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INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN.
1. INTRODUCCIÓN En este capítulo damos el concepto de integral desde el punto de vista teórico formal y, aunque será necesario definirla de forma algo complicada, la integral viene a formalizar y a la vez generali- zar un concepto sencillo: el de área. Como ejemplo calcularemos el área de la región del plano limitada por el eje de abscisas y la función y = x^2 entre los valores x = O y x = 2. La representación gráfica de la superficie es:
Pues bien, para obtener el área de la región descrita, que sabemos vale 8/3, vamos a irle acotando por exceso y por defecto siguiendo el método que a continuación describimos: Elegimos los valores de x 0 =O, x 1 =1/2, x 2 =1, x 3 =3/2, x 4 =2, a los cuales corresponde en ordenada, mediante y=x^2 , y 0 =0, y 1 =1/4, y 2 =1, y 3 =9/4, y 4 =4; gráficamente:
Dividimos a continuación el intervalo [O, 2] en bandas según los valores intermedios elegidos:
A cada banda de la región sobre la que queremos calcular el área le hallamos una cota superior y una inferior; así, la primera banda tiene un área S 1 comprendida entre:
8
0 S^1
la segunda tendrá un área S 2 :
2
S^1
la tercera S 3 estará comprendida entre:
8
S^1
Análogamente:
21 49 = 89 ≤S^4 ≤ 214 =^2 De esta forma, el área S de la región en estudio estará comprendida entre:
4
S^15
S^1
Como podemos observar, el resultado obtenido es correcto, pero la diferencia entre el verdadero valor y los obtenidos en esta primera aproximación son excesivamente grandes. Un método lógico de dis- minuir estas diferencias es elegir más valores intermedios en abscisa y así lograr una aproxima- ción mayor; en efecto, para valores de x: 0, 1/3, 1/2, 2/3, 1, 4/3, 3/2, 5/3, 7/4, 2, obtenemos unas cotas para S: 2,21 ≤ S ≤ 3, que, indudablemente, son una aproximación mejor que la anterior. Si continuamos aumentando indefinidamente los valores elegidos en el eje de abscisa, es claro que podríamos llegar a obtener el verdadero valor en el límite; obsérvese, por tanto, cómo el valor del área de la región elegida la obtendríamos por aproximación en el límite. Estamos ya en condiciones de formalizar este concepto, introducido de forma intuitiva en este apartado.
2. CONCEPTO DE INTEGRAL DE RIEMANN Y RIEMANN-STIELTJES DEFINICIÓN Sea [a, b] un intervalo dado. Por PARTICIÓN P de [a, b] entendemos un conjunto finito de puntos x 0 ,x 1 ,…,xn tales: a=x 0 ≤x 1 ≤…≤xn-1≤xn=b Al valor d(P)=máx | xj-xj-1 | le denominamos DIÁMETRO de la partición P. j Pues bien, supongamos f(x) acotada en [a, b], intervalo en el que se ha efectuado una partición P; llame- mos Mi al extremo superior de f en cada uno de los subintervalos que P determina en [a, b]; a:
= ∑ − = −
n i 1 i^ i i^1 U(P,f) M(x x ) se le denomina SUMA SUPERIOR correspondiente a la partición P; a: = ∑ − = −
n i 1 i^ i i^1 L(P,f) m(x x ) SUMA INFERIOR, donde mi es el extremo inferior de f en los subintervalos que P determina en [a, b].
Para definir el segundo concepto de este apartado: la integral de Riemann-Stieltjes, es necesa- rio introducir el concepto de función de variación acotada. DEFINICIÓN Sea f(x) definida en [a, b]; establezcamos en dicho conjunto una partición de la forma: a < x 1 < x 2 < … < xn-1 < b y formemos la suma:
S = |f(x 1 ) – f(a) |+ |f(x 2 ) – f(x 1 ) |+…+ |f(b) – f(xn-1) |
Entonces, si para el conjunto de todas las particiones de [a, b] existe un número que es el extre- mo superior del conjunto de valores posibles de S, se dice que la función es de VARIACIÓN ACO- TADA. A dicho valor, extremo superior del conjunto de valores de S, se le denomina VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN f(x) EN [a, b] y se le representa por Vf(a, b). Para una función monótona acotada, como los valores de la suma son positivos, se puede prescindir de los módulos y si f era la función monótona definida en [a,b] tendremos que: Vf(a,b) = f(b) – f(a) y si f es no creciente, y Vf(a,b) = f(a) – f(b) si f es no creciente. En general, para f monótona, se puede escribir: Vf(a,b) = |f(b) – f(a)|
De una manera más general, se puede afirmar que: TEOREMA Es condición necesaria y suficiente para que una función f definida en [a, b] sea de variación acotada en dicho conjunto, que dicha función pueda expresarse como diferencia de dos funciones no decrecientes. Demostración Veamos en primer lugar que si f es de variación acotada en [a,b] , se puede expresar como diferencia de dos funciones crecientes. Sea x un punto de [a, b]. Llamemos Vj(a, x) a la variación de f sobre [a, x] y Vf(x, b) a la variación de f sobre [x, b]: Al ser Vf(a,b) el extremo superior de todas las particiones posibles [a,b] , se verifica: Vf(a,x) + Vf(x,b) ≤ Vf(a,b) El mismo razonamiento nos sirve para afirmar que si x<x’: Vf(a,x) + Vf(x,x’) ≤ Vf(a,x’) lo que nos dice que la función Vf(a,x) es no decreciente. Llamemos ahora: g(x) = Vf(a,x) – f(x) y comprobemos que es también no decreciente; en efecto, si x<x’: g(x’)-g(x) ¥ Vf(x,x’) – [f(x’)-f(x)] es decir f(x’)-f(x) ≤ |f(x’)-f(x)| = |Ê[f(xk+1)-f(xk)]| ≤ Ê|f(xk+1)-f(xk)| ≤ Vf(x,x’) con lo que g(x’)-g(x) ¥ 0, luego g(x) es no decreciente y queda demostrada esta primera parte. Recíprocamente, si f se puede expresar como diferencia de dos funciones no decrecientes, f es de va- riación acotada:
Sea f(x) = h(x) – g(x); tenemos: S = Ê|f(xk+1)-f(xk)| ≤ Ê|h(xk+1)-h(xk)| + Ê|g(xk+1)-g(xk)| = h(b) – h(a) + g(b) – g(a) por lo que el posible valor de S se mantiene acotado, por lo que f es de variación acotada. Por último, nos queda recordar que, al igual que las funciones monótonas, las funciones de variación acotada poseen únicamente puntos de discontinuidad de primera especie (de salto finito) y que a lo más es un conjunto numerable de puntos en los que presenta dicha discontinuidad. De una manera más general se puede afirmar que: TEOREMA Es condición necesaria y suficiente para que una función f, definida en [a, b], sea de variación acotada en dicho conjunto, que dicha función pueda expresarse como la diferencia de dos fun- ciones crecientes. Estamos ya en condiciones de dar el concepto de función integrable Riemann-Stieltjes. Para ello va- mos a partir de una función a(x) monótona creciente en [a,b] ; entonces, para toda función real f acotada sobre [a,b] y para una partición p de [a,b] , escribimos:
α = ∑ α −α
α = ∑ α −α
= −
= − n i 1 i i i^1
n i 1 i i i^1 L(p,f, ) m[ (x) (x )]
U(p,f, ) M[ (x) (x )]
donde: Mi = sup f(x) Mi = inf f(x) Pues bien, en estas condiciones podemos definir: a) la INTEGRAL SUPERIOR de f respecto de a en [a, b] como:
f (x)d (x) infpPU(p,f, ) b a ∫ α = ∈^ α b) la INTEGRAL INFERIOR de f respecto de a en [a, b]: f(x)d (x) supL(p,f, ) p P
b a ∫ α =^ α ∈ teniendo entonces:
DEFINICIÓN Si se verifica:
f (x)d (x) f(x)d (x )
b a
b a ∫ α =∫^ α
a dicho valor, representado por:
∫ α ∫ α
b a
b a
f(x)f (x) ó f d
le llamaremos INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES de f respecto de a en [a, b]; este hecho lo de- notaremos por: f œ R(a)[a,b] La definición dada puede ser ampliada a funciones de variación acotada sin más que considerar una función a de variación acotada sobre [a, b], y dado que dicha función puede descomponerse como dife-
β =
γ = 7 x 6
4 , 5 4 , 5 x 6
1 3 , 5 x 4 , 5
0 x 3 , 5 (x) 7 x 6
6 3 , 9 x 6
3 1 , 5 x 3 , 9
0 x 1 , 5 (x)
cuyas representaciones gráficas aparecen en las figuras 11.6 y 11.7.
En ellas puede comprobarse que, efectivamente:
- g(x) y b(x) son no decrecientes
- a(x) = g(x) - b(x) Luego a(x) es de variación acotada. Pues bien, consideremos el intervalo [a,b] = [2,5] se verifica:
∫ α^ = ∫ γ −∫ β
b a
b a
b a
f(x)d (x) f(x)d(x) f(x)d (x )
es decir:
∫ α^ = ∫ γ −∫ β
5 2
5 2
(^522) 2
x^2 d (x) x d(x) x d(x)
Determinemos entonces:
∫ γ
5 2
x^2 d(x)
tal y tomo hemos indicado en los conceptos teóricos anteriores; efectuemos una partición del inter- valo [2, 5] en la forma: P 1 ={2, 2.5, 3, 3.5, 3.9, 4, 4.5, 5} es decir: x 0 =2, x 1 =2.5, x 2 =3, x 3 =3.5, x 4 =3.7, x 5 =3.9, x 6 =4, x 7 =4.5, x 8 = y calculamos:
γ = ∑ γ −γ = −
n (^1) i 1 i i i 1 U(P,f, ) M[ (x) (x )]
con Mi=sup f(x) xi-1≤x≤xi i=1,2,…,n Por ejemplo, para i=5 tendríamos: M 5 [g(x 5 )- g(x 4 )] con M 5 =sup f(x) x 4 ≤x≤x 5
es decir, M 5 = x^2 (x=3.9) = (3.9)^2 g(x 5 ) = g(x=3.9) = 3 g(x 4 ) = g(x=3.7) = 3 luego M 5 [g(x 5 )- g(x 4 )] = 0 Obsérvese que de los ocho sumandos que comprenden S(P,f,g) sólo uno va a ser distinto de cero, el sexto, ya que en los restantes: g(xi)- g(xi-1) = 0, i=1,2,…,8 i∫ 6 Luego en definitiva: U(P 1 ,f, g) = 4^2 [g(4)- g(3.9)] = 4^2 El lector puede comprobar de manera análoga: L(P 1 ,f, g) = (3.9)^2 [g(4)- g(3.9)] = (3.9)^2 Consideremos ahora una nueva partición P 2 que contenga los puntos de P 1 y algunos más: P 2 ={2, 2.5, 3, 3.5, 3.7, 3.9, 3.91, 4, 4.5, 5} Puede comprobarse que: U(P 2 ,f, g) = (3.91)^2 [g(3.91)- g(3.9)] = (3.91)^2 L(P 2 ,f, g) = (3.9)^2 [g(3.91)- g(3.9)] = (3.9)^2 y obsérvese cómo, en este caso, U(P,f, g) tiende a L(P,f, g) y, además, el valor que nos aparece es aquel donde hay un salto finito, para x=3.9. Luego podemos afirmar
x d(x) ( 3. 9 )^2 [ ( 4 ) ( 3. 9 )] ( 3. 9 )^23 5 2 ∫ 2 γ = γ −γ = Siguiendo este razonamiento: x d (x) ( 3. 5 )^21 ( 4. 5 )^23. 5
5 2 ∫ 2 β = + Luego, en definitiva:
∫ α^ =∫ γ − ∫ β
5 2
(^52) 2
(^52) 2
x^2 d (x) x d(x) x d(x)
Definición de la integral como límite de sumas Hemos llegado a la integral como límite de dos sucesiones monótonas, una creciente (sumas in- feriores) y otra decreciente (sumas superiores), pero en las que los valores Mi y mi que aparecen en estas sumas no son, sin embargo, valores de f necesariamente. Vamos a considerar ahora
∫ α
b a
f(x)d (x )
como límite de una sucesión de sumas con valores en f.
DEFINICIÓN
Dadas la función f y la función de distribución de variación acotada a, definidas en el intervalo [a,b]
y P={a=x 0 ,x 1 ,…,xn=b} una partición de [a,b], definimos las sumas
S(P,f, a) = Ê f(ti)( a(xi+1) - a(xi)) xi≤ti≤xi+
La demostración de este teorema no es más que una aplicación del teorema del valor medio de funcio- nes de una variable a la definición de la integral como el límite de sumas.
3. PROPIEDADES Damos a continuación un conjunto de propiedades de las integrales de Riemann-Stieltjes de las que se deducen inmediatamente las correspondientes de las integrales de Riemann: TEOREMA
Sean f,g œR( a)[a,b], entonces:
1. f+g œR( a)[a,b] y c.f œR( a)[a,b] con:
∫ α= ∫ α
∫ + α=∫ α+ ∫ α b a
b a
b a
b a
b a c.fd c f d
(f g)d fd gd
- Si f(x) ≤ g(x) en [a,b] entonces
∫ α^ ≤ ∫ α
b a
b a
fd g d
3. Si a<c<b y f œR( a)[a,c] y f œR( a)[c,b] entonces:
∫ α^ +∫ α= ∫ α
b a
b c
c a
fd fd f d
4. f œR( a)[a,b] y
∫ α^ ≤ ∫ α
b a
b a
fd f d
5. Si f œR( a)[a,b] y f œR( b)[a,b] entonces:
∫ α^ +β =∫ α+ ∫ β
b a
b a
b a
f d( ) fd f d y f œ(c a)[a,b] si c œR+
Demostración La demostración de todos los apartados es análoga; es por lo que nos limitamos a realizarla para uno de ellos:
- Si f(x) ≤ g(x), ∈ ⇒∫ α≤ ∫ α
b a
b a
x [a,b] fd g d
∫ α^ = α = ∑ α −α ≤ → α −α −^ = → → = − f d lim S(P,f, ) lim f(t)[ (x) (x )] d(limP) 0 g(ti)[ (xi) (xi 1 )] n d(P) 0 d(P) (^0) i 1 i i i^1
b a = (^) ∫ α
b a
g d
A partir de este momento vamos a centrar nuestro estudio en funciones integrables Riemann y, como consecuencia, en las integrables Riemann-Stieltjes. Veamos un criterio para la existencia de tales funciones integrables.
TEOREMA
Dada una función, acotada sobre [a, b], es integrable si existe, para cualquier e > O, una partición
P de [a, b] tal que:
| U(P,f) – L(P,f) | < e
Demostración Si existe una partición tal y como la indicada, tenemos: inf{U(p',f)} U(P,f) y sup{L(p',f)} L(P,f ) p'P p' P
∈ ∈
y por tanto: − < ε ∈ ∈ inf{U(p',f)} sup{L(p',f )} p'P p' P
Además, como la anterior desigualdad es válida para cualquier e, llegamos a que: inf{U(p',f)} sup{L(p',f )} p' ∈P p'∈ P
luego f es integrable.
Como consecuencia de este teorema podemos probar fácilmente que las funciones continuas a trozos y las simplemente continuas son funciones que verifican el criterio antes dado y, por tanto, son integrables.
4. INTEGRAL FUNCIÓN DE SU LÍMITE SUPERIOR
En este apartado tratamos de estudiar la relación existente entre la integración y la diferencia- ción. La integral
∫
b a
f(x) dx
es un valor tal que, si fijamos los extremos de integración, dicho valor depende de la función inte- grando f, pero si lo que fijamos es la función y el extremo a, dicho valor depende del extremo supe- rior b, llamado también límite superior. De esta forma podemos definir: = (^) ∫ x a
F(x) f(t) dt
supuesto que f es integrable Riemann en un intervalo I en el que varía x y al que pertenece a_._ La relación F(x) resulta ser una función con unas propiedades muy interesantes tales como:
TEOREMA
Sea f œ R[a, b]; para x œ [a, b], hagamos:
x a
F(x) f(t) dt
En estas condiciones F es una función continua en [a, b]; además, si f es continua en un punto
x 0 œ[a,b], F es diferenciable en dicho punto y F’(x 0 ) = f(x 0 ).
Demostración
de donde:
− =∑ − = ∑ − = − = −
n i 1 i i i^1
n i 1 i^ i^1
F(b) F(a) [F(x) F(x )] f(t)(x x )
tomando límites en el conjunto de particiones nos queda:
→ −^ = → ∑= − − =^ ∫
b a
n d( P) 0 d(P) (^0) i 1 i i i^1 lim [F(b) F(a)] lim f(t)(x x ) f(x)dx
es decir
f(x)dx F(b) F(a ) b a
∫ =^ −
5. CAMBIO DE VARIABLES
En algunas circunstancias podemos encontramos con que hemos de determinar el valor de la in- tegral de una función cuyas variables no conocemos en forma explícita, sino a través de su relación con otras variables.
TEOREMA
Supongamos que f y f son funciones continuas en [a, b], siendo f estrictamente creciente en dicho
intervalo. Llamemos y a la función inversa de f. Entonces:
∫ = ∫ ψ ψ
φ φ
(b ) (a)
b a
f(x)dx f( (y))d (y )
Demostración Para cada partición P = {a, x 1 ,…,xn-1,b} hacemos yi=f(xi) y consideramos la partición: Q = {f(a), y 1 , …, yn-1, f(b)} Haciendo g(y) = f(y(y)) tenemos que
∑ − = ∑ ψ −ψ = − = −
n i 1 i i y^1
n i 1 i^ i i^1 f(x)(x x ) g(y)[( (y) (y )]
Ahora bien, como f es continua en [a,b] lo será uniformemente, por lo que cuando d(P)Ø0, se verifica que d(Q) Ø0, por lo que al tomar límites:
→ ∑= −^ − =∫ = → ∑= ψ −ψ − =^ ∫^ ψ ψ
b a
n d(P) (^0) i 1 i i y^1
n i 1
b d( P) 0 i i i^1 a lim f(x)(x x ) f(x)dx lim g(y)[( (y) (y )] f( (y))d (y)
Si y es derivable y dicha derivada es integrable Riemann, tenemos:
∫ = ∫ ψ ψ
φ φ
(b ) (a)
b a
f(x)dx f( (y)) '(y) dy
con lo que el problema planteado en un principio queda resuelto.
Ejemplo Calcúlese
∫ −
1 0
1 x^2 dx
Si tomamos x=y(y)=sen y, nos queda que y’(y) = cos y, con lo que tenemos que y = f(x) = arc sen x
∫ −^ = ∫ − = ∫
φ π φ
/ 2 0
( 1 ) 2 ( 0 )
(^12) 0
1 x^2 dx 1 sen ycosydy cos ydy
que, como veremos posteriormente, es mucho más fácil resolver que la primera.
Otro hecho que debemos hacer observar es que el cambio de variable admite otra expresión muy útil como es que bajo las mismas hipótesis del teorema:
∫ φ^ = ∫ ψ
φ φ
(b ) (a)
b a
f(x) '(x)dx f( (y)) dy
Como ejemplo de esto tenemos:
x^1 lnx^ dx
2 1
Realizando el cambio y=f(x)=ln x, entonces f’(x)=1/x, con lo cual queda:
(ln 2 ) 2 lnxdx ydy y x
ln 2
0
ln 2 2 0
2 1
∫ = ∫^ =
6. INTEGRAL DEPENDIENTE DE UN PARÁMETRO
Consideremos la integral de una función f(x,a) que depende de un parámetro “a”y supongamos que dicha función es derivable respecto del parámetro y que dicha derivada es continua; probare- mos en primer lugar que la integral es continua respecto del parámetro “a” y que existe su deriva- da.
TEOREMA Dada f(x, a) continuamente derivable respecto de a, la integral
∫
b a
f(x, α) dx
es una función continua de a y derivable respecto del mismo parámetro. Demostración α +δ− α =∫ α+δ −∫ α = ∫ α+δ− α
b a
b a
b a
F( ) F( ) f(x, )dx f(x, )dx [f(x, ) f(x, )] dx
Por ser f(x,a) continua respecto de a, tenemos que, dado (^) b −^ ε^ a, debe existir un d tal que
f (x, ) f(x, ) b− a α+δ− α <^ ε
esto es
F(α +δ)−F(α)≤ ∫ f(x,α+δ)−f(x,α)dx<ε
de lo que se deduce que F(a) es continua respecto de a.
