¡Descarga tema2 y más Ejercicios en PDF de Química solo en Docsity!
Introducción al Cálculo de Probabilidades. El Cálculo de Probabilidades se ocupa del estudio de los fenómenos aleatorios, es decir, de aquellos cuya ocurrencia esta sujeta al azar y su objetivo es la modelización matemática de estos fenómenos. Sus orígenes son muy remotos y están muy relacionados con los Juegos de azar. Hoy día muchos investigadores se dedican al descubrimiento y puesta en marcha de muevas aplicaciones de la Probabilidad en campos como Medicina, Meteorología, Mercadotecnia, ... Distintas concepciones de Probabilidad. Definición axiomática. Veamos los distintos conceptos de Probabilidad que han existido a lo largo de la historia hasta llegar a la definición axiomática: A) Concepción clásica: Consideremos un experimento en el que tenemos un número finito de resultados n que son igualmente factibles y excluyentes (no se puede obtener más de un resultado de forma simultánea). Un ejemplo es el lanzamiento de un dado equilibrado. Consideremos 4 un resultado posible del experimento que se puede presentar en m de los » resultados posibles. En estas condiciones definimos la probabilidad del resultado 4 como: _n*casos: favorables —m P(A) —= Regla de Laplace. n n*casos- posibles Si consideramos el ejemplo del lanzamiento de un dado: Sea A el resultado obtener un 2, entonces P(A) =1/6 ; Sea B el resultado obtener un número par, entonces P(B) =3/6 =0.5 . Esta definición tiene el problema de obligar al experimento a tener un número finito de resultados y a que todos los resultados sean igualmente factibles, cosa que no ocurre siempre. B) Concepción frecuentista: En muchas ocasiones los posibles resultados de un experimento no son igualmente factibles; por ejemplo, en una fábrica la probabilidad de que un producto sea defectuoso debe de ser distinta a la de que el producto sea correcto. Esta definición viene de la idea de repetir el experimento muchas veces bajo las mismas condiciones y observar los resultados obtenidos. Entonces, la probabilidad de un resultado se aproxima por su frecuencia y, a medida que aumenta el número de veces que realizamos el experimento (A), esta frecuencia relativa se va a aproximar más a su verdadero valor. Por tanto se define la probabilidad de un resultado A como: P(A)= limf [4)= lim" qu 4) = SN donde N es el número de veces que realizamos el experimento y m es el número de veces que hemos obtenido el resultado A en todas las realizaciones del experimento. Un ejemplo es el lanzamiento de un dado trucado: Lo lanzamos 1000 veces, con los siguientes resultados: El 1 sale 250 veces; el 2, 120 veces; el 3, 148 veces; el 4, 150 veces; el 5, 162 veces; y el 6, 170 veces. Entonces: 2m=2 2025 ¿ ro-2 01. r)- 8 - 0148, 1000 1000 1000 py 50 0.15; po 2 016, 25) = 2% 017 1000 1000 1000 Este tratamiento de la Probabilidad tiene el problema de que hay que repetir muchas veces el experimento en las mismas condiciones, lo cual no siempre es posible. C) Concepción subjetiva: Hay fenómenos que no se pueden repetir en las mismas condiciones; por ejemplo, cuando se asegura una obra de arte, el precio del seguro debe ir relacionado con la probabilidad de que la obra resulte dañada. En estos casos la probabilidad se interpreta como el grado de creencia o convicción respecto a la ocurrencia de un resultado, pero el problema que presenta es la subjetividad en la asignación de la Probabilidad. D) Desarrollo axiomático de la Probabilidad: Vamos a realizar el desarrollo junto con un ejemplo. Realizamos un experimento aleatorio, por ejemplo, el lanzamiento de un dado: 3. Contrario: El contrario de un suceso E, es el suceso E, 6 Ef formado por los sucesos elementales que no están en £,, En el ejemplo anterior, E, = (3,4,5,6) 4. Diferencia de sucesos: Definimos el suceso diferencia de dos sucesos E/-Ez como el suceso que ocurre si lo hace Ey no E), es decir, E--E7 = ENE, . Ejemplo: Si Ey=(1,3,5) y Ez=f3), entonces E, Ez = (1,5) 5. Inclusión: Decimos que el suceso Ez está incluido en el suceso E (Es CE si Cualquier resultado de Ez lo es de Ey. Ejemplo: Si E = (24) y E, = (2,46) , entonces E, CE, . Decimos que dos sucesos E; y Ez son mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles si su intersección es nula, es decir, E¿NMEz = 2 Por lo tanto, los sucesos contrarios son sucesos incompatibles. Además, tenemos las Leyes de Morgan, por las cuales se verifica: EME, =(E,vE,)" E,UE, =(E, NE, y" Representamos los resultados de un experimento aleatorio por un par (Q,A), donde Q representa el espacio muestral y A una clase de subconjuntos de Q que verifican ciertas propiedades (es cerrada para uniones numerables, para formación de contrarios, y además contiene al conjunto W). Vemos a continuación la definición axiomática de Probabilidad: Dado el par (Q,A) y sea £ un suceso cualquiera, definimos la probabilidad sobre (Q,A) como una aplicación: P(Q,A) > R verificando: L.P(E) 20 VEEA 2. P(Q)=1 3. Si £,,E», ... son infínitos sucesos incompatibles, es decir, con intersección vacía entre ellos (E, N E, =10 Vixf), entonces se verifica que la probabilidad de la unión de los sucesos es la suma de las probabilidades de los distintos SUCESOS: P(ENSEJAE3U..) = P(Ej) + P (Ey) + P(Ey) +... Podemos decir que la probabilidad de un suceso es un número real que mide la posibilidad colectiva de ocurrencia de los resultados de ese suceso. Las probabilidades de los distintos sucesos las vamos a asignar utilizando cualquiera de los métodos ya vistos con anterioridad. A la terna (Q,A,P) se le llama espacio probabilístico y P(E) es la probabilidad de cualquier suceso E. Como consecuencia de la definición, tenemos las siguientes propiedades: 1. La probabilidad de la unión de un número finito de sucesos disjuntos (E, N E; = 0 Y izj ), es igual a la suma de sus probabilidades: PELEAS. En) =P(E)) + P(ES) +... + P(Es). Es consecuencia inmediata de la tercera condición para que P sea una función de probabilidad. 2. Sea E un suceso cualquiera. Entonces, P(E' )=1-P(E). Demostración: (EV E) = P(E)+ P(E) = P(Q) =1> PE) =1-P(E). 3. P(D-0. Demostración: Utilizando la propiedad anterior, PD) =1-P(Q) =1-1=0 4. Pes no decreciente, es decir, si Ej= E) entonces P(E) SP(E). Demostración: Como E, < E) podemos escribir E =E¡UErEy => P(E) =P(E,) + P(E3-E)2 P(E). 5. La probabilidad de cualquier suceso E está entre 0 y 1 (0
-E,) = P(E2) - P(E, ME)) entonces sustituyendo en una de las expresiones anteriores PE CEz) =P(E,) + P(E2) -P(E, NE). P(E, O E,) Análogamente, se define P(K/Ey= P(E,) , con P(EJ>. De ambas definiciones obtenemos el Teorema del Producto, que dice que dados dos sucesos B y Cde((Q, A,P) con P(B) y P(C) >, se tiene que: P(BAC) = P(B) P(C/B) = P(C)-P (BIC) La definición de probabilidad condicionada a un suceso se puede extender a cualquier número de sucesos: PBOCAD) - P(B/CAD) = HEND) con P(CAD). - Dados los sucesos £;,...,E, con PIN £,)->0, entonces : i=l Aa) = P(E) "PCE, / E, del E, e) Ejemplo : En Jaén se hace una encuesta para ver el número de lectores de los diarios Ideal y Jaén. Los resultados fueron: El 20% de los encuestados leen Ideal, el 16% leen Jaén y el 1% lee ambos. Si se selecciona al azar un lector de Ideal, ¿Cuál es la probabilidad de que también lea el Jaén? Q= habitantes de Jaén Sean los sucesos: A= leer Ideal, B= leer Jaén, P(A)0.2, P(B)-0.16, P(ANB)=0.01, PANB) _001 P(B/AJ> PO “ = 0,05 es la probabilidad de que un lector de Ideal lea también Jaén, 0.01 pray ELLO B) = 901 = 0.0625 es la probabilidad de que un lector de Jaén lea P(B) 0.16 también Ideal Independencia de sucesos. Al hablar de probabilidad condicionada de un suceso A dada la ocurrencia de un suceso B, hablamos de una cierta dependencia entre A y B, es decir, la información sobre la ocurrencia de B afecta a la probabilidad de la ocurrencia de A. Si esta información no tiene ningún efecto, definimos la independencia de sucesos. Dados A y B dos sucesos, decimos que A es independiente de B si y solo si la probabilidad condicionada coincide con la probabilidad sin condicionar, es decir: P(A/B) =P(4). Fácilmente se puede comprobar que si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. Demostración: P(A11B) = P(B)P(A/B) = P(B)P(A) = P(AJP(B/A) >P(B) = P(B/A). Como consecuencia, se tiene que A y B son independientes si y solo si P(ANB) =P(A) P(B), Si dos sucesos A y B son independientes entonces tenemos que: 1) Ay B son independientes ii) Ay B son independientes iii) 4 y B. son independientes Sean Aj... A, sucesos de un experimento aleatorio. Estos sucesos decimos que son mutuamente independientes si y solo si: DAA) =PLAJPA) vió iD PACA) = P(AJP(AJP(A) Visita vi) PAC.na)=[ [PA >. al Ejemplos: + En el experimento del lanzamiento de un dado comprobamos si los sucesos A y B son independientes, siendo A = (5,6) y B= (3,6). 1 1 Calculamos PA y PA)JPB) 5 y, puesto que son valores distintos, podemos decir que no son independientes e Selanzan dos dados. Sean A= salir impar en el primer dado. B = salir impar en el segundo dado. C = la suma de los puntos obtenidos entre los dos datos sea impar Entonces PAJA, PBI1/2., P(CJSL/2, P(ANB)= Ya (impar, impar), P(ANO)1/4 (impar, par), P(BAC)=1/4 (par,impar). Entonces son independientes dos a dos. Pero si calculamos P(ABNAC)= 0 (ya que no es posible “impar + impar = impar”), y como 0% P(A)JP(B)P(O) = 1/8, entonces los tres sucesos no son mutuamente independientes. experimento son los A;, que forman una partición del espacio muestral de todos sus posibles resultados. B es un suceso del segundo experimento. Utilizaremos el Teorema de la Probabilidad Total cuando necesitemos la probabilidad de un suceso del segundo experimento, si conocemos las probabilidades condicionadas de dicho suceso a los posibles distintos resultados del primero. Utilizaremos la Fórmula de Bayes cuando nos pidan la probabilidad de un resultado del primer experimento, sabiendo el resultado final del segundo experimento. Ejemplo: Se tienen dos unas Ay y Az. La urna Ay tiene 3 bolas blancas y dos negras, y la urna Az tiene 2 blancas y 3 negras. a) Se elige una urna al azar y se saca una bola. La probabilidad de que la bola sea blanca vale: 3 1_1 5 I 2 rerz PCA)P(B/A,)= 373: b) Suponemos que realizada la extracción, la bola obtenida es blanca. La probabilidad de que la bola se haya extraido de Aj vale: PCA)P(B/A,) _1/2+3/5 3 P(A IB) a P(B) 1/2 5 
