Tema2, Apuntes de Matemáticas

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Tema 2 Límite y continuidad de funciones de una variable 2.1 Sistemas de números as del invos- En el campo de las ciencias experimentales, dos de las operaciones bási tigador son “contar” y “med: El resultado de estos procesos se representa inediante númer Ss. Los números naturales (1, 2, 3, 4,. son el instrumento adecuado para “contar”, para indicar cuantos elementos hay en un conjunto (cuantos individuos componen una población, cl número de átomos que forman una molécula, ...). La totalidad de los números naturales se denota mediante cl símbolo N, así so suelo escribir N=11,2,3,4,.). Sin embargo, los números naturales resultan insuficientes para “medir” magnitudes, bales como la longitud, el peso, el volumen, la. temperatura .... Se necesita extender cl conjunto Ñ de manera que podamos describir una graduación contimua de las medidas. Como sabemos, dicha extensión se lleva a cabo cn vari Pasos. Por Z se denota el conjunto de los números enteros, es decir, el cero, los naturales y Sus Opueslos: Los números enteros se suelen representan sobre una. 1 (recla numérica). Respecto a los números naturales, los enteros permiten dar una “orientación” a las medidas. El ejemplo quizás más típico aparece al describir un estado de cuentas: los números positivos indican haber mientras que los negativos indican deber. Otro ejemplo donde está “orien- tación” puede ser utilizada es en el esludio de la variación de la longitud de una. varilla por el efecto del calor: un valor positivo se corresponde con una. dilatación y uno negativo lo hace con una contracción. Observar que para este último ejemplo donde se mide longitud, los números enteros siguen siendo insuficientes. Por Q se representa el conjunto de los números racionales, esto es, aquellos que se cionales pueden escribir de la forma, z con p EZ. q € ZN (0). Dado n € N, con los tr: q podernos medir la longitud de aquellos segmentos de la recta numérica que se obtienen al dividir la unidad en » partos iguales. Con los números racionales podemos medir cualquier longitud con un error tan pequeño como deseemos. Sin embargo, existen segmentos cuyas longitudes no se pueden expresar de manera exacta mediante números racionales. Resulta necesario una meva extensión: los números irracionales. Los números irracionales, cuyo conjunto se denota. por T, se caracterizan por Lener una representación decimal con infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos de estos números son v2 (1.41421356...), w (3.14159265,...), e (2.71828182...). El conjunto formado por los números racionales e irracionales se denota por R, es decir R=QUI, y sus clementos se denominan números reales, Estos se pueden identificar con los puntos de mna recta (recta numérica o real) y ya sí constituyen una herramienta adecuada. para medir. La siguiente definición introduce una herramienta para medir longitudes y distancias en Ro Definición 2.1 Sea x € M. Se define el valor absoluto de x. y se denota por a la cantidad zo sia>0 ln = e sir 0, y a entornos de a de la fornia U=(a—5,4 +6), $ > 0. Con este argumento se obtiene la siguiente caracterización del límite. Esta caracterización es la adoptada normalmente como definición de límite de una [unción en un punto. Proposición 2.20 Sean f : S CR —> 2 una función real de variable real y a, be R. Entonces, b= lim f(x) sí y sólo si para todo e > 0 existe 8 > 0 tal que |f 24 todo x € D(f) con0< Je—a|]<ó. =b| a lalerales de f en a. o . ES Ejemplo 2.21 Con las definiciones dadas anteriormente no existe el límite lim 5 pue 20 y que los límites laterales no son iguales Sin embargo por convento y abusando de la notación se tiene que lim — = 00. 2 a Ahora con ayuda del concepto de límite se puede formalizar la idea intuitiva de asíntota de una función. Definición 2.22 Sea f:S — 2 una función real de variable real, 1. Diremos que la recta x=c, conc ER, es una asíntota vertical de f si se verifica. 3 lim f(27)=>0 o 3 lim f(r)=o. 2el at 2. Diremos que la recta y =d, cond € R, es una asíntota horizontal de f si se verifica 3 lim fí1)=d o 3 lim f(0)=d. so dos 3. Diremos que la recta y = ma +n, conmeRA (0), ne X, es una aséntola oblicua de f si se verifica 3 li mo [fa) —-me=n]=0 o 3 lim [fl2) -me—-n] =0. x 1-00 Ejemplo 2.23 1 1. La recta au =0 es una asíntota vertical de f(«) ==. x l+u =+ tiene una aséntota horizontal en y = 1 (ver el Ejeruplo 4 y de la motivación del concepto de límite). 2. La función gla 2: 1 3. La recta y = 0 +2 es una asíntota oblicua de la función ha) = Part Para 2 comprobarlo basta tener en cuenta la igualdad 1 he) =+24_=, (2.10) Y y entonces al aplicar la definición. se obtiene 1 lim [h(2)—x—-2]= lim ==0. 2— + ao P La relación anterior sigue siendo cierta si sustituimos +o0 por —00, El siguiente lema es útil para el cálculo de las asíntotas oblicuas: Lema 2.24 Supongamos que se verifica 3 lim [f(e) —= me —n] =0. too Entonces los valores dem y n vienen dados por n= lim [£(%) — me]. no o e Límite de la suma: b+o osibiceR, os sibeR,ec=o, lim (Fr) + glo) = zos os) sib=c=00, IND. sib=—c= 90. (IND.=ludeterminado) e Límite del producto: be sib,cER, oo sib=00,cERY (0), lim (Haga) = 0 os si b= 00, c=00, IND. sib=00,c=0. e Límite del cociente: b 2 sibe Rc ERA 40H e 0 sibeR,c=00, go) lim na =% 06 sibe RA (0), 0 =0, os sib=00,c ER, IND. sib=c=00b=00, c=00. e Límite de 42), y € (0,400): Caso r > 1 +0 sib= +00 lnr0=<¿ ro sibeR 2—a 0 si b= —o6 Caso r <1 0 sib= +00 10=4 rt sibeR lim y +o6 sib= 00 e Límite de log,(f(u)), r € (0, +00): Caso r > 1 +00 sib= +00 lin tog( Fl) =4 log,(b) sibe (0,+x) 06 sib=0 Caso r <1 +o0 sib=0 lim dog, (f(x) =$ logr(b) sibe (0, +00) sib= +00 e Límito de (a): lim IO lim (estrato), a—« 1a Indeterminaciones: 0%, 1%, pe Para terminar esta sección, enunciemnos algunas propiedades que pueden resultar útiles para el cálculo de límites: 1. Si lim y(x) =00 y f es una función acotada, entonces lim a ana g() 2. Si lim g(x) =0 y existe M > 0 tal que |f] > Af, entonces lim a Fr) 3. Si lim f(x) = 00, entonces lin: ( + 13) = 4. Si lim f(%) =1 y lim g(x) = 00, entonces lim NO = lim eo04in —a 2>e z 2—a 2—a 1 lim f(x) =0, entonces lim sente) e A) L 2.6 Funciones continuas La idea de continuidad está implícita en el uso cotidiano de las malemáticas elemen- tales. Ásí por ejemplo, cuando para facilitar un cálenlo redondeamos algunos resultados intermedios, estamos suponiendo que pequeñas diferencias cn los operandos provocan pequeñas diferencias en los resultados. Otros ejeruplos aparecen al realizar mediciones de magnitudes básicas que emplearemos para obtener otras magnitudes derivadas. Normal- mente usamos instrumentos que sólo pueden registrar una cantidad discreta de valores, con ayuda de los cuales aproximamos aquellos valores no registrados. Esto mevamente se apoya en la suposición que pequeñas variaciones en las magnitudes básicas provocan pequeñas variaciones en las derivadas.