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SUMA ALGEBRAICA DE MATRICES
Sean: A = [ aij ] mxn y B = [ bij ] mxn matrices,
Entonces: A ±^ B = [ aij ] mxn ±^ B = [ bij ] mxn = [ aij ±^ bij ] mxn
= [ cij ] mxn = C
NOTA
- Dos matrices del mismo orden se llaman conformes de la suma algebraica
- Dos matrices de distinto orden no se pueden sumar ni restar algebraicamente.
- Si k es un escalar y A es matriz, ⇒ kA = k [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ am 1 ⋯ amn ]
[ ka 11 ⋯ ka 1 n ⋮ ⋱ ⋮ kam 1 ⋯ kamn ]
- Si A es matriz, ⇒^ .- A es la matriz opuesta Entonces: A = [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ am 1 ⋯ amn ]^
→ −¿ A =
[ − a 11 ⋯ − a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ − am 1 ⋯ − amn ]
- ∀^ A , A + ( - A ) = 0 , siendo O la matriz nula del mismo orden que la matriz dada. Ejemplo: Sean las matrices A = (^) [
4 5 − 8 ]^ y B = (^) [
− 7 1 8 ]^ , se cumple: A+B = (^) [
− 3 6 0 ] A −¿ B = (^) [
11 4 − 16 ]^
3 A = 3 (^) [
4 5 − 8 ]^ = (^) [
3 ( 4 ) 3 ( 5 ) 3 (− 8 )]^ = (^) [
12 15 − 24 ] 2 A – 3 B = (^) [
29 7 − 40 ] Suponiendo que las matrices: A, B y C son del mismo orden; k, k1, k 2 son escalares, se cumple lo siguiente: i) A+(B+C) = (A+B)+C
ii) A+ 0 = A iii) K 1 (A+B) = k 1 A+k 1 B iv) (k 1 +k 2 )A = k 1 A+k 2 A v) A+B = B+A vi) 1.A = A y 0A = 0 Nota.- A+A = 2A y A+A+A = 3 A MULTIPLICACION DE MATRICES El producto de matrices A.B = C, se obtiene multiplicando las filas de la matriz A por las columnas de la matriz B.
Esto es, Sean: A = [ aij ] mxp y B = [ bij ] pxn matrices conformables ( el número
de columnas de A es igual al número de filas de B ) A.B = = [ aij ] mxp. [ bij ] (^) pxn = [ cij ] mxn = C Nota.- La multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es: A. B y B. A , no son necesariamente son iguales Suponiendo que : A, B y C matrices conformes respecto de la suma algebraica y Producto, se tiene : i) A(B + C) = AB + AC ii) (A + B)C = AC + BC iii) A(BC) = (AB)C iv) k(AB) = (kA)B = A(kB); k es un escalar v) AB ≠ BA; en lo general vi) AB = 0 ; no implica necesariamente que: A=0 ó B= vii) AB = AC no implica necesariamente que: B = C Ejemplo Si: A = (^) [
4 5 6 ]^ verificar que: I 2 .A = A.I 3 = I 2 .A.I 3 = A Solución I 2 .A = (^) [
0 1 ] .[
4 5 6 ]^ = (^) [
0.1+1.4 0.2+1.5 0.3+1.6 ]^ = (^) [
4 5 6 ]^
= A
A.I 3 = (^) [
4 5 6 ]
[
0 0 1 ]^ = (^) [
4 5 6 ]^
= A
I 2 .A.I 3 = A .I 3 = A. Se verifica que se cumple.
