tema 5 probabilidad, Apuntes de Estadística Aplicada

¡Descarga tema 5 probabilidad y más Apuntes en PDF de Estadística Aplicada solo en Docsity!

Estadística^ e^ Investigación

Operativa^ II Estadística^ e^ Investigación

Operativa^ II

(Métodos^ de^ Decisión)(Métodos^ de^ Decisión) í

Estadística Tema 5 : Probabilidades Prof. Omar J. Casas

Conceptos Básicosp

Fenómeno Determinista:

se conoce el resultado

del experimento antes de producirse. Fenómeno Aleatorio:

no es posiblep

conocer con certeza el resultadodel experimento hasta que no se produce.del experimento hasta que no se produce.Una^ PROBABILIDAD

es una medida de la incertidumbre de

los posibles resultados (o sucesos elementales) de unp^

(^

experimento aleatorioPara cualquier fenómeno aleatorio llamaremos:Para cualquier fenómeno aleatorio, llamaremos: EspacioEspacio MuestralMuestral (E)

(E)^ al conjunto de todos los posibles

resultados del fenómeno

SucesoSuceso^ a un subconjunto del Espacio Muestral

Definición Clásica. Laplace 1812

resultadosposibles deNº

Aa favorables resultadosdeNº N(A)N Prob^

A^ ==^ •^ Se asume que todos los posibles

resultadosposibles deNº N

q^

p

resultados del experimento aleatorio sonigualmente probables(EQUIPROBABILIDAD)(EQUIPROBABILIDAD).• El número de casos posibles debe ser unnúmero finitonúmero finito.• Se requiere calcular los números de casosposibles y favorables (COMBINATORIA)posibles y favorables (COMBINATORIA).

Ejemplo : A = {

sacar al menos un cincos al lanzar dos dados

}^4

113055.^036 (A)P ==

Definición Clásica. Laplace 1812 Para su aplicación es necesario que el espacio muestralsea finito^ y^ los

sucesos^

elementales

equiprobables

sea^ finito^

y^ los^ sucesos

elementales

equiprobables

(postulado de indiferencia)

0 (^

)^1 P A≤ ≤

El cálculo se basa en el conocimiento teórico de la estructurad l^

l^ b^

ió

del proceso, no en la observación

Reglas de Conteo

Regla 3:^ –^ El número de

ordenaciones

posibles de^ n objetos diferentes es:^

!^ (^

1)^3

es:^ El número de posibles ordenaciones de 5 libros diferentes en

n! = n · (n – 1) ·… 3 · 2 · 1p una estantería es de^ 5! = 5·4·3·2·1 = 120.

Regla^ 4:Regla^ 4:^ –^ Permutaciones:

El número de maneras de ordenar r objetos seleccionados de entre n objetos diferentes es:

n!nP^

El^ ú^ d^

bi^ i^

ibl^ d^ l^

nP =r^ )!(n r −^3 lib

El^ número de combinaciones posibles de colocar 3 libros en unaestanteria, seleccionados de entre 5 libros diferentes es de:

(^120) 5! 5

(^120602) 3)! 5! (^5) P 3 ( == − =

Reglas de Conteo

Regla 5:Combinaciones:

El^ número

de^ maneras

de^ seleccionar

-^ Combinaciones:

El^ número de maneras de seleccionar

r objetos seleccionados de entre n objetos diferentes, sinimportar el orden en el que son seleccionados, es:p^

q^

n!nC = (^) C r (^) r )!(n! rr −

Si en un aula hay 5 alunmos, el número de posiblesgrupos de 3 alumnos es de:g^ p

12001 26 5! 3)!(53! (^5) C 3

== =^

(^26) 3)! 3 (53!

⋅−

Definición Frecuentista La^ Ley de los Grandes Números

afirma que cuando un experimento aleatorio se repite indefinidamente en las mismas condiciones, laf^ i^

l ti^ l^

d^ l^

A^ /^ ti^

d

frecuencia relativa con la que se produce el suceso A,

n/ n , tiende a A^

estabilizarse en torno a la probabilidad de dicho suceso. Se asume que el experimento se puede repetir indefinidamente en lasmismas condiciones.

Definición Frecuentista Ejemplo: lanzamiento de un dado equilibrado 20veces.S^ bt

Suceso: obtener un nº par

Conforme aumenta elnúmero de veces quehacemos el experimento, elcociente tiende aestabilizarse en torno a 1/

Definición Subjetiva. Savage 1953 La probabilidad subjetiva o grado de creencia de un sucesoA es el cociente entre lo que el decisor está dispuesto aA es el cociente entre lo que el decisor está dispuesto aapostar^ por^ la^

ocurrencia^

del^ suceso

A y^ el^ premio

o

consecuencia que obtiene en caso de que A ocurra (gradode creencia real en el acaecimiento del suceso)

YY = P A ( ) X^

0 (^ )

(^1) P A≤ ≤

: apuestai^

i Y X^

A

0 (^ )

(^1) P A≤ ≤

: premio si

ocurre X^

A

Definición Subjetiva. Savage 1953 Si el sujeto es racional:• No tiene sentido que se efectúe una apuesta (Y) mayor que el premioque espera recibir si gana en el juego. En el peor de los casos estaríadispuesto a recibir lo mismo que apuesta, luego:dispuesto a recibir lo mismo que apuesta, luego:

Y^ X^

P ≤ → ≤

C^ d^

tid^

á t^ di ti t^

t^ i

-^ Carece de sentido suponer un carácter distinto para apuesta y premio(P<0). A lo sumo podemos admitir que el sujeto no efectúa ningunaapuesta: Y=0p •^ Es evidente que X

≠0, dado que es absurdo aceptar un juego donde el premio es nulo

Definición Axiomática. Kolmogorov 1933 La probabilidad es una “

medida”^ de la posibilidad de ocurrencia

de un suceso, que verifica:^ (^

1.^1 )^2 0 (^ )

l^ i^

A

−^ =^ P E ≥ P^ A (^ )

(^

)

2.^

0 para cualquier suceso A

3.^ Si^ y

son sucesos sin parte comun

,

−^ ≥ −^

∩^ = ∅

P^ A^ A^ B^

A^ B (

)

(^ )^

(^ )^ (^

)

y^

p^

,

entonces^

∪^ =^

P^ A^ B^

P^ A^ P B

En la definición axiomática no se establece la forma explícitade^ calcular las probabilidades sino únicamente se proponende^ calcular las probabilidades sino únicamente se proponenlas reglas que la probabilidad debe satisfacer.Las definiciones clásica, frecuentista y subjetiva satisfacen

1616

Las^ definiciones

clásica,^ frecuentista

y^ subjetiva

satisfacen

los tres axiomas

Definición Axiomática. Kolmogorov 1933 De las tres condiciones que debe verificar la probabilidad sededucen fácilmente las siguientes propiedades:

1. Probabilidad del suceso contrario

1 =^

− P S P S ( )

(suceso imposible)^

(el reciproco no es cierto)

2. Si^ es el conjunto vacío

0

∅^

∅ = P

(^ )^

(^ )^ (^ )

(^ )

3 Regla de la suma

∪^

=^ +^

−^ ∩ P A^ B^

P A^ P B

P A^ B

(^ )^

(^ )^ (^ )

(^ )

(^ )^ (^ )

3 .Regla de la suma

∪^

=^ +^

∩ P A^ B^

P A^ P B

P A^ B

(^ )^ (^ )

4.Si^ ⊂^ ⇒

≤ A B P A^ P B

5. Para cualquier

(^ )

suceso^0

(^1) ≤ ≤ A^ P A

Operaciones con Sucesos Al espacio muestral,

Ω , se le llama también

suceso seguro

Al conjunto vacio,

Ø , se le denomina

suceso imposible

Dado un espacio muestral

Ω^ y dados dos sucesos A y B, podemos definir las siguientes operaciones entre sucesos: Unión de sucesos:

A^ ∪^ B

Es el suceso compuesto que se produce cuando ocurre S

o bien S^.^1

Ω^ A^

B^

A^ U^ B

Operaciones con Sucesos Intersección de sucesos:

A^ ∩^ B

Es el suceso compuesto que se produce cuando ocurre A y B,i^ lt^

t

simultaneamente.^ Ω^ A

BA ∩ B

Ω^ A^

BA ∩ B^ Ω

Se dice que dos sucesos A y

B^ son

A^

B

Se^ dice que dos sucesos A y B son incompatibles

o^ disjuntos^

si su intersección es vacia:

A^ ∩^ B =^ Ø

A^ ∩^ B =^ Ø