Cálculo de primitivas, Apuntes de Matemáticas

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1 Cálculo de Primitivas 1.1 Conceptos preliminares Definición 1 (Función primitiva o antiderivada) Diremos que la función F(w) es una fun- ción primitiva o antiderivada de f (x) si F (2) = f(x) para todo punto = € Dom(f). Definición 2 (Integral Indefinida) Dada la función f, se llama integral indefinida de f al conjunto de todas las funciones primitivas de f [f1or="F()+k donde (K es una constante arbitraria, siendo F una primitiva cualquiera de f 1.2 Integrales inmediatas y métodos de integración Existen ciertas integrales que son inmediatas y nos servirán para cálculos posteriores. e fhdo=ko+K e f2"dx= 0" + K para todo n + -—1 e fldo=Ino+K e ferdo=er+K e fordr= har+K . fsinado =—cose+K e [cosido =sinx+K e ftanadz =—In (cos) + K e [de=/f(1+tanta)de= f sec? ado =tanx + K cos a e [3 de=f(1+c0t*2)de= f esc? de =—coto + K miz . S Ed = arcsinz + . J H=d2 =arctanz + K e [Gir Info+ vi+ a+ K 1.2.1 Cambio de variable: Sea gp una función con derivada ¿7 continua, y sea f una función continua. Entonces, haciendo t= p (7) tenemos entonces que di = y! (1) de [roms fs I= / edo tomamos + = 2x — 5 de manera que dt = 2dx luego de = 3dt sutituyendo tenemos s 1 1 1 1= fetá fezó=z f ca=3e+k 2 2 2 l= / a? cosatda tomamos t = 2* de manera que dt = 4x*dx, sustituyendo obtenemos 1 1 I= [éoestio= f y costát= gant+K A través del método de cambio de variable tenemos que las siguientes integrales se convierten en inmediatas: . S (0 F (0) de = = Playa + K para todo n %-—1 e [FQdr=Inf (0) +K . FP (2) dr = e KE e [Plajard= a+ K * [$ (a)sinf (2) de =—cosf (0) + K * [$ (2)00sf (2) do =sinf (2) + K + [$ (2) tan f (2) de =—In(cos f (2) + K . SE = J(+tanf(2)) de = f sec? f (0) de =tan f (0) + K . S ¿FG de =$ (1+00t? f (2) de = foso? f (2) de =—cot f (wm) + K . IAF = arcsin f (2) + K . S Lord = arctan f (a) 4 K r+yl+f (0) . $ ¿LL dz = In +4K Y l+F(=)* e [P(x) sinz de o [ P (2) cosz dedonde P (x) es un polinomio. En el caso f P (2) sinz de tomaremos u=P(zx) du=P'(2)dx du=sinade v=-—cosadx de manera que I=sinenz+ [ P(2)ouode En el caso f P (2) cosa de tomaremos u=P(x) du=P'(2)dx dv=cosxde v=sinedx de manera que I=coszlo— [ P(o)sinada T= fesinzá: u=x du = dx du=sinade v=-—cosz tomamos entonces Il = feinzdr=-aco0z+ f cosrár= = —ocosi+sinz+HK e [P (2) e*dz donde P (%) es un polinomio. En este caso tomaremos u=P(x) du= P' (2) dx dv=e"de uv=edx de manera que I=P la) [ P) ea: 1= fueáo u=zx du = dx du=e dx v=e” Il = fueras = se- fed = xer—e+K tomamos entonces e Por último, también aplicaremos integración por partes cuando la función a integrar sea un poco complicada como tomamos entonces Il = ES 1 = ano— f22do= x = zilnc-+K 1.2.3 Integración de funciones racionales: 5) Veremos cómo integrar cualquier función racional P (x) Q(z) (P (2) y Q (2) son funciones polinómicas) expresándola como suma de fracciones más simples. El grado de P (x) es mayor o igual que el grado de () (7) Dividimos los polinomios P(x) Ríz) Q (2) Q(2) donde R (x) es de menor grado que Q (2), de manera que > z =C(2) + R (2) Q() la primera integral no ofrece os ya que es la integral de un polinomio, en la siguiente integral tenemos un cociente de polinomios donde el grado del numerador es mayor que el grado del donominador. En la siguiente sección veremos como resolver este tipo de integrales. de yd = E )dx + / +5 +3 atro—2=(2+2) (2-1) Factorizamos el denominador u+ó y descomponemos en sumandos a+ r+2 45 A + B—_ A(rx-1)4+B(2%+42) a+2+2 (e+2) (2-1) — (e+2)(2-1) de manera que 2+5=A(e-1)+48B(2+2)=(A+B)]r+ (2B-A) igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: = A+B 5 = 2B-A cuya solución es A=-—1,B=2. Ahora podemos realizar la integral +5 2 1 “de = | (2 —— — ——— iz = 2 Un lu — 1) —1 Y+IK ¡A 5 Esyr nl 1 In|e+2]+ * El denominador Q (7) tiene n raíces reales múltiples: Q (2) =(2—a1)" (203) ---(2—4n)” En este caso la fracción 5) se descompone en los siguientes sumandos: Plz) - Ar + As po Aa, or B; + Ba or B, Q(z) (2-01) (ra) (2 a)" (2—a.) (145) (2 — an)" e El denominador (Q (x) tiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite, por ejemplo: Q (2) = (a? + de +<) (2— d) En este caso la fracción E“? se descompone en los siguientes sumandos: Ql=) Pl) A > Ba+C Qlu) (2—d) ' (ar?+be+c) fee En este caso descomponemos en los siguientes sumandos RANA z A + Ba4+C + Dia+ E _ (2-2 (2+1) (2244) (2-2) (+1) * (244) operando e igualando coeficientes obtenemos: A=3,B=-—H,C=,D=%,E=-¿ por tanto 7 1 last las + Ea +) =- ) b]e ES] od ft, [221 +37 (arctano — In |u* +1)) + mr] (Gil + 4| — arctan e El denominador Q (z) contiene factores cuadráticos irreducibles repetidos Q(2) =x (ax —bx+c)" en ese caso Z£L se descompone en los siguientes sumandos: Qlz) Pía) _ A, Aj+B, Asa + Bs o Ana B, Q()— 2 (at+da+e) (at+ba+c) (ar? +bx+e)” / de (2172 En este caso la fracción E se descompone en los siguientes sumandos: 1 d4r+B Cr=D BE (42+B)(07+1)2+(Co+D)0+E ((2?+1)”) = + 44= x(ar+ 1) (P+D (rr1? 2 (2241) (AS Ejat4 Bat (A42E4 CO) 4 (B4+ D)24 E E alat+1) igualando coeficientes y resolviendo U=A+E 0=B 0=A+25E8+0C 0=B+D 1=E obtenemos como solución 4 =-—1,B=0,C=-1,D=0,E£=1. Luego de z z 1 1 1 a - -)de=—>In (0 +1) +55 Lar Al 22+1 (21) +1) 2 n (2 + TE 1) + In 0] + E del Epa po 43 A a HERE ca pes pate =1 A cada a Al yde =1 A a serie y 1 yet ai porron a 2x+l a Y El a merl= ¿fro Ratas rodas val. a ao AMAS ea ax — A 0 mel a MET MATES Cn a A= 5 dx = 3lules) + PRo—á xl «rel E (en? [ea al T= Pix 2,43 haba + AS