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1. Probabilidad
1.1) Propiedades b´asicas de la Probabilidad. Probabilidad con-
dicionada. F´ormula de las Probabilidades Totales. F´ormula de
Bayes.
- Propiedades b´asicas de la Probabilidad
La Teor´ıa de la Probabilidad es la parte de la Matem´atica que trata de explicar aqu´ellos fen´omenos en los que interviene el azar: los fen´omenos aleaotorios son aqu´ellos fe- n´omenos f´ısicos en los que si repetimos la observaci´on de alguna caracter´ıstica de dicho fen´omeno, bajo las mismas condiciones (hasta donde sea posible determinar), se pueden obtener diferentes resultados, esto es, el resultado no puede ser predicho con total seguri- dad, aunque s´ı se conozca el conjunto de posibles resultados. Un fen´omeno determinista es aqu´el que no es aleatorio. Ejemplos de fen´omenos aleatorios ser´ıan:
a) el lanzamiento de una moneda en el que se observa como caracter´ıstica de inter´es qu´e lado de la moneda sale,
b) el lanzamiento de un dado en el que se observa como caracter´ıstica de inter´es qu´e cara del dado sale,
c) se escoge un individuo al azar de una poblaci´on de personas adultas y se observa su peso (en Kg),
d) se observa la ausencia o presencia de dioxinas en las hamburguesas de carne elabo- radas por cierta empresa c´arnica,
e) se observa el n´umero de microorganismos pat´ogenos en muestras de embutidos en- vasados en un supermercado,
f) se determina el porcentaje de calcio en los yogures desnatados de cierta marca.
El conjunto de resultados “m´as sencillos”que se pueden observar en un fen´omeno aleatorio se denota por Ω y se llama espacio muestral. En los ejemplos:
a) Ω = { cara, cruz } b) Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } c) Ω = (40, 150) (si ´este es el rango de pesos posible) d) Ω = { ausencia, presencia } que se puede identificar con Ω = { 0 , 1 } e) Ω = { 0 , 1 , 2 ,... } = N ∪ { 0 } f) Ω = [0, 100]
Cada uno de los elementos del conjunto Ω se llama suceso elemental, y suceso(en general) un subconjunto de Ω cualquiera.
En el ejemplo b), {impar} y { 2 , 3 , 4 }, son dos sucesos. En el c), [100, 150) y (40, 60) tambi´en lo son, por poner algunos ejemplos.
Dado que los sucesos son subconjuntos del espacio muestral Ω, podemos utilizar con ellos el ´algebra de conjuntos (uniones, intersecciones, complementario,...).
Recordemos algunas notaciones est´andar. Si A y B son subconjuntos de Ω (A, B ⊂ Ω) usaremos las notaciones: A∪B (A uni´on B), A∩B (A intersecci´on B), Ac^ (complementario de A), B\A (B menos A), #A (cardinal del suceso A), A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅ (se dice que son sucesos incompatibles).
Dado un suceso A de un espacio muestral Ω asociado a un fen´omeno aleatorio, podemos estar interesados en alg´un indicador del “grado de confianza”que tenemos en que al rea- lizar una observaci´on del fen´omeno observemos precisamente un resultado que est´e en A (diremos entonces que el suceso A “se ha realizado”). Este indicador es, precisamente, la probabilidad del suceso A, que se escribe P (A), y es el valor al que tiende la frecuencia relativa del suceso a medida que aumenta el n´umero de veces que observamos el fen´omeno aleatorio. Las propiedades b´asicas de la Probabilidad son:
1) 0 ≤ P (A) ≤ 1
2) P (Ω) = 1
3) P (∅) = 0
- P (A ∪ B) = P (A) + P (B) si A y B son disjuntos.
En general, para un n´umero finito de sucesos,
P (A 1 ∪ · · · ∪ An) = P (A 1 ) + · · · + P (An) si A 1 ,... , An son disjuntos dos a dos (es decir, si Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6 = j).
A ⊂ B ⇒ P (B\A) = P (B) − P (A)
P (Ac) = 1 − P (A)
A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Si Ω es finito y hay simetr´ıa entre los sucesos elementales, resulta que para todo suceso A de Ω, la probabilidad del suceso se obtiene as´ı:
P (A) =
#A
casos favorables casos posibles
Ejercicios:
- Lanzamos dos veces consecutivas una moneda perfecta (en la que hay simetr´ıa en las dos caras), de manera independiente. ¿Qu´e probabilidad tenemos de obtener dos valores diferentes (una cara y una cruz)?
- Lanzamos un dado perfecto. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener un n´umero par? ¿Y un n´umero mayor que 4?
¿son A y B sucesos independientes? ¿Y son independientes los sucesos A y C, siendo C = { 1 , 2 , 3 }?
Ejemplo. En una competici´on de tiro con arco, dos de los arqueros, Arc 1 y Arc 2 , apuntan a una diana y disparan simult´aneamente, una sola vez cada uno de ellos, sin interaccionar en ning´un sentido. Se sabe por la informaci´on de competiciones anteriores que Arc 1 acierta con probabilidad 0.75 mientras que Arc 2 lo hace con probabilidad 0.9. Nos preguntamos cu´al es la probabilidad de que la diana haya sido alcanzada.
El espacio muestral natural asociado a este fen´omeno aleatorio es
Ω = { (Arc 1 acierta, Arc 2 acierta), (Arc 1 acierta, Arc 2 falla), (Arc 1 falla, Arc 2 acierta), (Arc 1 falla, Arc 2 falla) } ,
y en ´el no hay simetr´ıa, pues la probabilidad de acertar no es la misma para los dos arqueros y, adem´as, para cada arquero no es igual de probable acertar que fallar, de manera que no podemos usar la f´ormula “casos favorables”“casos posibles” para calcular las probabilidades.
Consideramos los sucesos A = {Arc 1 acierta} y B = {Arc 2 acierta} , que podemos asumir que son independientes por referirse cada uno de ellos a uno de los arqueros, por lo que tenemos que P (A ∩ B) = P (A) P (B) (aqu´ı la independencia viene dada por las condiciones del fen´omeno aleatorio, esto es, la no interacci´on en ning´un sentido de los arqueros en sus lanzamientos).
Queremos calcular la probabilidad de que la diana haya sido alcanzada, P (A ∪ B). Usa- remos la f´ormula para la probabilidad de la uni´on, aprovechando que podemos calcular la probabilidad de la intersecci´on como producto de probabilidades debido a la indepen- dencia:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ︸ ︷︷ ︸ =P (A) P (B) = 0.75 + 0. 9 − 0. 75 × 0 .9 = 1. 65 − 0 .675 = 0. 975
- F´ormula de las Probabilidades Totales. F´ormula de Bayes
Introduciremos ahora dos ´utiles f´ormulas a partir del siguiente ejemplo: en una deter- minada zona en la que el 45% de los individuos adultos son hombres se estudia cierta enfermedad. La prevalencia de esta enfermedad en adultos (porcentaje de individuos que la padecen) se conoce disgregada por sexos, y es de un 4% en hombres y un 1% en mu- jeres. Deseamos calcular la prevalencia global (esto es, sin disgregar) de la enfermedad, o porcentaje de individuos enfermos en la poblaci´on.
El fen´omeno aleatorio que estamos considerando es el de escoger un individuo adulto de la zona al azar. Estamos interesados en calcular la probabilidad de que padezca la enfermedad (la probabilidad multiplicada por 100 nos da la prevalencia). Como conocemos la prevalencia disgregada por sexos, lo natural ser´a observar como caracter´ıstica de inter´es del individuo dos cosas: si est´a o no enfermo, y su sexo. Entonces, el espacio muestral (natural) asociado a este fen´omeno es:
Ω = {hombre enfermo, hombre sano, mujer enferma, mujer sana}
Queremos obtener la probabilidad del suceso
E = {enfermo} = {hombre enfermo, mujer enferma} ,
pero tenemos el problema de que en Ω no hay simetr´ıa (ya que la proporci´on de los dos sexos no es igual, por ejemplo). Entonces no podemos aplicar casos favorablescasos posibles para calcularla y lo tendremos que hacer de otra manera, utilizando las propiedades de la probabilidad. Consideremos ahora tambi´en los sucesos
H = {hombre} y M = {mujer}.
Entonces, podemos escribir los datos que conocemos as´ı:
P (H) = 0. 45 , P (M ) = 1 − 0 .45 = 0. 55 , P (E/H) = 0.04 y P (E/M ) = 0. 01.
Utilizando que Ω = H ∪ M , siendo la uni´on disjunta, tenemos que
P (E) = P (E ∩ Ω) = P (E ∩ (H ∪ M ) ︸ ︷︷ ︸ =(E∩H)∪(E∩M ) disjuntos
) = P (E ∩ H) + P (E ∩ M )
= P (E/H) P (H) + P (E/M ) P (M )
= 0. 04 × 0 .45 + 0. 01 × 0 .55 = 0. 0235
Hemos determinado, por tanto, que la prevalencia global de la enfermedad es 2.35% (na- turalmente, hemos obtenido un valor entre las dos prevalencias disgregadas por sexos; en realidad, una media ponderada de ambas). La f´ormula que hemos utilizado para calcular P (E), que es
P (E) = P (E/H) P (H) + P (E/M ) P (M )
se conoce como F´ormula de las Probabilidades Totales en general (en este caso ten´ıamos una partici´on de Ω en dos trozos, H y M , pero en general pueden ser m´as trozos y se hace de manera an´aloga, condicionando a todos y cada uno de los trozos).
Si ahora escogemos un individuo adulto de la zona y sabemos que est´a enfermo, ¿qu´e probabilidad tiene de ser mujer? Nos hemos planteado, pues, el c´alculo de la probabilidad P (M/E) cuando lo que en realidad conocemos es P (E/M ) = 0.01 (le queremos “dar la vuelta” a la probabilidad condicionada). Para hacerlo pasaremos por la probabilidad de la intersecci´on, P (M ∩ E), as´ı
P (M/E) =
P (M ∩ E)
P (E)
P (E/M ) P (M )
P (E)
0. 01 × 0. 55
Esta manera de “dar la vuelta” para calcular la probabilidad condicionada,
P (M/E) =
P (E/M ) P (M )
P (E)
P (E/M ) P (M )
P (E/H) P (H) + P (E/M ) P (M )
es lo que se conoce como F´ormula de Bayes (notemos que en el denominador, para calcular P (E), se utiliza la f´ormula de las probabilidades totales).
