¡Descarga Elementos básicos para la determinación de probabilidades: sucesos y operaciones y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
TEMA 5: ELEMENTOS BASICOS PARA LA DETERMINACION DE
PROBABILIDADES
1. SUCESOS
Concepto y tipos de sucesos
Experimentos Aleatorios: A todo subconjunto de un espacio muestral se le denomina suceso. Tipos de sucesos o Suceso elemental: formado por un único elemento de un espacio muestral. o Suceso compuesto: formado por varios elementos de un espacio muestral. EJEMPLO: Si lanzamos un dado, entonces: Cada uno de los valores particulares será un Suceso elemental. Esto es, el 1 será un suceso elemental. Un Suceso compuesto tendrá varios elementos de un espacio muestral, por ejemplo, los pares. S1 = (2, 3, 6). Algunos sucesos particulares o Suceso seguro es el que se verifica siempre y coincide con el espacio muestral, representándose por tanto por Ω o Suceso imposible es el que no se produce nunca y se representa por ∅ EJEMPLO: Si se define un espacio muestral con dos bolas como Ω = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesoBlanca, Negra}, si tomamos el suceso A={Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesosacar una bola}, este será un suceso seguro, mientras que si B= {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesosacar una bola azul}, este será un suceso imposible. o Se dice que dos conjuntos son iguales cuando están formados por los mismos elementos. o Un suceso A implica otro suceso B cuando siempre que se verifique A se verifica B. EJEMPLO: Los conjuntos A = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesox | x2 − x − 2 = 0} yB = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso−1, 2} son iguales. En el lanzamiento de un dado se consideran los sucesos: A ={Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesoObtener un 4} y B={Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesoObtener un multiplo de ´ 2 }, entonces A implica B. EJEMPLO : Si se lanza un dado con 6 caras numeradas consecutivamente se desea definir: Espacio muestral Suceso de obtener valores pares Suceso de obtener valores mayores Solución:
Espacio muestral: Ω = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso de obtener valores pares: A = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso2, 4, 6} Suceso de obtener valores mayores a 3: B = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso4, 5, 6}
Operaciones
Contrario o complementario de un suceso S denotándose S c , S´ 0 o S al formado por los elementos del espacio muestral que no están en S. Unión de S1 y S2 escribiéndose S1 ∪ S2 al formado por los elementos del espacio muestral que están en ´ S1 o en S2. Intersección de S1 y S2 escribiéndose S1 ∩ S2 al formado por los elementos del espacio muestral que están en S1 y en S2. Sucesos mutuamente excluyentes o disjuntos Son sucesos que no tienen ningún elemento en común y, por tanto, la intersección entre ambos es el conjunto vacío S1 ∩ S2 = ∅. EJEMPLO: Calcular la unión de A = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso1, 2, 4} y B = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso2, 3}. Calcular la intersección de A = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso1, 2, 4} y B = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso2, 3}. Calcular la intersección de A = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso1, 2, 4} y B = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso3, 5}. Si en el lanzamiento de un dado de 6 caras se obtiene A = {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un suceso1, 2}, entonces calcular su suceso contrario.
Algebra de sucesos
2. CONCEPTO DE PROBABILIDAD
Interpretación clásica
Definición: Probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables al mismo y el número de casos posibles, en el supuesto de que todos los casos posibles sean equiprobables. Críticas y comentarios: Lo definido entra en la definición, pues habla de casos equiprobables Solo sirve para espacios muestrales finitos y para situaciones de equiprobabilidad. Mas que decir que es la probabilidad parece decir cómo se calcula la misma. Es valida como regla para calcular probabilidades en los casos a los que sea aplicable.
Interpretación frecuentista
Definición : Probabilidad de un suceso es el límite al que tiende la frecuencia relativa con que se presenta el suceso cuando el número de realizaciones del experimento tiende a infinito. Críticas y comentarios. No se trata de un límite en el sentido matemático del término, y no es fácil de precisar en qué sentido. No parece aplicable a experimentos o fenómenos que no puedan repetirse. Recoge directamente la idea de regularidad a largo plazo de los fenómenos aleatorios y parece ofrecer un buen substrato a las ideas intuitivas que tenemos cuando hablamos de probabilidad.
Interpretación subjetiva
Definición: Probabilidad de un suceso es el grado de adhesión de una persona a ese suceso, es el grado de creencia en la verificación del mismo.
Críticas y comentarios: Es la definición más filosófica en cuanto que es la que más se acerca a la cuestión de que significa la probabilidad para nosotros. ´ Es aplicable con toda generalidad. Pone de manifiesto el carácter personal de la probabilidad, la relaciona con la información que cada uno posee. Queda abierta la cuestión de encontrar, si existe, una regla objetiva que ponga en relación la información de cada individuo con la probabilidad que asigna a los sucesos.
Interpretación axiomática
Sea (Ω, A,P) una estructura aleatoria o espacio probabilizable, se denomina probabilidad a toda función´ P: A → [0, 1] que verifique los axiomas de Kolmogorov: La probabilidad de un suceso es siempre mayor o igual a cero, P(A) ≥ 0. La probabilidad del suceso seguro es igual a la unidad, P(Ω) = 1. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos, ∀A, B ∈ A | A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) La terna (Ω, A,P) se denomina espacio probabilístico, espacio de probabilidad o estructura estocástica
3. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
Sistema completo de sucesos
Definición: Sea (Ω, A,P) un espacio probabilístico, se dice que {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesoBi} i∈I ⊂ A es un sistema completo de sucesos si verifica:
Teorema de la probabilidad total
Definición: Sea (Ω, A,P) un espacio probabilístico y {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesoBi}i∈I ⊂ A un sistema completo de sucesos tal que P(Bi) > 0, entonces para ∀A ∈ A: EJEMPLO: Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿ Cual es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, este fundida?
Teorema de Bayes
Definición: Sea (Ω, A,P) un espacio probabil´ıstico, se dice que {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesoBi}i∈I ⊂ A un sistema completo de sucesos tal que P(Bi) > 0 y P(A) > 0, entonces EJEMPLO: El 25 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 25 % son economistas. El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50 % de los economistas tambien, mientras que los no ´ ingenieros y los no economistas solamente el 10 % ocupa un puesto directivo. ¿ Cual es la probabilidad de que un empleado directivo ´ elegido al azar sea ingeniero? Probabilidades a priori, a posteriori y verosimilitudes Sea (Ω, A,P) un espacio probabil´ıstico, se dice que {Blanca, Negra}, si tomamos el suceso A={sacar una bola}, este será un sucesoBi}i∈I ⊂ A un sistema completo de sucesos tal que P(Bi) > 0 y A ∈ A tal que P(A) > 0, los distintos elementos de probabilidad que aparecen en los Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes se suelen denominar tambien:
P(Bi): Probabilidades a priori. P(Bi|A): Probabilidades a posteriori P(A|Bi): Verosimilitudes. EJEMPLO:
