¡Descarga Introducción a las matrices: definiciones y operaciones básicas y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
Tema 2: Matrices e Aplicacións Lineais
1 Matrices
1.1 Definicións básicas
Definición 1 Sexan elementos de ( = 1 2 ; = 1 2 ). Ao conxunto deses ele- mentos dispostos en forma rectangular:
1 2 · · ·^
chamáselle matriz de dimensión, tipo ou orde × (ou ( )) e elemento xenérico da matriz
Denótase por = ( 1 2 ) a fila −ésima e por ^ =
a −ésima columna.
Para denotar unha matriz escribiremos:
= ( ) = 1 2 = 1 2
e tamén ∈ × se queremos indicar a súa dimensión.
Definición 2 Dada unha matriz ∈ ×, chámaselle submatriz de a calquera matriz obtida a partir de eliminando algunhas das súas filas e columnas.
Definición 3 Dúas matrices = ( ) e = ( ) de orde × son iguais se
= = 1 2 = 1 2
Definición 4 Chámaselle trasposta da matriz e denótase por ^ a matriz resultante de inter- cambiar as filas e columnas de .
É obvio que se ∈ × entón ^ ∈ × Tamén é evidente que ()^ =
Definición 5 Unha matriz chámase cadrada se posúe igual número de filas e de columnas. Deno- taremos por o conxunto de todas as matrices cadradas de orde
Entre as matrices cadradas distinguiremos algúns casos particulares:
- Matriz triangular superior (respectivamente triangular inferior)
= 0 se (respectivamente = 0 se )
- Matriz simétrica = ∀ ou ben =
- Matriz antisimétrica = − ∀ ou = −
- Matriz diagonal = 0 ∀ 6 = Un caso particular de matriz diagonal é a matriz identidade
= 0 ∀ 6 = = 1 ∀
1.2 Operacións con matrices
1.2.1 Suma de matrices: definición e propiedades
Definición 6 Sexan = ( ) = ( ) ∈ × Defínese a matriz suma como a matriz + = ( + ) ∈ ×
Propiedades:
- Conmutativa: + = + ∀ ∈ ×
- Asociativa: ( + ) + = + ( + ) ∀ ∈ ×
- Elemento neutro (a matriz nula de orde × )
- Toda matriz = ( ) ∈ × ten simétrico: a matriz − = (− )
- A trasposta da suma é a suma das traspostas:
( + )^ = ^ + ∀ ∈ ×
1.2.2 Produto de unha matriz por un número: definición e propiedades
Definición 7 Dada unha matriz = ( ) ∈ × e un número ∈ definimos o produto como a matriz = ( ) ∈ ×.
É dicir: para multiplicar un número por unha matriz, multiplícanse polo número todos os ele- mentos da matriz. Nótese que, a diferenza do que ocorre coa suma, a multiplicación dunha matriz por un número sempre está definida. Propiedades:
- () = () ∀ ∈ × ∀ ∈
- ( + ) = + ∀ ∈ × ∀ ∈
- ( + ) = + ∀ ∈ × ∀ ∈
- 1 = ∀ ∈ ×
Nótese que dadas as propiedades que verifican a operación interna suma (prop. 1 a 4) e a operación externa produto por escalares, o conxunto × dotado desas operacións ten estrutura de espazo vectorial sobre o corpo dos números reais.
Definición 11 Sexa cadrada de orde A súa inversa se existe, é unha matriz cadrada de orde que verifica: = =
Se existe a inversa, denotarase −^1 e diremos que é invertible.
Nótese que unha matriz non sempre ten inversa. Por exemplo, se a matriz =
μ 1 2 0 0
tivera unha inversa =
μ
debería cumprir que
= , é dicir: (^) μ 1 2 0 0
¶ μ
μ 1 0 0 1
de onde, se facemos a operación, obtemos:
+ 2 = 1 + 2 = 0 0 = 0 0 = 1
o que evidentemente non pode ser. A matriz non ten inversa. Propiedades da inversa dunha matriz
- A inversa dunha matriz se existe, é única.
- Se é invertible, entón (−^1 )−^1 =
- Se e son dúas matrices invertibles da mesma orde, tense que:
( )−^1 = −^1 −^1
- Se é invertíble, entón ()−^1 = (−^1 )
Os conceptos de matriz invertíble e matriz non singular son equivalentes como vemos no seguinte resultado:
Teorema 12 Se é unha matriz cadrada de orde unha condición necesaria e suficiente para que sexa invertíble é que () =
2 Aplicacións Lineais
2.1 Definición e operacións básicas
Definición 13 Sexan espazos vectoriais reais A unha aplicación : −→ chámaselle lineal se:
- ( + ) = () + () ∀ ∈
- () = () ∀ ∈ e ∀ ∈
As dúas condicións pódense xuntar nunha escribindo:
( + ) = () + () ∀ ∈ ∀ ∈
2.1.1 Consecuencias inmediatas da definición:
- ( ) =
Demostración: ( ) = (0) = 0 () =
- (−) = − () ∀ ∈
Demostración: (−) = [(−1) ] = (−1) () = − ()
Ã
X
=
X^
=
2.1.2 Tipos de aplicacións
Toda aplicación lineal poderá ser incluída polo menos nunha das seguintes categorías:
- Homomorfismo: aplicación lineal.
- Monomorfismo: aplicación lineal inxectiva.
- Epimorfismo: aplicación lineal sobrexectiva.
- Isomorfismo: aplicación lineal bixectiva.
- Endomorfismo: aplicación lineal na que coinciden o espazo inicial (dominio) e o final (espazo imaxe) ( : → ).
- Automorfismo: endomorfismo bixectivo.
2.1.3 Operacións con aplicacións lineais
Definición 14 Sexan : −→ aplicacións lineais e ∈
- Defínese a aplicación suma + : −→ como a aplicación que verifica:
( + ) () = () + () ∀ ∈
- Defínese o produto por un escalar : −→ como a aplicación que verifica:
() () = () ∀ ∈
É inmediato comprobar que tanto a aplicación suma como o produto por un escalar son aplicacións lineais. Se ademais se ten en conta que a aplicación () = ∀ ∈ é lineal e verifícanse as correspondentes propiedades para as dúas operacións, pódese enunciar o seguinte resultado:
Teorema 15 O conxunto
( ) = { : −→ aplicación lineal}
ten estrutura de espazo vectorial real
Nota 16 Se son aplicacións lineais como na anterior definición, a aplicación : −→ definida por () () = () () ∀ ∈ non é unha aplicación lineal.
Demostración: ⇒ Necesidade: Suposto que é inxectiva e recordando que ( ) = , se ∈ ker ( ) tense que: () = = ( ) ⇒ = ⇐ Suficiencia: Suposto ker () = { } sexan 1 2 ∈ tales que ( 1 ) = ( 2 ) Entón,
( 1 )^ −^ ^ ( 2 ) =^ ⇔^ ^ ( 1 −^ 2 ) =^ ⇔^ 1 −^ 2 ∈^ ker () =^ ⇒
⇒ 1 − 2 = ⇔ 1 = 2
o que significa que é inxectiva.
Teorema 22 Se : → é unha aplicación lineal, entón verifícase:
dim = dim ker() + dim Im()
Corolario 23 Se : −→ é unha aplicación lineal, entón dim [Im ()] ≤ dim ( ).
2.3 Inversa dunha aplicación lineal
Definición 24 Unha aplicación lineal : −→ ten inversa se existe unha aplicaión lineal −^1 : −→ tal que ◦ −^1 = −^1 ◦ =
As únicas aplicacións que teñen inversa son as bixectivas. A inversa dunha aplicación lineal é unha aplicación lineal
2.4 Matriz asociada a unha aplicación lineal
Definición 25 Sexa : → unha aplicación lineal e sexan = { 1 } e ^0 = { 1 } unhas bases de e respectivamente. Chámaselle matriz asociada á aplicación lineal nas bases dadas e denótase por ^0 ( ) á matriz que ten por columnas as coordenadas dos vectores { ( 1 ) ()} na base ^0
Se denotamos ditas coordenadas, é dicir
( ) = 1 1 + 2 2 + + = 1
os escalares da combinación lineal ( 1 2 ) son os elementos da − ésima columna da matriz ^0 ( ) No caso dun endomorfismo : → se consideramos a mesma base no espazo orixe e no espazo imaxe, denotaremos a matriz asociada por () Nótese que a matriz 0 () é única xa que os seus elementos son coordenadas de vectores nas bases dadas. Ademais, se cambiamos as bases, cambian esas coordenadas e, polo tanto, a matriz. Dado que dim = e dim = as matrices asociadas a en dúas bases calquera son de orde × Se a base do espazo imaxe é a canónica, entón as columnas da matriz asociada son as imaxes dos vectores da base do espazo orixe.
2.4.1 Imaxe dun vector utilizando a matriz asociada
Utilizando a matriz asociada podemos calcular a imaxe por de calquera vector de En efecto, se ∈ por ser unha base de temos que:
X^
=
e, dado que coñecemos as imaxes ( ) =
P
=
podemos escribir:
Ã
X
=
X^
=
X^
=
Ã
X
=
X^
=
X^
=
X^
=
Ã
X
=
Ademais, podemos escribir directamente:
() = 1 1 + 2 2 + · · · +
Igualando as dúas expresións, obtemos: ⎧ ⎪⎪ ⎪⎨
⎪⎪ ⎪⎩
ou, en termos de matrices:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
Denotando por ^0 [ ()] as coordenadas de () na base ^0 e por () as coordenadas de na base pódese expresar a relación anterior como:
0 [ ()] = 0 () ()
igualdade que indica como se poden coñecer as coordenadas ( 1 2 ) de () cando se coñecen a matriz asociada a e as coordenadas ( 1 2 ) de
Teorema 26
- A matriz asociada á suma de aplicacións lineais é a suma das matrices asociadas
0 ( + ) = 0 ( ) + 0 () ∀ ∈ ( )
(b) : ^2 → ^2 ; ( ) = ( ) (c) : ^3 → ^2 ; ( ) = ( − − − 3 + 3 + 3) (d) : ^3 → ^3 ; ( ) = (3 − 2 − − 2 + 4 − 4 ) (e) : ^3 → ^3 ; ( ) = ( + − + 3 + 2 4 + 6) (f) : ^2 → ; ( ) = + ^2
- Para as aplicacións do problema anterior que resultaron ser lineais, calcular ker() dim ker( ) Im( ) dim Im( ). Ademais, indicar se son inxectivas, sobrexectivas ou bixectivas.
- Dadas as aplicacións lineais : ^4 → ^2 e : ^2 → ^3 definidas por:
( ) = ( + + − ) ( ) = ( − )
calcular ◦ ker( ) ker() ker( ◦ ) e unha base e a dimensión de cada un dos núcleos.
- Sexa unha aplicación lineal de ^3 en ^2 tal que dim ker() = 2 e (1 3) ∈ Im( ). Calcular unha base de Im()
- Demostrar que o endomorfismo de ^3 definido por ( ) = (− 2 − 3 −+6 2 +− 5 ) é un automorfismo e atopar −^1
- Demostrar que o endomorfismo de ^3 definido por ( ) = ( − − + + 2 + ) é un automorfismo e atopar −^1
- Atopar as matrices asociadas a aplicación lineal : ^3 → ^2 ( ) = ( − ) nos seguintes casos:
(a) respecto das bases canónicas de ^3 e ^2 (b) respecto da base canónica de ^3 e da base ^0 = {(1 1) (1 −1)} de ^2 (c) respecto da base = {(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)} de ^3 e a canónica de ^2 (d) respecto das bases e ^0 de ^3 e ^2 respectivamente.
- Atopar a matriz do endomorfismo de ^2 definido por ( ) = (− + ) respecto das seguintes bases:
(a) as bases canónicas (b) a base canónica e a base = {(1 −1) (2 1)} (c) as bases = {(1 −1) (2 1)} e ^0 = {(1 2) (1 1)}
- Dado o endomorfismo de ^3 tal que (1 0 1) = (3 3 0) (0 − 1 0) = (1 0 −2) e (1 1 0) = (0 2 4) atopar a exprexión de respecto da base canónica e o núcleo e a imaxe de
Solucións:
- (a) 3 ^ − 2 =
μ 25 9 9 13
(b) =
μ 2 3 0 − 1 3 − 1 2
2. @ + + @ (^ + ) − ^ = (0)
- As matrices da forma
μ − +
Ã
½μ − 2 + − 2
- (a), (c), (d), (e) son aplicacións lineais. (b), (f) non son lineais.
- (a) ker() = {(0 0)} dim ker() = 0 dim Im() = 2 Im() = ^2 é bixectiva. (c) ker() = {( ) = + } = (1 1 0) (1 0 1) dim ker() = 2 Im = (1 −3) dim Im() = 1 non inxectiva e non sobrexectiva. (d) ker() = {( ) = = } = (1 1 1) dim ker( ) = 1 Im( ) = (3 1 4) (− 2 − 2 0) dim Im() = 2 non inxectiva e non sobrexectiva. (e) ker() = {( ) =
} = (5 − 3 2) dim ker( ) = 1 Im = (1 1 0) (1 3 4) dim Im() = 2 non inxectiva e non sobrexectiva.
- ( ◦ ) ( ) = ( + + 2 + + − − ) ker() = {( − − ) ∈ } base de ker( ) = h(1 0 − 1 1) (0 1 − 1 0)i dim ker() = 2 ker() = {(0 0)} non ten base, dim ker() = 0 ker( ◦ ) = {( − − ) ∈ } base de ker( ◦ ) = h(1 0 − 1 1) (0 1 − 1 0)i dim ker( ◦ ) = 2
- {(1 3)}
- −^1 ( ) = (− − 2 − 2 − 3 − − − − )
14. −^1 ( ) = (
- (a) 3 2 ( ) =
μ 1 − 1 0 0 0 1
(b) 3 0 ( ) =
μ (^1) 2 −
1 2
1 1 2 2 −
1 2 −
1 2
(c) 2 () =
μ 0 1 − 1 0 1 1
(d) ^0 () =
μ 0 1 0 0 0 − 1
- (a) 2 ( ) =
μ − 1 0 1 1
(b) 2 () =
μ − 1 −^23 (^0 )
(c) 0 () =
μ 1 5 − 2 − 7
- ( ) = (−+2 2 + 2 +2− 2 ) ker() = (1 − 3 −2) Im = (1 2 2) (− 1 0 2)
