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ECONOMETRIA DE L’EMPRESA

Grau ADE

MODELO DE REGRESIÓN

LINEAL MÚLTIPLE

ECONOMETRIA DE L’EMPRESA

Grau ADE

1.^ E

SPECIFICACIÓN DEL MODELO ECONOMETRICO. TIPOS DE VARIABLES

Y DE RELACIONES. El^ estudio de las relaciones entre variables con objeto de describir fenómenos económicos

explicar el comportamiento de los ag

entes y pronosticar valores de futuro para las variables

de interés, admite un enfoque basado en el uso del análisis de la regresión. Para ello debe

determinarse

, en primer lugar, cuál es la

variable cuyos efectos quieren

explicarse

y cuál, o cuáles, son las

variables que actuarán como elementos determinantes de

aquellas variaciones.

La^ variable explicada

recibe el calificativo de

variable endógena

del modelo de

regresión. En ocasiones también suele reconocerse como la

variable dependiente de la

ecuación

Las^

variables

que ostentan en el modelo la

capacidad de explicar las variaciones de la

variable endógena,

se denominan

variables exógenas

Siguiendo la terminología estadística, las

variables explicativas

en la ecuación de regresión

se^ denominan

también

variables

independientes

.^ Este

calificativo

debe

tomarse

con

precau

ción

puesto

que

no

significa

que

dichas

variables

se^

comporten

de

manera

independiente entre ellas

, salvo que se trate de un experimento controlado.

ECONOMETRIA DE L’EMPRESA

Grau ADE

Un ejemplo sencillo permitirá fijar todos estos conceptos y términos. Consideremos para ello un

modelo de demanda agregada

de bienes no duraderos mediante el

que postulamos que el

gasto en un determinado tipo de bien (C)

es^ función

de su

precio

(P), de los ingresos de los consumidores (I

) y del gasto efectuado en el periodo

precedente

(C

).^ t- Para

incorporar

la^

influencia

de otros

factores

distintos

de

los

mencionados incorporamos un

término aleatorio (u).

Adelantemos, en la línea

del afán

simplificador de nuestro modelo, que

el peso de cada variable se recog

e en un coeficiente

distinto (a, b, c y d)

y que la suma de los

efectos es lineal

: t t t t t^

u Cd Ic Pb a C^

·−^1

·^

siendo t = 1,2, …, T

Para este periodo de tiempo los

coeficientes en la ecuación de regresión son constantes

y

representan los

efectos promedio que las variaciones de cada variable ejercen sobre la

endógena.

el valor del

coeficiente b

, por ejemplo, señala que

un aumento de una unidad

en el

precio del bien

supone un

aumento de b unidades en el gasto agregado

.

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Grau ADE

La^ fuerza de la asociación

entre tas variables explicativas y la variable endógena se mide a

partir de la

estimación de los coeficientes de regresión

Como cuestión previa a la estimación de los parámetros es preciso expl

icitar detalladamente

el^ conjunto de condiciones

que hacen posible dicho

ejercicio estadístico

a la vez que

garantizan la calidad de los resultados

Dichos supuestos se formulan acerca del

comportamiento del término de error aleatorio

que

se añade a las variables explicativas

como argumento

determinante de las variaciones de la

variable endógena. Esta

etapa

se reconoce como la

especificación, o construcción, del modelo

econométrico de

regresión y del

conjunto de hipótesis básicas

que lo configuran.

A partir de este

modelo empírico

y de la disponibilidad de la

información estadística

necesaria se lleva a cabo la inferencia, es decir, la

estimación de los parámetros

y el

contraste

de las

hipótesis mantenidas

ECONOMETRIA DE L’EMPRESA

Grau ADE

La relación establecida

es determinista

en la medida que las

variables explicativas

son

variables que siempre toman los mismos valores

independientemente de la muestra

considerada. Este supuesto se modificará

más adelante posibilitando que las

variables explicativas

sean

variables aleatorias

y^ añadiendo

un^ término de error aleatorio

en la ecuación.

La^

justificación de

la^

presencia del término de error aleatorio

queda reforzada por

cualquiera de los dos argumentos siguientes:

Los^

condicionan

tes que no siempre pueden reflejarse en el conjunto de variables

predeterminadas y, por otro lado, hemos de admitir un

cierto margen de maniobra

impredecible en su

actuación.

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Grau ADE

El modelo anteriormente enunciado queda definitivamente completo con el agregado

aditivo

del término de perturbación, o de error, aleatorio.

i KiK i i

i^

u X X X Y^

=^

·^

(^33) (^22) 1

β β β β^

i = 1, 2, …, N

En consecuencia, la

variable endógena es una variable aleatoria

puesto que su

variación

viene

determinada

, entre otros, por una

variable aleatoria representada en el

término de

perturbación

.

Nótese además que, en la

formulación de este modelo

elemental, la

intervención del

término de error es aditiva

y que las

variables explicativas

y sus

coeficientes

forman una

combinación lineal

.

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Grau ADE

1.^ HIPÓTESIS BÁSICAS EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Vamos ahora a formular el

caso más general

de una

relación lineal

entre una variable

endógena Y y K variables explicativas X

, X 12

...,X

además de un término de error aleatorio, u:K u

X X X Y^

• KK ++

=^

· ... · ·^

(^33) (^22) 1

β β ββ

Para realizar inferencias en esta relación

se dispone de

n^ valores muéstrales

(i = 1, 2, ...,

n)

para cada una de las variables observables, es decir de Y, X

, X 1

...,X 2

.^ De este modo, si laK

relación es válida para la i-ésima observación muestral, podemos escribir:

∑=

=+

+=

K k

ii kk ii i i^

u X u X X Y 1

,

(^33) (^22) 1

·

· ·

β

β ββ

con i = 1, 2, ..., n

Esta ecuación representativa de la

relación lineal existente entre la variable endógena y las

K variables explicativas para la observación muestral i-ésima,

es extensible también a las

demás unidades muéstrales, es decir que sirve análogamente para i = 1, 2,..., n.

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El sistema de ecuaciones resultante de considerar conjuntamente todas estas ecuaciones es de la forma

1 1

(^212) 1 1

·^

u

X

X

Y^

+ KK

2 2

(^222) 1 2

·^

u X

X Y^

+ KK

…^

ii i

i^

u X X Y^

=^

(^33) (^22) 1

β^

… n n n

n^

u

X

X

Y^

=^

, (^33) , 2 2 1

que admite una representación más cómoda utilizando para ello la notación matricial. En efecto, definamos de inmediato los siguientes vectores y matrices,

Y Y = nxYi Y^ n Y

) (^1) (

i K Kx

(^1) (

Kn kn n

Ki ki i

K k

K k

nxK

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

(^22)

2 2 22

1 1 21 )(

i n nx

U U U U

U

(^1) (

FORMALIZACIÓN

X

^

^

^

=^ ^

^

^

^

1,^

2,^

k,

1,^

2,^

k,

1,N^

2,N^

k,N^

Nxk

x^

x^

x

x^

x^

x

x^

x^

x

L L

M^

M^

O^

M

L

y^

X^

u

=^

y

^

^

^

=^ ^

^

^

^

y^1 y^2 M yN^ Nx

^ ^1 ^ ^2 ^ = ^ ^ M ^ ^ β ^ ^ k^

kx

u

^

^

^

=^ ^

^

^

^

u^1 u^2 M uN^ Nx1^ © Jordi ArcaronsSamuel Calonge

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Hipótesis Primera (H1): Existe una relación lineal estocástica

entre la variable endógena Y y las variables

predeterminadas incluidas en la matriz X y un término de perturbación aleatoria u. El^ peso de cada una de estas variables

predetermin

adas en la explicación de la

variabilidad de la variable endógena viene

recogido por los parámetros poblacionales

que^

componen el vector de coeficientes fijos

β. La relación se representa form

almente

mediante cualquiera de las expresiones siguientes:

∑=

K k

ii kk ii i

i^

u X u X X Y 1

,

(^33) (^22) 1

β

β β β^

con i = 1, 2, ..., n

ó

U

XY +=^ β Este supuesto descarta las relaciones exactas entre variables económicas

aspecto

que, debido a la propia naturaleza de las variables económicas y de los fenómenos que se trata de aprehender, es difícil de sostener en una relación empírica.

EJEMPLOS DE FORMES FUNCIONALES QUE PUEDEN LINEALIZARSE

(^ )

(^

)

2,i

i^ 1

2 2,i

i

2

2

i

i^ 1

2

i^

2

2 2

2,i^

2,i^ i

2,i i

i^

1

2

2,i^

i^

2

2 2,i

FORMA FUNCIONAL

EXPRESSIÓ

PENDENT

ELASTICIT

AT x

lineal

y =β

+β

x^

+u^

β^

β^

y

1

1

1

recíproca

y =β

+β

+u^

- β^ - β

x^

x^

y

X y

logarítmica

log y

=β

+β

log x

+u

β^

β x

logarít

14243

1444

424444

3

14 4244

3

144

244

3

(^ )

(^

)

i^ ( )

1

2 2,i

i

2 i^

2 2,i

i^ 1

2

2,i^

i^

2

2 2,i^

i

i

i^

1 2

i^

2

2 2

2,i^

2,i

2,i

mica-lineal

log y

=β

+β

x^

+u^

β^ y

β^ x 1

1

lineal-logarítmica

y =β

+β

log x

+u^

β^

β x^

y

y

1

1

logarítmica-inversa

log y

=β

- β^

+u^

β^

β

x^

x

x

© Jordi Arcarons

Samuel Calonge