¡Descarga tema2 y más Apuntes en PDF de Química solo en Docsity!
Estructura atòmica i Enllaç 2006- 1
2.1. L’Àtom d’hidrogen
Nucli format per un protó que considerem fix
Electró (única partícula mòbil)
La descripció mecanoquàntica del comportament de l’electró de l’àtom d’hidrogen es pot obtenir resolent l’equació d’Schrödinger per als estats estacionaris d’aquest sistema:
H^ $ Ψ = E Ψ
On l’operador hamiltonià consisteix en:
− + +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
h m x y z
Ze r
2 2
2 2
2 2
2 2
2
8 π (^40)
δ δ
δ δ
δ δ πε
Ψ Ψ Ψ
Energia cinètica de l’electró (^) Energia d’atracció electró- nucli
2. Àtom d’hidrogen
2
Per tal de facilitar la resolució d’aquesta equació, es treballa amb coordenades esfèriques, que permeten la separació de variables:
x
z
y
Θ r
ϕ
x r y r z r
=
=
sin cos sin sin cos
θ ϕ θ ϕ θ
− −
⎛ ⎝
⎜
⎞ ⎠
⎟ +^ =
Ze r m r r
r r m r
L E e e
2
0
2 2
2 2
2 4 2
1 πε 2
∂ ∂
∂ ∂
Ψ Ψ Ψ Ψ
h (^) $
En coordenades esfèriques, l’equació d’Schrödinger té la següent forma:
Estructura atòmica i Enllaç 2006- 3
En coordenades esfèriques, les funcions d’ona de l’àtom d’hidrogen (solucions de l’equació d’Schrödinger) es poden escriure de la forma:
Ψ ( r , θ , ϕ) = Rn l (^) , ( ) r Υ l m , l ( θ ,ϕ)
Part radial Part angular
Les funcions d’ona de l’àtom d’hidrogen i les energies associades a aquestes funcions d’ona estan restringides per tres nombres quàntics: n, l i ml, que són conseqüència de les condicions matemàtiques imposades a la funció d’ona.
n
l
ml
Número quàntic principal n= 1, 2, 3, ...
Número quàntic secundari l= 0, 1, 2, 3, ... n-
Número quàntic magnètic m (^) l= -l, ... –1, 0. 1, ... l
2. Àtom d’hidrogen
4
Significat dels números quàntics l i ml:
Les funcions Yl,ml ( θ , φ )
(harmònics esfèrics) són funcions pròpies de l’operador moment angular al quadrat:
L $^ (^) l m , (^) l ( , (^) ) l l ( ) (^) l m , l ( , )
2 2 Υ θ ϕ = + 1 h Υ θ ϕ
Valors propis Funcions pròpies
Clàssicament el moment angular, associat al gir de l’electró al voltant del nucli, pot prendre qualsevol valor :
Quànticament els únics valors possibles per al moment angular són els que compleixen :
( )
r L = l l + 1 h
El moment angular
està quantitzat
Estructura atòmica i Enllaç 2006- 7
(^211) ψ2 1 1
2 1 0 ψ2 1 0
2 1 -1 ψ2 1 -
2 0 0 ψ2 0 0
1 0 0 ψ1 0 0
n l ml ψ n l ml
Si tenim en compte les següents equivalències: l=0 Funció d’ona tipus s l=1 Funció d’ona tipus p l=2 Funció d’ona tipus d l=3 Funció d’ona tipus f
ψ 1 0 0 1s ψ 2 0 0 2s ψ 2 1 -1 2p (^) - ψ 2 1 0 2p 0 ψ 2 1 1 2p 1
Les funcions d’ona np 1 i np (^) -1 no són reals. Però es poden construir dues noves funcions d’ona que siguin combinacions lineals d’aquestes i que sí són reals: npx i npy.
2. Àtom d’hidrogen
8
E
m e
h
Z
n
C
Z
n
e
= − = −
8 ε
En canvi, les energies en l’àtom d’hidrogen només depenen del nombre quàntic principal n
C=2,18·10 -18^ J= 13,6 eV Les funcions d’ona depenen de n, l i ml, però les energies corresponents a un electró descrit per aquestes funcions d’ona depenen només de n
DEGENERACIÓ
Estructura atòmica i Enllaç 2006- 9
Ψ n l m , , l ( r , θ ϕ, ) = Yl m , l ( θ ϕ, ) ⋅ Rn l ,(^ r )
Y s
Y p
Y p
Y p
x
y
z
( )
( ) sin cos
( ) sin sin
( ) cos
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
1 4 3 4 3 4 3 4 (^12)
(^12)
(^12)
(^12)
π
π θ^ ϕ
π θ^ ϕ
π θ
( )
( )
( )
R s (^) aZ e
R s (^) aZ e
R p (^) aZ e
R s (^) aZ e
R p (^) aZ e
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
2 2 12 2
(^2 2 )
3 9 13 6 6
3 9 16 4
0
(^32) 2
0
(^32) 2
0
(^32) 2
0
(^32) (^2 )
0
(^32) 2
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ −
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ − +
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ −
−
−
−
−
−
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ σ
FUNCIÓ ANGULAR FUNCIÓ RADIAL
σ =
2 0
Zr na
( ) (^ )
Y d
Y d
Y d
Y d
Y d
z
xz
yz
xy
x y
2
2 2
5 16 3 1 15 4 15 4 15 4 2 15 4 2
(^12) 2 (^12)
(^12)
(^12) 2 (^12) 2
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ −
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
− = ⎛⎝⎜^ ⎞⎠⎟
π θ
π θ^ θ^ ϕ
π θ^ θ^ ϕ
π θ^ ϕ
π θ^ ϕ
cos
sin cos cos
sin cos sin
sin sin
( ) sin cos
R ( 3 d ) 9 130 aZ e 0
(^32) = ⎛^2 ⎝⎜^
⎞ ⎠⎟^
σ −σ
2. Àtom d’hidrogen
10
2.2. Orbitals. Representació dels orbitals
És difícil representar les funcions d’ona ψn, l, m o el seu quadrat perquè aquestes funcions depenen de tres variables (r, θ, ϕ).
Anomenem ORBITALS ATÒMICS les funcions d’ona hidrogenoïdes
- Representar la part radial, R (^) n,l(r), en funció de r
- Representar R (^) n,l^2 (r) en funció de r (densitat de probabilitat radial)
- Representar r 2 R (^) n,l^2 (r) en funció de r (funció distribució de la probabilitat radial)
- Representar la part angular, Y (^) l,ml(θ, ϕ), en funció de θ i ϕ
- Representar Y (^) l,ml^2 (θ, ϕ), en funció de θ i ϕ
- Representar superfícies que tinguin un mateix valor de Ψ^2 n,l,ml(r, θ, ϕ)
Estructura atòmica i Enllaç 2006- 13
•Representació de la funció de distribució radial , r^2 R (^2) n,l(r), en funció de r
1s
r 2 R (^2) n,l(r) dr
2. Àtom d’hidrogen
14
1s
2s
2p
3s
3p
3d
r 2 R 2 n,l(r)
Estructura atòmica i Enllaç 2006- 15
•Representació de la part angular, Y (^) l,ml(θ, ϕ)
x
y
Υ 0 0 ( s )^1 +^1
i 2
11 - 1 - 2
x
z θ
x
y φ
x
y φ
10
1 - Υ ( pz ) ( px ) ( p^ y )
Υ Υ Υ Υ
x
z θ
x
z θ
y
z θ
x
y φ
x
y φ
20 21 -^2 - 2
21 + 2 - i 2
22 + 2 - 2
22 - 2 - ( dz 2 ) ( dxz )^ ( d^ yz )^ i 2 Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ ( d^ x^2 - y^2 ) Υ Υ ( d^ xy )
2. Àtom d’hidrogen
16
•Representació de la funció, Ψ^2 n,l,ml(r, θ, ϕ):
Estructura atòmica i Enllaç 2006- 19
•Diferència entre els orbitals 2p, 3p i 4p •Diferència entre els orbitals 3d i 4d
2. Àtom d’hidrogen
20
2 4 6 8 10 12
1s
2s
Difusió i penetració:
2 4 6 8 10 12
2p 2s
•La difusió dels orbitals augmenta en augmentar n:
•Dintre d’una capa (igual n), la penetració dels orbitals disminueix en augmentar l: s>p>d>f
L’orbital 2s és més difús que l’orbital 1s: la densitat electrònica està més estesa en l’espai.
L’orbital 2s és més penetrant que l’orbital 2p: té més concentració electrònica a prop del nucli.
