones conjuntas de dos caracteres con sus frecuencias correspondientes que se representan genéricamente por (xi , yj , nij ) o (xi , yj , fij ), (i = 1 , ..., k; j = 1 , ..., m).
X /Y y 1 y 2 ... ym x 1 n 11 n 12 ... n 1 m x 2 n 21 n 22 ... n 2 m ... ... ... ... ... xk nk 1 nk 2 ... nkm
Tipos de frecuencias: Frecuencias absolutas conjuntas: nij Frecuencias relativas conjuntas: fij = n Nij
Distribuciones bidimensionales
Ejemplo
X: Renta familiar (miles de ¿); Y: Gasto en viajes (miles de ¿); 20 familias
X/Y 2 4 10 24 4 1 0 30 2 5 1 50 0 1 6
Distribuciones marginales
X: Renta familiar (miles de ¿); Y: Gasto en viajes (miles de ¿)
X/Y 2 4 10 ni. xi ni. 24 4 1 0 5 24 5 x = (^) ∑ki= 1 xi fi. = 35 , 5 30 2 5 1 8 =⇒ 30 8 50 0 1 6 7 50 7 S X^2 = (^) ∑ki= 1 (xi − x)fi. = 118 , 75 n.j 6 7 7 20 N 20
Dependencia e independencia estadística
Dependencia funcional: Existe una aplicación unívoca que expresa la relación entre ambas variables.
Dependencia e independencia estadística
Independencia estadística: No existe relación entre X e Y.
Dependencia e independencia estadística
X e Y son independientes, si y sólo si, se cumple la condición de independencia:
f (^) ij = fi.f.j ; ∀i = 1 , ..., k; ∀j = 1 , ..., m
La condición de independencia también puede expresarse en términos de frecuencias absolutas: nij = ni N^ .n .j; ∀i = 1 , ..., k; ∀j = 1 , ..., m
Medidas de asociación en tablas de contingencia
El coe ciente chi-cuadrado de Pearson es una medida de la distancia entre dos distribuciones, que viene dada por la siguiente expresión:
χ^2 =
k
i= 1
m
j= 1
nij − ni^ N.n.j
ni .n.j N
χ^2 ≥ 0. Cuanto más elevado sea el valor de χ^2 , mayor grado de asociación entre los atributos. χ^2 = 0 si y sólo si X e Y son independientes.
Medidas de asociación en tablas de contingencia
Se llama coe ciente de contingencia de Pearson, C, al valor positivo de la siguiente expresión:
χ^2 N + χ^2
Cuanto más se acerque a 1 el valor de C, mayor intensidad de asociación entre los atributos. C = 0 si y sólo si X e Y son independientes.
En tablas de dimensión mxm la cota superior de C es
m− 1 m
La correlación y su medida
Dada una variable bidimensional (X,Y), se denomina covarianza, que se denota por SXY , al valor de la expresión:
k
i= 1
m
j= 1
(xi − x)(yj − y )fij
La covarianza es una medida de la variación conjunta de dos variables que indica únicamente el signo de su relación lineal.
La correlación y su medida
SXY > 0, entonces existe una relación lineal directa entre X e Y. SXY < 0, entonces existe una relación lineal inversa entre X e Y. SXY = 0, entonces no existe una relación lineal entre X e Y.
La correlación y su medida
El coe ciente de correlación lineal de Pearson se de ne como el cociente entre la covarianza de X e Y y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables, es decir:
rXY =
El signo de rXY indica el tipo de relación lineal que existe entre X e Y (directa o inversa). El valor absoluto de rXY indica el grado de dependencia lineal entre X e Y.
La correlación y su medida
¾Qué tipo de relación hay entre la renta y el gasto en viajes que realizan las familias?
X/Y 2 4 10 24 4 1 0 30 1 5 1 50 0 1 6
SXY = 30 , 15. Existe una relación lineal directa entre la renta y el gasto en viajes de las familias. rXY = 0 , 81. Además, el nivel de correlación es alto.
