¡Descarga teoria de bioestadistica y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!
Elementos de Estadística 2010 Fac. €s. Veterinarias (U, B, A) PROBABILIDAD OBJETIVO ESPECÍFICO Y” Comprender, analizar y aplicar a la resolución de problemas los conceptos de probabilidad, experimento y variable aleatoria. CONTENIDOS TEMÁTICOS Probabilidad: Nociones de probabilidad basadas en la teoria clásica, del límite de frecuencia relativa, y la definición axiomática. Caracteristicas de cada una de las teorias. Experimento y suceso aleatorio. Reglas de la suma y del producto, y sus aplicaciones. Probabilidad condicional. Aplicaciones. GLOSARIO Experimento aleatorio. Espacio muestral. Punto muestral, Sucesos. Casos especiales: sucesos imposibles, cierios O seguros, mutuamente excluyentes p incompatibles, complementarios. Definición clásica de probabilidad, la probabilidad coma límite de la frecuencia relativa, leoría axiomática de probabilidad. Propiedades derivadas de la definición axiomática. Teoremas de la suma y del producto de probabilidades. Probabilidad condicional. Probabilidad conjunta. Independencia de sucesos . Conceptos básicos Experimento: es toda acción o procedimiento repatible indefinidas veces en condiciones similares mediante el cual se generan resultados. Fenómeno: su ocurrencia no requiere de la intervención humana y puede ser observado sólo si ocutre. Experimento aleatorio: no se puede predecir el resultado de una repetición pera se conace el conjunto de todos los resultados posibles y sí se observa un gran número de veces, cata uno de los resultados aparece en una proporción definida, es decir, hay cierta regularidad en los resultados. Espacio muestral; es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o feriómeno aleatorio. Punto muestraf: es un elemento del espacio muestral Suceso: es un subconjunto cualquiera del espacio muestral Evento simple o elemental: resultado de un experimento que no puede descomponerse en una combinación de otros. Evento compuesto: consta o está formado por 2 0 más eventos simples. Suceso cierto o seguro: ocurre en cualquier realización del experimento o fenómeno aleatorio. Suceso imposible: no ocurre en ninguna realización del experimento o fenómeno aleatorio. Sucesos incompatibles o mutuements excluyentes; no comparten resultados comunes, es decir no existe hingún punto muestral que pertenezca a ambos. Sucesos complementarios: dado un evento A se llama complemento de A al evento que ocurre si y sólo si A NO OCuIe. Ejemplo: En un oriadero hay diez perros, cuatro de raza caniche y seis de raza pequinés. De los caniche, dos son blancos y los restantes grises, y de los pequineses, tres son negros y los restantes blancos. Se extrae al azar, de este conjunto de artimates, uno, y se mira raza y color de pelaje. El conjunto de resultados posibles de este experimento aleatorio, es decir el espacio muestral es: S =(PB, PN, CB, CG) Siendo los puntos muestrales para este experimento: Elementos de Estadística 2010 Fac. Cs. Veterinarias (U, 8, A) PB: pequinés blanco PN: peguinés negro CB: caniche blanco CG: caniche gris Los siguientes son ejemplos de eventos asociados con el experimento definido, es decir, subeonjuntos del espacio muestral S, A.= ( el animal elegido es perro) B = (el animal elegido es perro maltés C = (el animal elegido es perro pequineses D = (el animal elegido es négro ] E= (el animales perro caniche) Ltra forma de definir los mismos eventos es enumerando sus puntos muestrales, es decir por extensión: A=(PB, PN, CB, CG] B=() C=(PB, PM) D=(PN) E=/CB,CG] Observaciones: €) A contiene a todos los puntos del espacio muestral, siempre que hagamos el experimento, ocurre, b) c) d) e) 1 Entonces A es un evento clerto o seguro. B no contiene a ningún punto del espacio muestral, nunca ocurre. Entonces E es un evento imposible, D contiene un único punto del espacio muestral, se dice que D es un evento elemental. C contiene dos puntos del espacio rauestral, se dice que € es un evento compuesto. D y E mo pueden ocurrir simultáneamente, se dice que E y D son mutuamente excluyentes a incompatibles. € y E son también mutuamente excluyentes pero además son exheustivos, es decir que entre ambos eventos cubren toda el espacio muestral. Por la tanto cuando uno de ellos no ocurre, necesariamente ocurre el otro. Decimos que € y E son eventos complementarios. Motación + Los sucesos, por ser conjuntos, se simbolizan con letras mayúsculas, Ej.: A, B, O. Suele ocurrir que, como se intenta que el simbolo nos ayude a recordar el suceso, Ej.: en los ejercicios resueltos hemos utilizado Z para indicar el suceso *el animal seleccionado es Zaino”. En particular, seria deseable que no se utilice para indicar sucesos la letra X por los posteriores usos que le daremos. + Dado que traducimos del lenguaje coloquial (que es muy amplio) al lenguaje simbólico (más estricto que el anterior), una expresión simbólica puede provenir de diferentes expresiones coloquiales. Por ejemplo: "CN" puede provenir de decir “caniche negro”, que es equivalente a decir que sea "cániche y negro” o “caniche pero negro”. Por lo tanto, no debemos “aternos” a palabras y/o conjimciones de castellano para expresamos simbólicamente. + A partir de eventos conocidos suelen definirse nuevos eventos, por ejemplo: que ocurra el evento A y al mismo tiempo ocurra el evento B A esta combinación de eventos se la denomina intersección y se fa denota A nm B Elementos de Estadística 2010 Fac. Cs. Veterinarias (U, 8, Aj probabilidad de que ocutra A, según la definición clásica, es entonces: PA — o sd 4 Sin embargo, si expresábamos el espacio muestral asociado al experimento indicando los colores posibies del pez seleccionado: S=(A,N) Hubiéramos podido pensar que P(A) es Y, sin embargo esto no es correcio ya que el número de peces ará- fíllos no es igual al número de peces negros. El primero de los espacios muestrales considerados es un es- pacio de equiposibilidad, vale decir donde cade punto muestral tiene la misma chance de ocurrir, mientras que el segundo espacio muestral no lo es. En síntesis, la definición clásica de probabilidad es apropiada en espacios de equiposibilidad. Este inconveniente condujo a los estadísticos a buscar nuevas formas de enter der y definir probabilidad. Enfoque a posteria: Una forma intuitiva de encontrar la probabilidad de un cierto evento A sería repetir el experimento n veces, de forma tal que cada repetición no afecte la chance de ocumencia del evento en otra y baja condiciones experimentales similares, registrando el número de veces que ocurre A en las n repeticiones. Si denotamos (4) el número de veces que ocurre A en las n repeticiones, llamamos ta Frecuencia relativa de A en las n repeticiones a: LA) A n Cuando n crece, £. (A) tiende a estabilizarse alrededor de un número que llamamos P(A), como puede observarse en el gráfico siguiente, donde en el eje de absclsas (X) se representa el número de ensayos del experimento y, en el eje de ordenadas (Y), la frecuencia relativa observada para el evento A en ese número de ensayos: Tendencia de la frecuencia relativa dle un evento. A E 35 20% Simbólicamente. £(A) > P(A). Definición N Ls definición axiomática supone la existencia de una función de probabilidad p(.) que asigna un número real a cada suceso A, definido dentro del espacio muestral S, de mado tal que el número asignado satisface los sí- guientes tres axiomas (afirmaciones que no se demuestran): 1- P(A)20 para tado evento A del espacio muestral S 2- M8Sj=t 3.- Si Ar, Az sorreventos mutuamente excluyentes entonces PA; U Az) = P(Ay) +P(Ay) Este tercer axioma puede generalizarse para más de dos eventos. Elernrentos de Estadística 2010 Far. Cs, Veterinarias (U, 8. A) Propiedades derivadas de fa definición axtomática de Probabilidad: 1. La probabilidad de que no ocurra el evento A, es decir la probabilidad de que ocurra el evento comolemento de A y la probabilidad de que ocurra A suman 1. Simbólicamente puede expresarse: PAD+ PLA) =1 vale decrqueP(AC)= 1-P(A) Por «ejemplo: Pímacho) + Plhembra)=1, siendo A: macho y AS hembra 2. La probabilidad de que ocurra el evento imposible es cero, puesto que es el evento complementario del espacio muestral. Simbólicamente puede expresarse: Pro=0 3. Si elevento A ocurre algunas de las veces gue ocure el evento B, lo que simbólicamente se indica AB, entonces la probabilidad asociada al evento A es menor o igual a la probabilidad de que ocurra el evento B. Simisólcamente puede expresarse: ACB >PF(A) SPB) Por ejemplo: algunos de los diabéticos son insulinodependientes, aunque hay diabéticos que na lo son, lueges: tinsulinodependientes) <= (diabéticos) => Plinsulinodependiente) < P(dinbético) 4.- SA y B son dos eventos cualesquiera de un espacio muestral S, y ocurre que P(A) + P(B) supere a 1, a esto se debe a que la probabilidad de ta intersección se está sumando dos vecés. ¿Géserno debemos calcular entonces la probabilidad de la unión de estos sucesos? Debemos sumar las probabilidades de ambos eventos y restar la probabilidad de la intersección para que quecte sumada una sola vez. Simbólicamente podemos expresar la propiedad: P(A 118) =P(A) + P(B)-P(A NE) Muchos autores denominan a esta Última propiedad Teorema de la Suma, Preloabíidad condicional Cuaarido nos interesa la probabilidad de que ocurra un evento A, pero disponiendo de la información de que ha Ccurido el evento B, se dice que queremos calcular la probabilidad de A condicional a B. Si restomamos el ejempla de los perros donde teníamos diez perros, cuatro caniches y seis pequineses, de los zaniches, dos son blancos y los restantes grises; y de los pequineses, res son negros y los restantes blarxcos. Queremos saber cuál es la probabilidad de que sea caniche sablenda que es blanco. Si biesn el conjunto de resultados posibles de este experimento aleatorio, es decir el espacio muestral original e S=(PB,PN, CB, CG) En este caso sólo nos interesan los puntos muestrales dónde el perro extraído es blanco. Luego, el conjunto de ressutados positiles es: B=(PB,C083 Elementos de Estadística 2070 Fac. Cs. Veterinarias (U. 8. 4) o bien P(AN B)= P(A). PIB) Por ejemplo si queremos hacer dos extracciones sucesivas de un mismo conjunto, podemos reponer el primer elemento antes de la segunda extracción, o no reponerlo. Si se lo repone, la probabilidad de um evento dado es la misma en ta primera y en la segunda extracción, mientras que si no se lo repone, la probabilidad en la segunda extracción está determinada por el resultado de la primera, Decimos entonoss que cuando se repone, las extracciones son independientes y cuando no se repone las extracciones son dependientes. Aplicación de probabilidades conidicionales: Relación entre el resultado de una prueba diagnóstica y la presencia 6 ausencia de una enfermedad. Las cuatro situaciones posibles en la aplicación de una prueba diagnóstica se representan en el siguiente tabla: Tabla 1 Resultado de la Verdadero diagnóstico pruebo Enfermo. Sano Verdaderos Positivos Falsos Positivos po (ve) A . Falsos Negativos Verdaderos Negativos ¡ Negativo 0 (Fm (VI) Para poder apreciar la calidad de una prueba diagnóstica, interesa saber con qué fuerza de- tecta la presencia de la enfermedad y cuánto se equivoca cuando afirma que el individuo tiene la enfermedad, Para ello tiene sentido definir dos cualidades inherentes a una prueba diagnóstica, Sensibilidad Es ta probabilidad de clasificar correctamente a un individuo enfermo, es decir, la probabili- dad de que, para un sujeto enfermo, se obtenga en la prueba un resultado positivo, La sensibliidad es, por lo tanto, la capacidad del test para detectar la en- fermedad, Es decir que la sensibilidad es la probabilidad de que el resultado del test sea positivo, sa- biendo que el individuo tiene la enfermedad: Sensibilidad == P(+/E)= VP/(VP+FN) De ahí que también ta sensíblildad se denomine muchas veces como la "fracción de verdade» ros positivos (FVP)”. Especificidad Es la probabilidad de clasificar correctamente a un individuo sano, es decir, la probabilidad de que para un sujeto sano se obtenga un resultado negativo. En otras palabras, se puede definir la especificidad como la capacidad para detectar a los sanos. Es decir que la sensibilidad es la probabilidad de que el test dé negativo siendo el individuo sano: Especificidad = P(-/ E)=VN/(FP+VN) De ahí que también sea denominada "fracción de verdaderos negativos (FVN)”. Elementos de Estadística 2010 Far. Es. Veterinarias (U. 8, 4.) Valor predictivo positivo: Es la probabilidad de que el individuo padezca realmente ta enfermedad sabiendo que ha obtenido un restiltado positivo en el test, El valor predictiva positivo puede estimarse, por tanto, a partir de la proporción de pacientes con un resultado positiva en la prueba que fi- nalmente resuitaran estar enfermos: VPP = P(E/+)=WP/(VP+FP) Valor predictivo negativo: Es la probabilidad de que un sujeto esté realmente sano siendo que el resultado del test re- suitó negativa, Se estima dividiendo el número de verdaderos negativos entre el total de pacientes con un resultado negativo en la prueba: VPP = PT /-)=4N/(VR+FM) EJEMPLO 4: Queremos evaluar la calidad del análisis clínico en la detección de cáncer de mama. Para ello se consideran las 2641 casos de consulta en un servicio de ginecología y patología mamaria de Capital Federal. Los resultados registrados se han tabulado a continuación: Resultado del. Resultado dela biopsia ¿ análisis clínico I Patología benigna : Total a Anormal + ! 268 a 08 Normal 1252 1738 Mi Total 2641 Sensibilidad= 635/1121 = 0,5664 Especificidad= 1252/1520 = 0,8237 Valor predictivo positivo= 635/903 = 0,7032 Valor predictivo negativos 1252/1738 = 0,7204 EJEMPLO 2: Un test de dlagnóstico tiene una probabilidad 0,9 de detectar la presencia de Escherichia coli, en caso de haberla (sensibilidad del test). Sí no está presente, detecta su áusencia con una probabilidad de 0,8 (especificidad del test). La probabilidad de que una muestra de agua contenga Escherichia cólí es 0,20 (prevalencia). 1- ¿Cuál es la probabilidad de que el test dé un resultado positivo? Consideremos una tabla similar a fa del ejemplo anterior: Bacteria Escherichia Coli presente | ausente Resultado del Positivo ml VP FP PP test diagnóstico | Negativo |. EN VN PN 0,20 0,80 1,00 Sabemos que la sensibilidad de la prueba es 0.9, lo que indica que: P(+/presente]= 0,9 Es declr que: VP/0,2 = 0,9 luego VP= 0,2*0,9 = 0,18) B Elerrtentos de Estadística 2010 Fac. Us. Veterinarias (U. B. A) Si A y B son dos sucesos no vacios, incluidos en un espacio muestral S, con p(A)= 0,40: p(B)= 0,30: PLAIB)=0,7 entonces: -(9) (F) A y B pueden ser o na independientes "(Yi (F) A y B son independientes -(9) (Fr A y B no son independientes e Según la teoría axiomática de probabilidades la prabal + tiene como dominio « tiens como Imagen... e cumple con la cantidad de ilidad es una función que: - axiomas. cuando . repelición/nes dal 7) Dados dos sucesos A y B no vacíos incluidos en un espacio muestral S, son la ocurrencia de uno no impide la, . del otra en experimento, 10 Elementos de Estadística 2010 Fac. Cs, Veterinarias (U. B. A) VARIABLE ALEATORIA DISTRIBUCIONES EN PROBABILIDAD “OBJETIVOS ESPECÍFICOS Y Comprender los conceptos de variable aleatoria, funciones de probabilidad y de distribución acumulada. Y Aplicar estos conceptos a la interpretación del comportamiento de tenómenos biológicos y conecer algunas distribuciones de probabilidad que los describen. Y Analizar distintos casos y calcular valores medios y de dispersión, Y Calcular las probabilidades de ocurrencia de resultados experimentales. * CONTENIDOS TEMÁTICOS Variable aleatoría: discreta y continua. Distribución de probabilidad, función de cuantía, densidad y distribución acumulada. Distribuciones de probabilidad, Esperanza y varianza. Propiedades de la esperanza y la varianza. Percentil. Distribuciones especiates: Bernoulli, Binomial, Normal, Normal estandarizada, t de Student y Ji-Cuadrada. * GLOSARIO Variable aleatoria. Funciones de probabilidad: función de cuantía, función de densidad, función de distribución acumulada. Percentiles. Esperanza matemática. Varianza. Distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Distribuciones particulares: Binomial, Normal, + de Student y Ji-Cuadrado. Definiciones y esquema de la unidad Variable aleatoria: Se llama variable aleatoria a una función cuyo dominio es el espacio muestral S y cuyo cadominio es si conjunto de números reales; es decir que asigna valores numéricos a cada uno de los puntos muestrales, Ejemplo: si consideramos el experimento aleatorio de seleccionar dos animales sin reposición del Siguiente conjurto de 25 perros gue fue dlasificado como indica el cuadro: Cachorro Adulto Negro 6 9 Blanco 2 8 El espacio muestral asociado podría expresarse: 3$=( (CN; CN), (CB; CB), (CN; CB), (CB; CN), (AN; AN), (AB; AB), (AN; AB), ((AB; AN), (AN; CN), (AB: CB), (AN; CB), (AB; CN), (CN; AN), (CB; AB), (CN; AB), (08; AN) 3 sobra este espacio muestral podríamos definir las siguientes variables ateatorias: X: número de cachorros extraídos Y: número de colores distintos de la extracción Veamos en algunos puntos muestrales qué valores toman las variables aleatorias definidas: XI(CN; CN] =2 X[(CN; AN)] = 1 XI(AS; AN) = 0 La variable aleatoria X toma los valores 0, 1 y 2. Esto se indica Rx =(0, 1, 23 Y((08; CB = 1 Y[(CB; AN) = 2 Rr=(0,23 11 Elementos de Estadística 2010 Faz. Cs. Veterinarias (U. BLA) Puede observarse que se trata de una función definida sobre el conjunto de todos los números reales, que es escalonada y creciente (o no decreciente). Para valores muy pequeños de la variable x tiende a cero y para vatores muy grandes de la variable X tiende a 4 » Percentí e: es el valor de la vartable (xa) que acumula una probabilidad “2”, simbólicamente PO a a Esperanza; E(X)= y PA) x, « La esperanza de una variable alegtoría es un promedio ponderado . m de los valores de la variable con su respectiva probabilidad. Interpretación del concepto de esperanza La esperanza de una variable aleatoria es el centro de gravedad de la función de probabilidad. Es decir que si imaginamos que en cada valor x, colocamos una masa equivalente a px(x), el punto de equilibrio del sistema es E(X), De esta forma EQ0 es una medida del "centro" de la distribución Si imaginamos que se esté desarrollando Un proceso aleatorio, este resultará en un número, luego en otro, luego en otro. Uno puede preguntarse se existe algún orden en esta aleatoriedad. Se ha demostrado que an: promedio las resultados de una variabie aleatoria varían alrededor de la espe- ranza. Por ejemplo si tiramos 600 veces un dado equilibrada y registramos el número de ases, el valor esperado es 100. Sin embargo cuándo liramos 600 veces el dado puede resultar que encontremos 98 o 303 ases, aunque siempre sucederá que el número de ases será cercano a 100. Propiedades de la esperanza 1) La esperanza de una variable aleatoria toma un valor dentro del recorrido de la variable, es decir que si as
(7 PO pro (7) pe” 14 Elementos de Estadística 2010 Fac. €s. Veterinarias (0, B. A) » Función de distribución acumulada [F(Gx)]: La Tunción de distribución acumulada Fl) de la variable aleatoria X se define como ta probabilidad de que X sea menor o igual que algún valor dado Xx. Simbólicamente: F(x,)=P(X £ x,) = fe E) ax Función de densidad Función de oistóbución 100) 0,15 fos 1. A "y 15.00 20,00 2500 20.08 25,04 10,09 15,04 x También se puede calcular la probabilidad de un intervalo utilizando el concepto de función de distribución que muchas veces la encontramos tabulada. Es decir que: i- PlasXsb)= EXbd-Eta) d- PU a) [AXE 10)-F,ta) =0 Observación: en un punto la probabilidad de una varlable aleatoria continua es siempre tero. e Esperanza: E(X)= | 10 (0) dx + Varianza: V(X)= EX ELOY) = EA) [ECO] Las definiciones de percentil, así como las propiedades de la esperanza y la varianza son las mismas que para el caso discreto. Distribuciones: Normal - Normal Estándar La variable aleatoria X tiene distribución normal de parámetros y a? (con 1e Ry a > 0) cuando su función de densidad es: £ Y Ge) et COM -00 EX < doo 1 EE Notación: X - N(u; 0%) se les X tiene distribución normal con parámetros y y a? 16 Elerrentos de Estadística 2010 Fac, Cs. Veterinarias (U. B, A) Representación gráfica de esta función de densidad Por ps, i Observaciones: + EL géfico de la función de densidad de la normai tiene forma de campana con eje de simetría la recta > =1: y los puntos de inflexión en x=p-0 yx= pro. + Et gráfico de la función de densidad de la normal es asiniótica respecto del eje de abscisas. + L.osparámetros de la normal indican: j, ta posición, y o? la dispersión. + La distribución normal es importante, no sólo porque hay variables naturales que siguen esta f(áj==2==0 2 con <= 1,25) -$(1,23)= 1 - 0,89435 = 0,10565 3- 40,38 < Z 51,25) = p(1,25)—¿(-0,38) = 0,89435 --0,35197 = 0,54288 Perezertiles de la distribución normal estándar: Llarriaremos percentil 1-a, y lo designaremos 2; ,, al valor de la variable N(0, 1) que deja a su izquierda un Areade 1-0, Progaedades de la distribución normat: » SM As Ya Es. NO) + SiZ-N0MD>o E(Z)=0 y VZ)=1 e Si X-Nao) » EX) =p y VO =ó. 47 Elementos de Estadística 2019 Fac. Es, Veterinarias (U, E, A) En este caso dispanemos solamente de la alternativa de la tabla de Chi cuadrado: PIZP+ ZA + ZA < 2,366) = Plg%s 02,366) = 0,5 Otservación: la tabla de Chi cuadrado que utilizamos tiene en los encabezados de las colummas jas grobal lades acumuladas a izquierda; en los encabezados de las filas los grados de fibertad de la «distribución y en el cuerpo los correspondientes valores de la variable. Distribución t-Student Características de la distribución ¿de Student Una variable aleatoria tiene distribución t de Student con n-1 grados de libertad cuando su función de densidad de probabilidad viene dada por: rr MEME MOS AO”, nar | aL ) El a) Se trata de una distribución continua b) Tiene forma acempanada, similar a la de la distribución normal, aunque con colas más pesadas; es decir acumuta mayor probabilidad en valores alejados del centro. €) No hay una distribución 1, sino una "familia" de distribuciones í, cada una con su tospectiva desvia- ciór: estándar, según tas grados de libertad 1, d) La distribución t tiene media cero, la curva de la función de densidad es simétrica respecto de la me- dia y se extiende desde -» hasta + 0. Su varianza es n/(n-2) para 1 > 2 y, cuando los grados de liber- tad son suficientemente grandes, la varianza tiende a 1. y la distribución se acerca a la normal están- dar. Otra manera de definir la distribución t de Student o, simplemente distribución t, es a partic de una función enla que participan dos variables aleatorias independientes, una variable aleatoria normal estándar y una vañable % (Chi cuadrado) con y grados de libertad, mediante la siguiente expresión: Ejemplo: a) Sea una variable aleatoria con distribución t de Student con 6 grados de libertad, queremos hallar el percentil 95. Es decir buscamos toos tal que Pít <= l,95) = 0,95 Dela lectura de la tabla surge que Loy = 1,943 bj Si queremos en cambio buscar el percentil 10, no encontraremos este vator tabulado en la tabla que manejamos, entonces debemos considerar la simetría de la distribución: es decir los =- tes0= -1,44. CUESTIONARIO 1) Indicar el tipo de variable aleatoria (D: discreta a C: continua) y la unidad experimental, para Cada una de las siguientes variables: a) X =”Número de alumnos en una comisión de Elementos de estadística” b) X ="Peso del cráneo de un animal” €) X= "Cantidad de dinero, en monedas, en un monedero” d) X "Producción de leche en un tambo” 19 Elementos de Estadística 2010 Fac. Cs, Vererinarias (U, E. AJ 2) Detfina función de cuantla, ejemplifique y calcule la función de distribución acumulada 3) Dado un grupo de siete perros con ciertas afcociones, se sabe que la probabilidad de que un tratamiento L sea efectivo es 0,85. Utilizando esta información: a) defina una variable con distribución Bisomial. Especifique dicha distribución, b) verifique los sopuestos teóricos en ESTE CASO, 4) Determinar el intervalo de definición para Fx. que la siguiente función sea una función de densidad de probabilidad. Bo Bho. $ a a ES x 3) Diga si los siguientes gráficos corresponden a una función de distribución acumulada para una variable aleatoria discreta. Justifique cada caso: FO) 6) Si una función de densidad es distinta de cero en el intervalo (2 ; 7), ¿puede ser que la P(X=3)=07 Justificar. 7) Scan las variables alearorias X1 = Nu, , 0%) y X= Nítiz , 02%). Establezca la relación de igualdad o desigualdad (< o >), según corresponda, entre las siguientes probabilidades: 2) PSX EURO) cnn P (1-01 Im). P(G
