Tema: Funciones reales, Apuntes de Matemáticas

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Emilio Martínez Ros

Domg Dom(g◦f)

Domf Recf (^) Recg f (^) g Rec(g◦f)

Funciones reales de variable real

1. Definición, terminología y casos particulares

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un conjunto de números reales D (D⊂R) en R y se escribe f:D→R. Por tanto, una función real de variable real asigna a cada número x∈D un y solo un número real f(x) (imagen de x). Una función queda de esta forma perfectamente determinada conociendo los dos siguientes elementos:
Su dominio D o Domf, es decir, el conjunto de números reales que tienen imagen.
Su ley o criterio que nos permite asociar cada elemento del dominio, x, con su imagen y=f(x).

Ejemplos

1. f:N→R f(x)=x+ 2. f:Z+→R f(x)=-x+ Con mucha frecuencia, se identifica una función dando solamente su ley, omitiendo su dominio. En estos casos, se sobreentiende que dicho dominio es el mas amplio conjunto de números reales con imagen.

Ejemplos

1. f(x)=3x^2 +8x+ Su dominio es R.
2. f(x)= x − 1 Su dominio es [1,+∞) 3. f(x)=3/(x-2) Su dominio es R-{ 2 } 4. f(x)= (^) x^1 + x+ 1 Su dominio es [-1,+∞)-{ 0 } Otras notaciones y términos empleados con frecuencia al trabajar con funciones son:
   Recorrido de una función, Recf : Conjunto formado por todas las imágenes de f.
   Variable independiente, x : Variable que puede tomar como valor cada uno de los números del dominio.
   Variable dependiente, y=f(x) : Variable que puede tomar como valor cada una de las imágenes y, por tanto, depende del valor de x.
   Imagen de un conjunto, f(A) : Siendo A⊂Domf, se define f(A) como el conjunto formado por las imágenes de todos los elementos de A.
   Antiimagen de un número real, f -1(y) : Conjunto formado por todos aquellos elementos del dominio cuya imagen es y.
   Antiimagen de un conjunto, f -1(B) : Conjunto formado por todos aquellos elementos del dominio cuya imagen es un elemento de B.

Gráfica 4. y = x (Irracional) Gráfica 5.

(A trozos)

x 6 si 2 x

x^2 si 2 x 2

4 six 2 y 

− + ≤

− < <

≤− = (^) Gráfica 6. y=  x  (Valor Absoluto)

La importancia de la gráfica nos lleva a poder presentar una función de dos posibles maneras:
Mediante su ley y, opcionalmente, su dominio.
Mediante su gráfica. Pero, ¿qué ventajas posee cada una de estas dos formas de presentación? La ley, fundamentalmente nos da precisión, podemos calcular cualquier imagen o antiimagen sin posibilidad de error, cosa que no podemos hacer con la gráfica. Esta sin embargo, nos ofrece una visión global de la función, permitiéndonos distinguir rápida y fácilmente sus propiedades. La identificación entre una función y su gráfica hace que se utilicen expresiones como “ el punto (3,f(3)) de la función f … ” o, mas abreviadamente, “ el punto 3 de la función f … ” con tanta frecuencia, que resulta de vital importancia que entendamos su significado. También es bastante común utilizar la palabra curvas para referirse a las gráficas de las funciones o a las propias funciones.

3. Propiedades de las funciones

3.1 Simetría. Funciones pares e impares

Una función f es par cuando se cumple: f(-x)=f(x) ∀x∈Domf Una función f es impar cuando se cumple: f(-x)=-f(x) ∀x∈Domf Como se puede fácilmente deducir de estas definiciones, las gráficas de las funciones pares son simétricas respecto al eje de ordenadas y las de las funciones impares respecto al origen de coordenadas.

Ejemplos

2

x x

x f (x)

4 2

2 4 2

2

x x

x ( x) ( x)

( x) f ( x)

Al ser f(-x)=f(x), la función es par.

x 1

x f (x) 2

3

−

x 1

x ( x) 1

( x) f ( x) 2

3 2

3

−

Al ser f(-x)=-f(x), f es impar

Gráfica 7. Función par (Simétrica respecto al eje de ordenadas)

Gráfica 8. Función impar (Simétrica respecto al origen de coordenadas)

Las funciones pueden presentar otros tipos de simetrías respecto a otras rectas o a otros puntos, pero ya no resultan tan cómodas de estudiar.

3.2 Acotación

Una función f está acotada superiormente cuando existe k∈R tal que f(x)≤k ∀x∈Domf. El número k se llama cota superior de f. Una función f está acotada inferiormente cuando existe k∈R tal que f(x)≥k ∀x∈Domf. El número k se llama cota inferior de f. Se dice que f está acotada cuando lo está superior e inferiormente. De las definiciones se deduce que una función acotada superiormente tiene su gráfica debajo de una recta horizontal, una función acotada inferiormente, encima de una recta horizontal y una función acotada, entre dos rectas horizontales.

Ejemplos

1. f(x)= x

f está acotada inferiormente por 0 y no está acotada superiormente.

Gráfica 9. Función no acotada superiormente y con cota inferior -

1. f(x)=1/x f no está acotada inferiormente ni superiormente.

Gráfica 10. Función con cota superior 6 y con cota inferior -

Una función f es creciente, decreciente o constante en un intervalo abierto I ⊂ Domf si y solo si f es respectivamente creciente, decreciente o constante en cada punto de I.

La demostración de este teorema no corresponde al nivel de este curso.

3.4 Extremos absolutos y relativos

Máximos y mínimos absolutos

Se dice que f tiene en x 0 ∈Domf un máximo absoluto si ∀x∈Domf, f(x) ≤f(x 0 ). Se dice que f tiene en x 0 ∈Domf un mínimo absoluto si ∀x∈Domf, f(x) ≥f(x 0 ).

Ejemplos

Máximo absoluto en – Mínimo absoluto en -

Gráfica 13. Función a trozos de dominio [-10,+ ∞∞∞∞ )

Máximos y mínimos relativos

Se dice que f tiene en x 0 ∈Domf un máximo relativo si ∃E(x 0 ) tal que ∀x∈E(x 0 )∩Domf, x≠x 0 , f(x)f(x 0 ).

Ejemplos

Gráfica 14. Función a trozos de dominio [-10, 11]

Mínimo relativo en - Máximo relativo en - Mínimo relativo en 0 Máximo relativo en 4. Mínimo relativo en 11

Mínimo absoluto en 11 Máximo absoluto en -

3.5 Concavidad y convexidad

Se dice que la función f es convexa en un punto x 0 ∈Domf si existe un entorno de x 0 en el cual la gráfica de la función se encuentra por encima de la tangente en x 0.

Se dice que la función f es cóncava en un punto x 0 ∈Domf si existe un entorno de x 0 en el cual la gráfica de la función se encuentra por debajo de la tangente en x 0. Se dice que la función f es convexa o cóncava en un intervalo I⊂Domf cuando lo es en todos los puntos de ese intervalo.

Ejemplos

Cóncava en – Convexa en 4

Cóncava en (-∞,-1) Convexa en (-1,+∞)

Gráfica 15. Función a trozos de dominio R

3.6 Puntos de inflexión

Sea (x 0 ,f(x 0 )) un punto en el que existe la tangente a la gráfica de la función f. Se dice que f tiene en x 0 un punto de inflexión, si, en el, la curva pasa de ser cóncava a convexa o al revés.

Ejemplos

Gráfica 16. Función de dominio R

Punto de inflexión en –4: La función pasa de cóncava a convexa.

Punto de inflexión en 5: La función pasa de convexa a cóncava.

De la definición se deduce que los puntos de inflexión de una función son aquellos en los que la tangente atraviesa a la gráfica de la función.

3.7 Periodicidad

Una función f es periódica cuando sus valores se repiten de p en p, es decir,

f(x+p)=f(x) ∀x∈Domf. Al número p se le llama periodo de la función.

Ejemplos

g f(x) g(f(x)) g( 1 x) 1 x 2 3 x

f (x) 1 x ,g(x) x 2 2

2

= = − = − + = −

Observando atentamente el siguiente esquema de la composición de dos funciones,

deducimos que el dominio y el recorrido de la función compuesta depende no solo de la ley resultante sino también de los dominios y recorridos de ambas funciones.

Ejemplos

Si tomamos las funciones del ejemplo anterior, f (x)= 1 −x,g(x)=x^2 + 2 , tenemos

que:
Domf=(-∞,1] y Recf=[0,∞).
Domg=R y Recg=[2,+∞). Por tanto:
Existe g◦f puesto que Recf∩Domg=[0,+∞)≠∅.
Domg◦f=f -1([0,+∞))=(-∞,1] y Recg◦f=g([0,+∞))=[2,+∞). Es importante observar que el dominio y el recorrido de g◦f son distintos de los que obtendríamos fijándonos solo en su ley.
No existe f◦g puesto que Recg∩Domf=∅.

Propiedades de la composición de funciones

1. No commutatividad: En general, g◦f≠f◦g como se puede comprobar en el ejemplo anterior.
2. Asociativa: h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.
3. Elemento neutro: i◦f=f◦i=f, siendo i la función identidad cuya ley es i(x)=x.

4.3 Correspondencia inversa o recíproca de una función

La correspondencia inversa o recíproca de la función f es la correspondencia f - que se obtiene intercambiando el valor de la variable x y el de la variable y=f(x) en cada uno de los pares de puntos que forman la función f.

Ejemplos

Calculemos la correspondencia inversa de y = f(x)= x^2 + 3 :

Domg Dom(g◦f)

Domf Recf Recg f (^) g Rec(g◦f)

Intercambiando las variables, resulta: x = y^2 + 3

Despejando y en la expresión anterior: y =± x^2 − 3

Por tanto, la ley de la correspondencia inversa es f −^1 (x)=± x^2 − 3 , y su dominio, Domf -1=Recf=[ 3 ,+∞).

En el ejemplo anterior, f -1^ no es una función puesto que hay valores de x (por ejemplo 2) que tienen dos imágenes (+1 y –1). Por tanto, la correspondencia inversa de una función no siempre es otra función y fácilmente se puede deducir que:

f -1^ es función si y solo si f es inyectiva

Ejemplos

La función f(x)=x-2 es inyectiva. Intercambiando las variables: x=y- Despejando y: y=x+ La ley de la FUNCIÓN inversa es f -1(x)=x+2 y su dominio, Domf -1=Recf=R La propia definición de función inversa de una función determina que f◦f -1(x)=x y f -1◦f(x)=x.

Ejemplos

Siendo f la función del ejemplo anterior, f◦f -1(x)=f(f -1(x))=f(x+2)=x+2-2=x f -1◦f(x)=f -1(f(x))=f -1(x-2)=x-2+2=x.

Al tener las gráficas de f y f -1^ los mismos pares de puntos, pero en distinto orden (por ejemplo, (3,2) es un punto de la gráfica de f si y solo si (2,3) es un punto de la gráfica de f -1), una será la simétrica de la otra respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Ejemplos

Gráfica 19. f(x)=x^2 y su correspondencia (NO FUNCIÓN) inversa f –1(x)= ± x

Gráfica 20. f(x)=1/x y su función inversa coinciden, f –1(x)=1/x

Límites laterales

Intuitivamente, se puede pensar en el límite por la izquierda (derecha) de la función f en el punto a, como el valor, finito o infinito, al que tienden las imágenes, f(x), cuando los originales, x, tienden por la izquierda (derecha) hacia a. Se escribe lim f(x)(porladerechalimf(x)) x →a −^ x→a+

Ejemplos

Gráfica 24. lim f(x)^1 x 2

lim f(x)^4 y x 2

x 1 six 2

f(x) x^2 six^2

+^ = → − = →

− >

= ≤ 

Gráfica 25.

• =^ +∞ → − =−∞ →

= f(x) x 0

f(x) y lim x 0

lim

x f(x)^1

De todo lo anterior, se deduce el siguiente resultado: Existe el límite de una función en a ∈ R si y solo si existen los límites laterales en a y son iguales.

5.2 Límites en el infinito

Intuitivamente, se puede pensar en el límite de la función f en +∞ (-∞), como el valor, finito o infinito, al que tienden las imágenes, f(x), cuando los originales, x,

tienden hacia +∞ (-∞). Se escribe (^) xlim → +∞f(x)( (^) xlim → −∞f(x)).

Gráfica 26. f(x) = -1/x f(x) 0 x f(x) 0 y lim x lim = →+∞ = →−∞

Gráfica 27. f(x) = -x^3 = −∞ →+∞ =+∞ →−∞ f(x) x f(x) y lim x lim

lim f(x) 4

limf(x) 2

limf(x) 5

limf(x) 3

lim f(x) 3

x 5

x 5

x 2

x 1

x

−

→

→

→

→−

→−∞

Gráfica 28. Función a trozos de dominio R- {{{{ 7,9 }}}}

lim f(x) 3

limf(x)

limf(x) 2

limf(x) 2

x

x 9

x 9

x 7

→+ ∞

→

→

→

−

5.3 Cálculo de límites

Propiedades de los límites

Las propiedades que nos van a permitir calcular límites en a∈R∪{-∞, +∞} son las siguientes:

1. Límite de una función constante: limx→ a K=K.
2. Límite de la función identidad: lim x→ a x=a.
3. Límite de las operaciones con funciones:

(^) xlim→ a(f(x)±g(x))= limx→ af(x)± (^) xlim→ a g(x)

(^) xlim→ a(K·f(x))=K· limx→ a f(x)

(^) xlim→ a(f(x)·g(x))= limx→ af(x)· limx→ a g(x)

(^) xlim→ a(f(x)/g(x))= limx→ a f(x)/ limx→ a g(x)

limg(x) x a

g(x) x a

x a lim (^) (f(x) ) (limf(x )) → → =^ → , si^ lim x→ a f(x)≥^0
(^) xlim→ a(g(f(x)))=g( limx→ af(x)) (existiendo ambos miembros)

Al aplicar estas propiedades al cálculo de límites pueden aparecer múltiples casos que se resumen en las siguientes tablas:

x^ lim → a f(x)^ xlim → a g(x)^ xlim → a (f(x)+g(x))^ xlim → a f(x)^ xlim → a g(x)^ xlim → a (f(x)·g(x))^ xlim → a f(x)^ xlim → a g(x)^ xlim → a (f(x)/g(x)) K L K+L K L K·L K (^) L≠ 0 K/L

• ∞ L - ∞ ±∞ L≠ 0 ±∞ K ±∞ 0 +∞ L^ +∞ ±∞ ±∞ ±∞ K≠ 0 0 ±∞
• ∞ - ∞ - ∞ ±∞ 0 Indet. 0 0 Indet. +∞ +∞ +∞ ±∞ L^ ±∞ +∞ - ∞ Indet.

El signo resultante se obtiene mediante las reglas de los signos (^) ±∞ ±∞ Indet.

1. Límites en ±∞ de funciones racionales fraccionarias:

a. x 3 x 10

2 x 2 x 4 lim (^2)

2 x (^) + −

→ +∞

En principio, resulta la indeterminación +∞/+∞. Utilizando un método similar al del primer ejemplo:

1 3 /x 10 /x

1 1 /x 2 /x lim x

2 x lim

x ( 1 3 /x 10 /x )

2 x ( 1 1 /x 2 /x ) lim x 3 x 10

2 x 2 x 4 lim

2

2 (^2) x

2 x

2 2

2 2 (^2) x

2 x

=

• −

→+∞ → +∞

→+∞ →+∞

b. x 2 x 11

3 x 5 x 5 lim (^2)

3 x (^) − +

→− ∞

El método anterior se resume en la siguiente regla práctica:

→− ∞ →−∞ →− ∞ lim 3 x x

3 x lim x 2 x 11

3 x 5 x 5 lim (^2) x

3 (^2) x

3 x

1. Límites en ±∞ de funciones irracionales de raíz cuadrada que producen la indeterminación +∞-∞:

xlim → +∞^ (^ x^2 +^5 x− x^2 +^2 )

En principio, usando las propiedades de los límites, resulta +∞-∞. Utilizamos entonces un método consistente en multiplicar y dividir por la expresión conjugada:

→+∞ → +∞

→+∞ →+∞

x 5 x x 2

5 x 2 lim x 5 x x 2

x 5 x x 2 lim

x 5 x x 2

x 5 x x 2 x 5 x x 2 lim x 5 x x 2 lim

2 2 x 2 2

2 2 x

2 2

2 2 2 2 x

2 2 x

Utilizando ahora la regla práctica del ejemplo 2.b.:

x x

5 x lim x x

5 x lim x 5 x x 2

5 x 2 lim x 2 2 x 2 2 x

→+∞ →+∞ → +∞

1. Límites relacionados con el número e:

Teniendo en cuenta que e 2 , 71828182845904 ... f(x)

lim 1

f(x )

f (x)

→ ±∞

y que

la indeterminación 1∞^ produce como resultado una potencia de base e, podremos resolver límites como el que sigue.

x

x (^2) x 1

2 x 3 lim (^)  

→ +∞ Al intentar resolverlo usando las propiedades de los límites obtenemos la indeterminación 1∞, con lo que ya sabemos que el resultado es una potencia de e. Nuestra misión, será ahora transformar (con operaciones correctas) la función en una potencia, de forma que el límite de la base sea el número e.

2

lim

4

x^2 x^1

x

4

x^2 x^1

x

4

x^2 x^1

x x

x x

x x

e

lim 1

lim 1

lim 1

2 x 1

1 lim 1 2 x 1

2 x 3 lim 1 2 x 1

2 x 3 lim

2 x 1 4 x x 4

2 x 1 2 x 1

4 4

2 x 1



− →+∞ − −

−

→+∞^ −

⋅ ⋅

→+∞ − →+∞ −

→+∞ →+∞ →+∞

1. Límites en un número real que producen la indeterminación 0/0:

a. x 16

lim x^5 x^6 4

2 x (^2) −

→

Si lo intentamos resolver aplicando propiedades de límites, obtenemos 0/0. Al sustituir por tanto 2 en los polinomios del numerador y del denominador nos da 0, lo que quiere decir que ambos polinomios tienen en su descomposición factorial (regla de Ruffini) el factor x-2. Una vez simplificado dicho factor, podemos intentar nuevamente resolver el límite: 1 -5 6 1 0 0 0 - 2 -6 2 4 8 16 2 1 -3 0 2 1 2 4 8 0

x 2 x 4 x 8

lim x^3 (x 2 )(x 2 x 4 x 8 )

lim (x^2 )(x^3 ) x 16

limx^5 x^6

3 2

4 x 2 3 2 x 2 3 2

2 x 2

→ → →

b. x 3 x 2

lim x^23 x (^12) − +

→

Si lo intentamos resolver aplicando propiedades de límites, obtenemos 0/0. Al sustituir por tanto 1 en numerador y denominador da 0, lo que significa que en ambos interviene como factor x-1. Para conseguirlo en la expresion con radicales, multiplicamos y dividimos por su expresión conjugada. Una vez simplificado x-1, podemos intentar nuevamente resolver el límite:

( ) ( )

( ) (^ )^ ( ) (^ )^

→ → x 3 x 2 x 2 3

lim x^23 x 3 x 2 x 2 3

lim x^23 x^23 x 1 2 x (^12)