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Variables aleatorias
En el modelo matem´atico asociado a un experimento aleatorio hemos considerado tres componentes: el conjunto de posibles resultados, el conjunto de los sucesos de inter´es y la probabilidad asignada a los distintos sucesos. La introducci´on del concepto de variable aleatoria tiene la misi´on de facilitar el manejo de ese modelo, y aprovechar conceptos y resultados matem´aticos conocidos para establecer nociones y resultados aplicables a los experimentos aleatorios. Las variables aleatorias van a permitir unificar la naturaleza de los sucesos de inter´es considerados y reducir el estudio de las probabilidades (funciones de A en R) al de funciones de R en R (o de forma m´as general funciones de Rn^ en R).
VARIABLES ALEATORIAS (UNIDIMENSIONALES)
De hecho, en la pr´actica los sucesos de inter´es asociados a un experimento concreto pueden expresarse, habitualmente, en t´erminos de cierta magnitud num´erica cuyo valor depende del resultado del mismo. El modelo con el que vamos a formalizar esta mag- nitud num´erica es una regla que asigna a cada resultado experimental un valor real, y que satisface condiciones muy generales.
Dado un espacio probabil´ıstico (Ω, A, P ), una variable aleatoria asociada a di- cho experimento es una aplicaci´on X : Ω → R que cumple cierta condici´on (llamada condici´on de medibilidad) y que exige que, cualquiera que sea el valor c ∈ R se satisfaga que el conjunto {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ c} es un suceso de inter´es, es decir:
(X ≤ c) = {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ c} ∈ A.
Esta condici´on es v´alida en los ejemplos reales si se elige adecuadamente la clase A de los sucesos de inter´es, por lo que en lo sucesivo no nos preocuparemos de verificarla.
PROBABILIDADES RELATIVAS A VARIABLES ALEATORIAS
El cumplimiento de la condici´on precedente garantiza que si B es un conjunto real que puede expresarse en funci´on de intervalos mediante las operaciones de comple- mentaci´on, y de uni´on/intersecci´on numerables, entonces (X ∈ B) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B} ∈ A. Esta afirmaci´on, junto con las propiedades de las probabilidades, aseguran que si X es una variable aleatoria asociada al espacio (Ω, A, P ), y B ⊂ R es un conjunto que puede expresarse en funci´on de intervalos mediante las operaciones de comple- mentaci´on, y de uni´on/intersecci´on numerables, entonces tiene sentido la P (X ∈ B) = P
{ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B}
. Sobre la base de esta conclusi´on, se establece el concepto de probabilidad inducida por una variable aleatoria como sigue:
Si (Ω, A, P ) es un espacio probabil´ıstico y X es una variable aleatoria asociada a ´el, se define la probabilidad inducida por la variable aleatoria, como la aplicaci´on P ∗^ que a cada conjunto B ⊂ R que puede expresarse mediante complementaci´on y uni´on/intersecci´on numerables de intervalos reales le asigna el valor
P ∗(B) = P (X ∈ B). Con la introducci´on de la probabilidad inducida, reducimos el estudio de la pro- babilidad inicial P definida para subconjuntos de Ω al de la probabilidad P ∗^ definida para subconjuntos de R (es decir, hemos conseguido unificar la naturaleza de los suce- sos de inter´es con los que vamos a trabajar que, independientemente del experimento considerado, van a poder expresarse en t´erminos de subconjuntos de R). Por otro lado, cualquier conjunto B ⊂ R funci´on de intervalos reales mediante complementaci´on y uni´on/intersecci´on numerables, puede tambi´en expresarse a trav´es de la complementaci´on y la uni´on/intersecci´on numerables de intervalos de la forma (−∞, c]. Como consecuencia, el estudio de la probabilidad inducida puede a su vez reducirse al de la probabilidad inducida para este tipo especial de intervalos que, como s´olo dependen del valor c del extremo superior puede caracterizarse por:
Si (Ω, A, P ) es un espacio probabil´ıstico y X es una variable aleatoria asociada a ´el, se define la funci´on de distribuci´on de la variable aleatoria, como la aplicaci´on
F : R → R tal que para todo x ∈ R : F (x) = P (X ≤ x) = P
( {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ (−∞, x]}.
Las variables aleatorias abstraen el concepto de variables estad´ısticas unidimensio- nales, y la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria abstrae el de funci´on de distribuci´on emp´ırica. De hecho, la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria caracteriza la distribuci´on de esa variable y satisface las cuatro propiedades siguientes:
Prop. 1. lim x→∞ F (x) = 1.
Prop. 2. (^) x→−∞lim F (x) = 0.
Prop. 3. F es no decreciente, es decir:
x, y ∈ R, con x < y ⇒ F (x) ≤ F (y).
Prop. 4. F es continua por la derecha en todos los puntos de R, es decir, cualquiera que sea x 0 ∈ R se cumple que F (x 0 +) = lim x→x+ 0
F (x) = lim x→x 0 , x>x 0 F (x) = F (x 0 ))
(y puede o no ser discontinua por la izquierda en alg´un punto, a diferencia de lo que ocurr´ıa con la funci´on de distribuci´on emp´ırica que necesariamente era escalonada y con discontinuidad por la izquierda en los puntos correspondientes a los valores de la variable en la muestra).
Por ejemplo, si Ω = {soluciones preparadas en cierto laboratorio} y A = P (Ω) = {A ⊂ Ω}, se puede definir la variable aleatoria
X : Ω → { 0 , 1 },
tal que
X(ω) =
1 si ω es una soluci´on ´acida 0 si ω es una soluci´on neutra o b´asica.
X es una variable aleatoria discreta con valores x 1 = 0, x 2 = 1. Si se elige una soluci´on al azar de entre las N preparadas en el laboratorio considerado, entonces puede aplicarse la definici´on cl´asica para determinar la distribuci´on de probabilidad que vendr´a dada por {p 1 , p 2 } con
p 1 = no^ de soluciones con pH ≥ 7 N
p 2 = no^ de soluciones con pH < 7 N
En este caso se dice que X tiene distribuci´on de Bernoulli de par´ametro p = p 2. Se trata de un modelo estad´ıstico asociado a experimentos aleatorios en los que s´olo se tiene inter´es en saber si ha ocurrido o no cierto suceso A (es decir, en saber si en la realizaci´on experimental ocurre A o Ac).
Las variables aleatorias continuas constituyen modelos idealizados de situaciones reales. Formalmente, se dice que una variable X es una variable aleatoria continua si la funci´on de distribuci´on de X, F , puede expresarse para cada x ∈ R como:
F (x) =
∫ (^) x
−∞
f (t) dt
para cierta funci´on f : R → R tal que f (t) ≥ 0 para todo t ∈ R y
−∞ f^ (t)^ dt^ = 1. La funci´on f recibe el nombre de funci´on de densidad de la variable X.
Una variable continua toma una infinidad no numerable de valores distintos y su funci´on de distribuci´on es continua. Para cada x ∈ R, la probabilidad P (X = x) = 0. Si B ⊂ R puede expresarse en funci´on de intervalos mediante las operaciones de complementaci´on, y de uni´on/intersecci´on numerables, entonces:
P (X ∈ B) =
B
f (t) dt,
que gr´aficamente corresponder´ıa al ´area de la regi´on limitada en B por la gr´afica de la funci´on de densidad y el eje de abscisas (Figura 21).
f (x)
B
Figura 21. Interpretaci´on gr´afica de la ∫ B f^ (t)^ dt.
Por ejemplo, si X es una variable aleatoria que toma valores en [0, 1] con funci´on de distribuci´on
F (x) =
0 si x < 0 x si x ∈ [0, 1] 1 si x > 1 , entonces para f (t) =
1 si t ∈ [0, 1] 0 en el resto, se cumple que F (x) =
∫ (^) x
−∞
f (t) dt
ya que si x ∈ [0, 1]:
F (x) =
∫ (^) x
−∞
f (t) dt =
−∞
0 dt +
∫ (^) x
0
dt = 0 + t
]t=x t=0 = 0 + (x^ −^ 0) =^ x,
si x < 0: F (x) =
−∞
0 dt = 0,
si x > 1:
F (x) =
∫ (^) x
−∞
f (t) dt =
−∞
0 dt +
0
dt +
∫ (^) x
1
0 dt = 0 + t
]t= t=0 + 0 = 0 + (1^ −^ 0) + 0 = 1,
y adem´as f (t) ≥ 0 para todo t ∈ R y ∫ (^) ∞
−∞
f (t) dt =
−∞
0 dt +
0
dt +
1
0 dt = 0 + t
]t= t=0 + 0 = 0 + (1^ −^ 0) + 0 = 1,
En este caso, para cada i ∈ { 1 , 2 ,... , n} el ´area de la regi´on limitada por f y el eje OX en [ai− 1 , ai] coincidir´a con el ´area de la regi´on limitada por el borde superior del histograma y el eje OX en [ai− 1 , ai]. Si se procede del mismo modo “refinando” la divisi´on indefinidamente, la afirmaci´on precedente sigue siendo v´alida, de modo que f puede considerarse como el l´ımite del borde superior del histograma cuando la amplitud de cada sub-intervalo tiende a 0 (es decir, el intervalo se reduce a un punto).
PROBABILIDADES INDUCIDAS DE INTERVALOS
Y FUNCI ON DE DISTRIBUCI ´ ON´
Tanto en el caso discreto como en el continuo, la probabilidad de que una variable aleatoria X tome valores en un intervalo real puede calcularse directamente a partir de su funci´on de distribuci´on, como sigue:
Supuestos a, b ∈ R con a < b, se cumple que:
(−∞, a]
= F (a).
(−∞, a)
= F (a−) = limx→a−^ F (x) = limx→a, x<a F (x).
(a, b]
= F (b) − F (a).
(a, b)]
= F (b−) − F (a).
[a, b]
= F (b) − F (a−).
[a, b)
= F (b−) − F (a−).
(a, +∞)
= 1 − P ∗
(−∞, a]
= 1 − F (a).
[a, +∞)
= 1 − P ∗
(−∞, a)
= 1 − F (a−).
En particular, cuando X es continua, su funci´on de distribuci´on es continua, de modo que:
- P (X ≤ a) = P (X < a) = F (a).
- P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a).
- P (a < X) = P (a ≤ X) = 1 − F (a).
MEDIDAS CARACTER´ISTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS
En esta secci´on vamos a introducir ciertos valores representativos de la distribuci´on de una variable aleatoria y que, a menudo, figuran expl´ıcita o impl´ıcitamente en la ex- presi´on de su funci´on de distribuci´on (o de la funci´on de probabilidad o densidad, en los
casos discreto y continuo). Buena parte de los m´etodos de la Estad´ıstica Inferencial se refieren a la obtenci´on de conclusiones acerca de estos valores representativos (medidas caracter´ısticas poblacionales) y suelen basarse en los valores an´alogos para la muestra disponible (medidas caracter´ısticas muestrales), de modo que las medidas que vamos a presentar son abstracciones de algunas de las examinadas en el An´alisis de Datos unidimensionales de Estad´ıstica Descriptiva: media, varianza y desviaci´on t´ıpica.
Si X es una variable aleatoria, se define su esperanza matem´atica o valor espe- rado (o media poblacional cuando se trabaja en el contexto de la Inferencia Estad´ıstica) como el valor:
E(X) =
xi
xi · P (X = xi) si X es una variable discreta con valores xi
∫
R
x · f (x) dx si X es una variable continua con f. de densidad f (x).
En ocasiones, se denota tambi´en por μX o, simplemente, por μ.
Si, por ejemplo, X es una variable que toma los valores x 1 = −2, x 2 = −1, x 3 = 0, x 4 = 2 y x 5 = 4 con probabilidades respectivas p 1 = 0.15, p 2 = 0.2, p 3 = 0.25, p 4 = 0.3, p 5 = 0.1, entonces:
E(X) = (−2) · 0 .15 + (−1) · 0 .2 + 0 · 0 .25 + 2 · 0 .3 + 4 · 0 .1 = 0. 5.
Si, por ejemplo, X es una variable que toma valores en [2, 6] con funci´on de densidad:
f (x) =
- 25 si t ∈ [2, 6] 0 en el resto,
entonces:
E(X) =
2
x · 0. 25 dx = 0. 25 · x^2 2
]x=
x=
En forma an´aloga al caso descriptivo, la esperanza matem´atica satisface las propiedades siguientes:
Prop. 1. Sea X es una variable aleatoria y sea g : R → R una funci´on tal que Y = g(X). Entonces, la esperanza matem´atica de Y puede hallarse a partir de la distribuci´on de X como sigue:
E(Y ) = E(g(X))
xi
g(xi) · P (X = xi) si X es una variable discreta con valores xi
∫
R
g(x) · f (x) dx si X es una variable continua con f. de densidad f (x).
Var(X) =
2
(x − 4)^20. 25 dx =
2
(x^2 + 16 − 8 x)0. 25 dx
2
x^2 · 0. 25 dx +
2
4 dx +
2
− 2 x dx
x^3 3
]x=
x=
- 4 · x]x x=6=2 − 2 · x^2 2
]x=
x=
= 0. 25
En forma an´aloga al caso descriptivo, la varianza satisface las propiedades siguientes:
Prop. 1. Var(X) ≥ 0.
Prop. 2. Var(X) = 0 si y s´olo si X es una variable aleatoria degenerada en un valor c ∈ R.
Prop. 3. Cualquiera que sea c ∈ R y la variable aleatoria X, se cumple que:
Var(c · X) = c^2 · Var(X).
Prop. 4. Cualquiera que sea c ∈ R y la variable aleatoria X, se cumple que:
Var(X + c) = Var(X).
Prop. 5. La varianza de una variable aleatoria X admite la expresi´on alternativa siguiente:
Var(X) = E
X^2
E(X)
Si X es una variable aleatoria, se define su desviaci´on t´ıpica (o desviaci´on t´ıpica poblacional cuando se trabaja en el contexto de la Inferencia Estad´ıstica) como el valor:
σX =
E
X − E(X)
es decir:
σX =
√∑
xi
( xi − E(X)
) 2 P (X = xi) si X es una variable discreta con valores xi
√∫
R
( x − E(X)
) 2 f (x) dx si X es una variable continua con f. de densidad f (x).
Las propiedades de la desviaci´on t´ıpica se deducen de forma trivial a partir de las de la varianza.
DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEV
La Desigualdad de Tchebychev que enunciamos a continuaci´on establece una cota (superior) para la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria se desv´ıe de su valor esperado m´as de cierto ‘margen’ que se prefije. Alternativamente, establece una cota (inferior) para la probabilidad de que la variable tome valores en un entorno prefijado de su valor esperado. Concretamente:
Desigualdad de Tchebychev. Si X es una variable aleatoria con esperanza E(X) ∈ R y varianza Var(X) ∈ R, entonces, cualquiera que sea ε > 0, se cumple que:
P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) ε^2
De forma equivalente, se puede expresar la desigualdad anterior como sigue:
P (|X − E(X)| < ε) ≥ 1 − Var(X) ε^2
Para una interpretaci´on m´as intuitiva, tambi´en puede expresarse la desigualdad anterior de forma que la cota no dependa de la variable, aunque s´ı lo haga el ‘margen’ de desviaci´on ε. De este modo, la desigualdad puede establecerse de las dos formas equivalentes siguientes:
P (|X − E(X)| ≥ kσX ) ≤
k^2
P (|X − E(X)| < kσX ) ≥ 1 −
k^2
cualquiera que sea k > 0.
La Desigualdad de Tchebychev permite garantizar, por ejemplo, que:
- (eligiendo k = 2) cualquiera que sea la variable aleatoria X, al menos el 75 % de su distribuci´on est´a referida a valores que distan del valor esperado E(X) menos de 2 desviaciones t´ıpicas (σX ), ya que
1 −
- (eligiendo k = 3.2) cualquiera que sea la variable X, a lo sumo el 9.765625 % de su distribuci´on afecta a valores que distan del valor esperado E(X) al menos 3. desviaciones t´ıpicas, ya que 1
- 22
∫ (^) x
−∞
0 dt si x ≤ 0
∫ (^0)
−∞
0 dt +
∫ (^) x
0
2 t dt si x ∈ (0, 1)
∫ (^0)
−∞
0 dt +
0
2 t dt +
∫ (^) x
1
0 dt si x ≥ 1
es decir:
F (x) =
0 si x ≤ 0 x^2 si x ∈ (0, 1) 1 si x ≥ 1 Como 1 − 2 X ≤ y ⇔ X ≥ 1 − y 2
entonces
H(y) = 1 − F
1 − y 2
= 1 − F
1 − y 2
1 si^1 −^ y 2 ≤ 0
1 −
1 − y 2
si^1 − 2 y∈ (0, 1)
0 si 1 − y 2 ≥^1 es decir:
H(y) =
0 si y ≤ − 1 3 − y^2 + 2y 4 si y ∈ (− 1 , 1) 1 si y ≥ 1
de modo que la funci´on de densidad de Y corresponde a:
h(y) = d H(y) d y
1 − y 2 si y ∈ (− 1 , 1)
0 en el resto.
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
El inter´es del concepto de variable aleatoria bidimensional, o vector aleatorio bidi- mensional, reside en el hecho de que mediante el mismo pueden estudiarse dependen- cias entre variables unidimensionales y tambi´en en el de que al extenderse al caso n-dimensional van a suministrar un modelo fundamental para formalizar el mecanismo asociado a la obtenci´on de muestras de observaciones y algunas relaciones entre ´estas (como, por ejemplo, la independencia de las observaciones muestrales). El modelo para las magnitudes compuestas por dos magnitudes num´ericas se es- tablecer´a como una regla que asigna a cada resultado experimental un par de valores reales, y que satisface condiciones muy generales.
Dado un espacio probabil´ıstico (Ω, A, P ), una variable aleatoria bidimensional (o vector aleatorio bidimensional ) asociada (o) a dicho experimento es una aplicaci´on (X, Y ) : Ω → R^2 que cumple cierta condici´on (llamada condici´on de medibilidad) y que exige que, cualesquiera que sean los valores c, d ∈ R se satisfaga que el conjunto {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ c, Y (ω) ≤ d} es un suceso de inter´es, es decir:
{ω ∈ Ω | X(ω) ≤ c, Y (ω) ≤ d} ∈ A.
Si (X, Y ) es una variable aleatoria bidimensional asociada al espacio (Ω, A, P ), en- tonces cada una de las componentes X e Y son variables aleatorias (unidimensionales) asociadas a ese mismo espacio.
El cumplimiento de la condici´on precedente garantiza que si B ⊂ R^2 es un con- junto que puede expresarse en funci´on de ‘rect´angulos’ (productos de intervalos) medi- ante las operaciones de complementaci´on, y de uni´on/intersecci´on numerables, entonces {ω ∈ Ω | (X, (ω), Y (ω)) ∈ B} ∈ A. En consecuencia, tiene sentido definir la probabili- dad inducida por la variable aleatoria (X, Y ) y, a partir de ´esta, definir la funci´on de distribuci´on ‘conjunta’ como sigue:
Si (Ω, A, P ) es un espacio probabil´ıstico y (X, Y ) es una variable aleatoria bidimen- sional asociada a ´el, se define la funci´on de distribuci´on conjunta de X e Y , como la aplicaci´on F : R^2 → R tal que para todo par de valores x, y ∈ R : F (x, y) = P
(X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)
= P
{ω ∈ Ω | X(ω) ∈ (−∞, x], Y (ω) ∈ (−∞, y]}. La funci´on de distribuci´on conjunta de dos variables aleatorias unidimensionales caracteriza la distribuci´on de la correspondiente variable aleatoria bidimensional.
Se dice que una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) es una variable bidimen- sional discreta si tanto X como Y son variables unidimensionales discretas. Si denotamos los valores que toma X por xi y los que toma Y por yj , y pij = P (X = xi, Y = yj ) = P
{ω ∈ Ω | X(ω) = xi, Y (ω) = yj }
{ , el conjunto de las probabilidades p 1 j
con pij > 0 se denomina funci´on de probabilidad conjunta de X e Y (o funci´on de masa de probabilidad conjunta de X e Y ). Si B ⊂ R^2 puede expresarse en funci´on de rect´angulos mediante las operaciones de complementaci´on, y de uni´on/intersecci´on numerables, entonces:
P
(X, Y ) ∈ B
(xi,yj )∈B
P (X = xi, Y = yj ).
Adem´as, (^) ∑
(xi,yj )
P (X = xi, Y = yj ) = 1.
y la funci´on de densidad marginal de Y por:
f 2 (y) =
−∞
f (x, y) dx para todo valor y ∈ R.
A partir de la distribuci´on conjunta de dos variables aleatorias X e Y podr´ıan determinarse tambi´en de forma simple las distribuciones de cada variable cuando se conoce el valor de la otra, dando lugar a las distribuciones condicionadas.
A menudo el conocimiento del valor de una variable aleatoria modifica la distribuci´on de otra, pero en ocasiones no tiene lugar esa modificaci´on. En tales casos se dice que las dos variables aleatorias son independientes. Siguiendo un desarrollo an´alogo al de la independencia de variables estad´ısticas en Estad´ıstica Descriptiva y al de la independencia de sucesos, podemos establecer una primera definici´on de independencia de una variable respecto a otra, para llegar a una definici´on en la que ambas variables juegan un mismo papel (es decir, no se distingue entre la condicionada y por la que se condiciona). En el caso en el que (X, Y ) es una variable bidimensional discreta, se dice que X e Y son variables aleatorias discretas independientes si:
P (X = xi, Y = yj ) = P (X = xi) · P (Y = yj ) para todo valor xi de X e yj de Y.
En el caso en el que (X, Y ) es una variable bidimensional continua, se dice que X e Y son variables aleatorias continuas independientes si:
f (x, y) = f 1 (x) · f 2 (y) para todo x, y ∈ R.
Al igual que en el caso descriptivo, la media y la varianza de la suma de variables independientes equivalen a la suma de las medias y varianzas, respectivamente, de las dos variables sumando. De este modo:
Medidas caracter´ısticas de la suma de variables independientes. Si X e Y son dos variables aleatorias asociadas a un espacio probabil´ıstico, se cumple que:
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Si, adem´as X e Y son independientes, se cumple que:
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).
