temas 4 y 5, Apuntes de Matemáticas

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Inyectiva: x1,x2 є Dom(f) Si f(x1)=f(x2) => x1=x

3 Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables Cuando estudiamos función del tipo y = f(=), nos gustaría saber cómo varía la variable dependiente y cuando varía la variable ». Esto es equivalente a estudiar la inclinación de la gráfica de la función en un punto determinado. Sabemos que cuando tenemos la ecuación de una recta y = ax +b, el número a no sólo nos indica la pendiente de la recta, es decir, el grado de inclinación de la misma, sino que también nos indica cuánto varía la variable y cuando varía la variable 2 una unidad. Cuanto mayor sea a mayor será la variación de la variable y y cuanto menor sea a más insensible será la vanable y ante cambio en la variable x=. Pero, ¿cómo medir la inclinación de la gráfica de una función cualquiera en un punto de- terminado? Una respuesta a esta pregunta es definir la inclinación de una curva en un punto como la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Recta tangente en = 3 ¿Cómo calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto 2? Como se puede observar en el dibujo la recta tangente no es más que el límite de rectas secantes que pasan por el punto (:p, f (x20))- ecta tangente como límite de rectas secantes La pendiente de la recta tangente será el límite del cociente anterior cuando A se hace cada vez más pequeño, y s1 ese límite existe lo defimiremos como derivada de f en el punto zg y lo denotaremos por f' (xp), también diremos que f es diferenciable en zo, flo +h)-f (20) h £ (2) = in Si f es diferenciable en todos los puntos de su dominio diremos entonces que la función es diferenciable. Definición 8 Si una función es derivable en xy € Dom(f) entonces la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (=0, f (20)) tiene por ecuación: y=$f (xo) + f' (20) (2 — xo) y = lux +b ol h qc » yo OS Lima 134/20) A = Ple) xo) +4 (ke) Hro) = HO) -Xo +b to = J(xo) -E(ha-ko 3.1 Tasas de variación y su significado económico Supongamos que los rendimientos de dos activos X e Y están relacionados por la siguiente función y = f(x), es decir, cuando el activo X ofrece un rendimiento de a unidades el activo Y ofrece un rendimiento de f (a) unidades. Si el rendimiento del activo X se incrementa en h unidades el incremento o decremento en el rendimiento del activo Y será f(a+h). La variación del rendimiento del activo Y con relación a la variación del rendimiento del activo X se denomina tasa de variación media de f en el intervalo [a, a + h] y es igual a: fla+h)-$f(a) h Si hacemos que el incremento de variación, h, sea cada vez menor de tal modo que llegue a ser cero lo que obtendremos será la tasa de variación instantánea: fla+h)-$ (a) = tasa de variación media = tasa de vanación instantánea - die 3 la ps a (0) “haga Tunel luedie > 5 1 a mada de X= A pS a = din pin 110 pen. 20 F' (a) = lim h=0 h . —— a , Senstante e F (2) =0 f (2) = f (2) =cosz F (2) =—sinz F (2) - 1+tan?a = rz fio)=> F (2) =e* f' (2) =ag' (x) F (2) =ng""" (2) g (1) 1-3 Pla) =9 (0) 00 EJEMPLOS Fx) = f(x)=0 f()=%* P (2) = 48 fix) =3c08x f(x) =-—3sinz ) ) = (27 — 31 f (2) =3(27 3/2 f(2)=In(-304+2) f(2)= 55 fa) = em F(m)= cos aer” 3.2.1 Derivación logarítmica Supongamos que g(=) y h(x) son diferenciables, entonces también lo son f (2) = a) y Fx) = (aa - ¿ Cómo calculamos las derivadas de estas funciones? Por ejemplo, consideremos f (2) = a%%, si tomamos logaritmos en ambos lados de la igualdad obtenemos: In f (2) = In a2%) = g (2) Ina derivando en ambos lados de la igualdad: f'(=) Hz) =9g (2) Ina despejando f' (7) : F (2) =$ (2) 9 (2) na =0*"g (2) Ina 1. Deriwvar las funciones siguientes: f(x) =4 +23 f(x) =1In(e” +1) f (2) =1n (In 2) f(2)=v2*-3 Fa) =2 Fl) =In (ya?+1) fe) = em? fa) =P Ina? f(x) = ln (2+1) f (e) =1n (cos e sin 2) Fla) =30:-P Fla) =en" fle)=0te F(2) =cos(e 2042) $(0)=(00830) f(2)=In(—42%+5) $ (2) = Va? f(2) = (20-35 2. Hallar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de las siguientes curvas en los puntos que se indican: (a) f (2) =32+2 en (0,2) (b) F(e)=="-1en (1,0) [c) f (2) = 2% — 2o en (1,1) (d) f (2) = 42 en (3,3) (e) f (2) =sin (32 +2) en (-3,0) (0) f (2) =1n (32? — 2) en (1,0) (£) H(2) ==*— cosa en (0,1) _—_ A - A Unas pa e a aa LANA 2 1, (000) 2 =lúnx mx A A E q/= 240 x (Su) o q MS os -- . , Z My? | Aa (tax sur) pee ds), A esta | ye LL fiaxs) y [e ustrs) a Cox fx Gus) ya 106 Ex) |, tre rtnd dr o 2 (tr dea ES e El a Ex Sue A eu rts) > fES a Sex due + tn E Loli) ca 1 A 1 ends Y o MS Mi EE ln x Seu XK A (TO) E Laa (Lux) E , e AA AR EAS E, y: mer 1 (0) = a AS ed t- w ul —S Ad : x E 7 E LES 57: [ir E. Y NE =p Xu ao xt La pr) EX e (ue)! = a qe 4 WE 2 a = labder os E » x_z ¿e E Sta Penta A = (o) + E A du cur Praia En y = she — a de xP ql s A = > > > ze. E Eu 2d E! q x* *x y a A > (En ola Eo 3) => (E 19) lu, lax- y qe (y y La l2x- y. q (An E o e 2x-> 2) de 2000 o 1 2x0: pa? E 2 ¿ARPA pes la a 3 anne da tua. Ud nl O pS ae Yo - pee a (11) 4 qe a yax+b —> |ai+rb—b=0 ly ax Pruditata ab. dl Puguda ) l0=2 +0 aba =y- (59): (3 ) - 03 2 > = ms = ¿Mae bo qe q 3 e 9 q ES 30-13 eb e dai => b= (pes S no AA IA La stuecaa , Adaro ae facial db En EAilificucia Ssuaucl 2d fuel fame e SAA > año. 2 lcrodia = y ena da 3 gon +2K x=2 Ae) = E ss Le e E ACE aa 3 60rr | 7 pa? 3Ye X=/2 Al) E y = pe » Ala 3Vcorzr 3p£Y O) husarta des A 0 ds _—= — E A dde al Varna? € ———— = A % uvito =día d- (ro-106) + (Bro 1 8)? > Fuego a/c El ¿aia alac aa) Za a ¿rott)Ed + 2 (do) E 2)) 2 Node A > + Wa (dio 0) E > de 1 Aecem aa de eÉz Qulbies o lar 10)" + aa d=0 —= (dio ¿Ya (dro UY 0 2ln E) — A Ia rd dos > a La De oque ebfiucon el Fuupo, Hdi pes Ejemplo 4. Dada la función f(x)==x"+x calcular f'(2). De acuerdo con la definición: - 2 - - f(2) = lim DEIA) _ iy 27996 - py AI) =lim(x+3)=5 x*>2 x—2 x*>2 x—2 x*>2 x—2 2 Por tanto f'(2)=5 y asimismo existen f/(2) y f"(2), siendo el valor de ambas también igual a 5. Ejemplo 7. Dada la función f(2) =Yx, calcular FO). Si fes derivable en x=0, entonces se verificará que oi LEI o yr F (0) = lim 22 —=F2(0)= £2(0) Calculemos las derivadas laterales: , . Y 0 . Y ] 1 £e(0)= lim 2 —= lim == lim 5 =+0 00 Ye Yo e Ñ 1 ' = li = li = l = LO TERA Las derivadas laterales en este caso tienen el mismo “valor”, pero no existen ya que +00 no es un número real; por tanto fno tiene derivada en x =0. A diferencia del ejemplo anterior, en este caso la gráfica de ftiene una única tangente en x =0), pero dicha recta tangente es vertical (tiene pendiente infinita). Fu La tangente en (0,0) eslareca x=0 Proposición 2. (Regla de la cadena) Sea f una función tal que f =g=h, siendo h y g funciones derivables en x, y Mx¿), respectivamente. Entonces se verifica que f es derivable en x, y f(x) = 2 (M(xo ): A (xp) Ten Ejemplo 12. La función f(x) =e** es composición de 2seno + = fl= Mos Y 200=* siendo hy g funciones derivables en todo punto. Ási pues, aplicando la proposición 2, deducimos que fax) es derivable en E y como 2eosa( a? +5)- 2sen() «2 2(x? +5Jeosx =dosenar Ms)= (2 + 5) (-* +5) ¿l)=e se tiene que: fl ] kx) 7 ) 2er 2 x* +5 )cosx —4xsenx ¿x]=e a = e —_—_—___—_———_ — (7 +5] La regla de la cadena nos permite determinar cuál es la derivada de la función inversa de una función. Recordemos que cuando una función y = f(x) es inyectiva existe la función f Y inversa de f (ver tema 2), de tal forma que para todo x perteneciente al dominio de f y (7-1) = (0 f)lx)=x Esta relación entre f y su función inversa nos lleva a preguntarnos sobre la existencia y el valor de la derivada de f ! y también sobre la posible relación de esta derivada con la de la función f, supuesto que existen ambas derivadas. En concreto, se tiene que si y = f(x) es una función inyectiva derivable en x=a, entonces la función inversa es derivable en b= fía) si f'(a)*0, y el valor de esta derivada es igual a 1 —(b)= [6] o. a o con la notación habitual: py. A [6]