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Integrales
Integrales por sustitución
Método:
- Escoger un cambio de variable z= función de x.
- Despejar x para calcular dx.
- Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable.
Integrales por partes
Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca Sin Rabo(menos) Vestida De Uniforme.
Método:
- El integrando debe ser un producto de dos factores.
- Uno de los factores será u y el otro será dv.
- Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
- Se aplica la fórmula.
Integración de funciones racionales
Supongamos que tenemos la integral:
P ( x )
Q ( x )
Donde P(x) y Q(x) son los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.
Distinguimos los siguientes casos:
- Grado P(x) > grado Q(x): efectuamos la división del polinomio. 2. Grado P(x) < grado Q(x): aplicaremos el Teorema Fundamental del Álgebra.
Subcasos:
Caso a: todas las raíces de Q son reales.
Caso b: no todas las raíces de Q son reales.
Caso 1: grado de P < ó = que grado de Q
En este caso al efectuar la división tendremos:
P(x) = Q(x)·C(x) + R(x)
Si dividimos la expresión por Q(x) obtenemos:
P ( x )
Q
x
= C ( x ) +
R ( x )
Q ( x )
De este modo, aplicando las propiedades de las integrales, habremos descompuesto la integral en la suma de
dos integrales.
Caso 2: Grado de P < grado de Q
Caso a: todas las raíces son reales
Podemos factorizar el polinomio Q y escribirlo como:
donde cada a i son las raíces (reales) de Q y k i es el grado de multiplicidad de la raíz a i , esto es, el número de
veces que se repite la raíz.
Nota: estamos suponiendo, por comodidad, que los polinomios son mónicos, es decir, que tienen 1 como
coeficiente director.
Si es necesario, para buscar las raíces de los polinomios podemos aplicar la regla de Ruffini.
Según el Teorema Fundamental del Álgebra, podemos expresar el cociente P(x)/Q(x) como una suma de
cocientes a los que denominamos fracciones simples donde los términos b
j
i son reales y cuyos valores
desconocemos. Tendremos que buscarlos dando valores a x.
