GestiónAeronáutica:EstadísticaTeórica
FacultadCienciasEconómicasyEmpresariales
DepartamentodeEconomíaAplicada
Profesor:SantiagodelaFuenteFernández
EJERCICIOS RESUELTOS
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Cálculo de probabilidades y funciones de densidad en variables aleatorias bidimensionales, Ejercicios de Probabilidad
La solución de diversos ejercicios relacionados con el cálculo de probabilidades y funciones de densidad en variables aleatorias bidimensionales, incluyendo el cálculo de medias, funciones de densidad marginales y condicionadas, coeficiente de correlación y transformaciones de variables.
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 28
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Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
EJERCICIOS RESUELTOS
VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
b) Distribución marginal de la variable aleatoria X:
x (^) i pi (^) x. pi i (^)
2 xi
2 x. pi i (^)
0 1 8^0 0
1 3 8^ 3 8^1 3 8
3 1 8^ 3 8^9 9 8
1 12 8^3
Media:
4
X 10 i i i 1
E(X) x. p 1, 8
Varianza: (^)
2 2 2 X 20 Var(X) E(X ) E(X)
4 2 2 20 i i i 1
E(X ) x. p 3
2 2 2 2 (^) X Var(X) 20 E(X ) E(X) 3 1,5 0,75 x 0,75 0,
Distribución marginal de la variable aleatoria Y:
j y j p j j y. p
2 y (^) j
2 y. pj j
1 6 8^ 6 8^1 6 8
3 2 8^ 6 8^9 18 8
Media:
2
Y 01 j j j 1
E(Y) y. p 1, 8
Varianza: (^)
2 2 2 Y Var(Y) 02 E(Y ) E(Y)
2 2 2 02 j j j 1
E(Y ) y. p (^) 3
2 2 2 2 (^) Y Var(Y) 02 E(Y ) E(Y) 3 1,5 0,75 (^) Y 0,75 0,
c) Covarianza y coeficiente de correlación
La covarianza se define: 11 (^) XY XY Cov(X, Y) 11 10 . 01
donde
4 2
11 i j ij i 1 j 1
E(XY) x. y. p
Así pues,
11
con lo cual, XY 11 10 01 Cov(X, Y) . 2,25 1,5. 1,5 0
Señalar que la covarianza (^) XY Cov(X, Y) puede ser negativa, nula o positiva, siendo
una medida de la fuerza de la relación lineal entre X e Y.
El coeficiente de correlación lineal XY es un número abstracto (sin unidades) que
determina el grado en que las variables (X, Y) están relacionadas linealmente.
Se define:
XY XY x. Y
con lo cual,
XY XY x Y
Denotar que 1 (^) XY 1. Cuando XY 0 no existe relación lineal entre las variables X e
Y, diciendo que están incorreladas.
d) Para que X e Y sean independientes se tiene que verificar: p (^) ij p. pi j (x , y )i j
Y
X
1 3 pi^
0 p 11 ^0 1 8^ p 1 1 8
1 3 8^0 3 8
2 3 8^0 3 8
p j p (^) 1 6 8 2 8 (^1)
11 1 1
p 0. p .p 8 8
Las variables X e Y NO son independientes
Señalar que cuando dos variables X e Y son independientes, es decir, cuando pij p. pi j
(x , y ) i j , la covarianza es cero. El caso contrario no se verifica. Es decir:
X e Y independientes 11 Cov(X, Y) 0
11 Cov(X, Y) 0 X e Y independientes
e) Distribución condicionada de X a Y 3 : (^)
P X (^) Y (^3) P X / Y 3 P(Y 3)
Y
X
1 3 pi^ X P(X / Y^ 3)
0 0 1 8^ 1 8^0
1 3 8^0 3 8^1
2 3 8^0 3 8^2
p j 6 8 2 8 (^1 )
En general,
(^) j
j j
P X Y y P X / Y y P(Y y )
Ejercicio 2.- Sea una variable aleatoria bidimensional con distribución de probabilidad
Y
X
1 1 6^ 1 3
2 1 12^ 1 4
Se pide:
a) ¿Son X e Y independientes?
b) Hallar las medias y desviaciones típicas de X e Y
c) Hallar las probabilidades: P X 2 ; Y (^0) P X (^2) P Y (^0)
d) Hallar el coeficiente de correlación
Solución:
a) Para analizar si X e Y son independientes hay que hallar las distribuciones marginales
de X e Y, y ver si verifica que pij p. pi j (x , y )i j
Y
X
1 1 p^ i
2 1 12^ 1 4^ 1 3
p j 1 3 2 3 (^1)
11 1 1
p p. p. 6 2 3
21 2 1
p p. p. 12 3 3 9
31 3 1
p p. p. 12 6 3 18
12 1 2
p p. p. 3 2 3
22 2 2
p p. p. 4 3 3 9
32 3 2
p p. p. 12 6 3 9
Luego las variables X e Y no son independientes.
b) Para hallar las medias y desviaciones típicas de X e Y hay que considerar las
distribuciones marginales:
Distribución marginal de la de la variable aleatoria X
X xi i p x. pi i^
2 i x
2 i i x. p
1 1 2^ 1 2^1 1 2
3 1 6^ 3 6^9 9 6
1 10 6^ 20 6
Media:
3
10 X i i i 1
E(X) x. p 6
3 2 2 20 i i i 1
E(X ) x. p 6
Varianza: (^)
2 2 2 2 20 X
Var(X) E(X ) E(X) 6 6 36 9
Desviación típica: (^) X
Distribución marginal de la variable aleatoria Y
Y yj p j y. pj j
2 y (^) j
2 y. pj j
1 1 3^ 1 3^1 1 3
1 2 3^ 2 3^1 2 3
1 1 3^1
Media:
2
01 Y j j j 1
E(Y) y. p 3
(^)
2 2 2 02 j j j 1
E(Y ) y. p (^) 1
Varianza: (^)
2 2 2 2 02 Y
Var(Y) E(Y ) E(Y) 1 3 9
Desviación típica: (^) Y
c) Probabilidades: P X 2 ; Y (^0) P X (^2) P Y (^0)
Ejercicio 3.- Sean (X, Y) los paquetes diarios que venden dos operadores de viajes,
cuya distribución de probabilidad conjunta se refleja en la tabla:
Y
X
Hallar la media, varianza y desviación típica de las variables: X, Y, X Y, X Y
Solución:
Y
X
0 1 2 pi^ x. pi i^
2 x. pi i (^)
j p 0,30^ 0,40^ 0,30^1 0,90^ 1,
y. pj j 0 0,40 0,60 1
2 j j y. p 0 0,40^ 1,20^ 1,
Distribución marginal de la variable X:
Media:
3
10 X i i i 1
E(X) x. p (^) 0,
(^)
3 2 2 20 i i i 1
E(X ) x. p (^) 1,
Varianza:
2 2 2 20 (^) X Var(X) 20 10 1,5 0,9 0,
Desviación típica: X 0,69 0,
Distribución marginal de la variable Y:
Media:
3
01 Y j j j 1
E(Y) y. p (^) 1
3 2 2 02 j j j 1
E(Y ) y. p (^) 1,
Varianza:
2 2 2 02 (^) Y Var(Y) 02 01 1,6 1 0,
Desviación típica: Y 0,6 0,
Distribución de la variable (X Y):
Media: (^) X Y E(X Y) E(X) E(Y) 0,9 1 1,
Se tiene:
3 3
X Y i j ij i 1 j 1
E(X Y) (x y ).p
Y
X
X Y 0. 0,15^ 1. 0,15^ 2. 0,
Varianza:
2 X (^) Y Var(X Y) Var(X) Var(Y) 2 Cov(X, Y) X e Y no independientes
i j ij x. y. p
Y
X
3 3
11 i j ij i 1 j 1
E(XY) x. y. p 1
Covarianza: XY 11 10 01 Cov(X, Y) . 1 0,9.1 0,
2 X (^) Y Var(X Y) Var(X) Var(Y) 2 Cov(X, Y) 0,69 0,6 2.0,1 1, 49
Se tiene: (^)
2 2 2 X Y E (X^ Y)^ E(X^ Y)
^
Y
X
2 E (X Y) 0. 0,15 1. 0,15 4. 0,
2 2 2 2 X Y E (X^ Y)^ E(X^ Y)^ 5,1^ 1,9^1 , 49
^
x^ Y^
Distribución de la variable (X Y):
Media: X Y
E(X Y) E(X) E(Y) 0,9 1 0,
2 X Y Var(X Y) Var(X) Var(Y) 2 Cov(X, Y) 0,69 0,6 2.0,1 1,
2
f(x, y) 2 f(x / y) 0 y 1 0 x 1 f (y) 2 2 y
1
f(x, y) 2 f(y / x) 0 x 1 0 y 1 f (x) 2 x
Ejercicio 5.- Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad:
1 y x ; 0 x 1 f(x, y) 0 restantes valores
a) Comprobar que f(x, y) es función de densidad
b) Hallar las medias de X e Y
c) Hallar las probabilidades:
P X ; Y 0
y
P X ; Y
Solución:
a) f(x, y) es función de densidad si se verifica: f(x, y) dx dy 1
1 x 1 x 1 1 x 2 1
x (^0) 0 x 0 x 0 0
f(x, y) dx dy dx dy dy dx y dx 2 x dx x 1
^
en consecuencia, f(x, y) es función de densidad.
b) Para hallar las medias de X e Y hay que calcular primero las funciones de densidad
marginales:
x x (^1 0) x x
f (x) f(x, y) dy dy y 2 x 0 x 1
1 1 y y (^2 ) 1 y y
dx x 1 y 1 y 0
f (y) f(x, y) dx
dx x 1 y 0 y 1
^ ^ ^ ^ ^
1 1 3
10 x 1 0 0
x 2 E(X) x f (x) dx x.2 x dx 2 3 3
0 1 0 1
01 y 2 2 2 1 0 1 0
0 1 2 3 0 2 3 1 2 2
(^1 0 1 )
E(Y) y f (y) dy y f (y) dy y f (y) dy y (1 y) dy y (1 y) dy
y y y y 1 1 1 1 (y y ) dy (y y ) dy 0 2 3 2 3 2 3 2 3
(^)
c) Probabilidades:
P X ; Y 0
y
P X ; Y
1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 2 1 2 0 x 0 x 0 x (^0 0 )
1 x 1 P X ; Y 0 f(x, y) dx dy dy dx y dx x dx 2 2 8
^ ^ ^
^ ^ ^ ^
1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2
P X ; Y f(x, y) dx dy dy dx y dx dx x 2 2 2 2
^
^ ^ ^ ^
Ejercicio 6.- La función de densidad asociada a la emisión de billetes de una compañía
área es:
x y 0 x 1 0 y 1 f(x, y) 0 en el resto
a) Hallar la función de distribución
b) Hallar las funciones de densidad marginales de X e Y
c) ¿Son X e Y independientes?
Solución:
a) (^)
x y x y x y x 2 y y 0 (^0 0 0 0 0 )
v F(x, y) f(u,v) dv du (u v) du dv (u v) dv du u v du ^2
^
^
^
x 2 2 x 2 2 2 x (^2 ) 0 (^0 )
y u y y x y x 1 u y du y u (y x y x) 0 x 1 0 y 1 2 2 2 2 2 2
En consecuencia,
2 2
2 1
2 2
0 x 0 ó y 0
(y x y x) 0 x 1 0 y 1 2
1 F(x, y) (^) F (x) (x x) 0 x 1 , y 1 2
1 F (y) (y y ) 0 y 1 , x 1 2
1 x 1 , y 1
^ ^
^ ^ ^ ^
^
( x y ) x y x y x y x x (^1 ) 0 0 0
f (x) f(x, y) dy e dy e .e dy e e dy e e e .( 1) e
^
( x y ) y x y x y x y y (^2 ) 0 0 0
f (y) f(x, y) dx e dx e .e dx e e dx e e e .( 1) e
^
Adviértase que X e Y son independientes al verificarse f(x, y) f (x). f (y) 1 2
( x y) x y f(x, y) e f (x).f (y) 1 2 e .e
X e Y independientes La covarianza
11 xy
c) Funciones de densidad condicionadas
( x y ) x y^1 2
f(x, y) e f(x / y) e f (x) f (y) e
al ser X e Y independientes
( x y ) y x^2 1
f(x, y) e f(y / x) e f (y) f (x) e
al ser X e Y independientes
d) El coeficiente de correlación 11 xy x. y
x x x x x 10 x (^1 0 ) 0 0
E(X) x.f (x) dx x.e dx x.e e dx x.e e 1
^
^ ^ ^
^ ^ ^
y y y y y 01 y (^2 0 ) 0 0
E(Y) y. f (y) dy y.e dy y.e e dy y.e e 1
^
^ ^ ^
Nota:
x x x x x 0 0 0 0
x.e dx x.e e dx x.e e
^
donde se ha realizado el cambio x x x 0 0
u x du dx
dv e dx v e dx e
^
^
( x y) x y 11 0 0 0 0 0 0
E(X. Y) x. y.f(x, y) dx dy x. y.e dx dy x.e dx. y.e dy 1
2 2 2 x 2 x x (^20 1 ) 0 0
E(X ) x. f (x) dx x .e dx x .e 2. x.e dx
^
2 x x x 2 x x x 0 0 0
x .e 2 x.e e x .e 2. x.e 2.e 2
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Análogamente,
2 02
E(Y ) 2
2 2 x 20 10 2 1 1 x 1 1
2 2 y 02 01 y
covarianza: 11 xy 11 10. 01 1 1.1 0
coeficiente de correlación
11 xy x y
Las variables son incorreladas
Ejercicio 8.- La venta en un mercado de abastos lleva asociada la función:
x y k 1 0 x 1 1 y 1 f(x, y) 2
0 en el resto
^ ^ ^ ^ ^
a) Hallar k para que sea función de densidad
b) Hallar la función de distribución
c) Funciones de densidad marginales y condicionadas
d) Se considera la transformación Z X Y y T X 2 Y, hallar la función de densidad
de la variable (Z,T)
Solución:
a) f(x, y) 0 k 0
Para que f(x, y) sea función de densidad debe verificarse que f(x, y) dx dy 1
1 1 1 1 1 2 1 1 1 (^0 1 0 1 0 )
x y x y y k 1 dx dy k 1 dy dx k x y dx 2 2 4
(^)
^
^
^
1 1 0 0
2k dx 2k x 2k 1 k 2
La función de densidad
x y 2 0 x 1 1 y 1 f(x, y) (^4)
0 en el resto
^ ^ ^ ^
b) Función de distribución
x y
F(x, y) P(X x, Y y) f(u,v) dv du
^
x y x y x y
0 1 0 1 0 1
u v 2 u v 2 1 F(x, y) dv du dv du u v 2 dv du 4 4 4
^ ^
2 2
2
0 x 0 ó y 1
x (y 1) x (y 1) 0 x 1 1 y 1 16 2
F(x, y) x 0 x 1 , y 1
y 8 y 7 1 y 1 , x 1 16
1 x 1 , y 1
^ ^
^
c) Las funciones de densidad marginales se pueden hallar a partir de la función de
distribución conjunta:
1 1
F (x) f (x) (x) 1 x x
2 2 2
F (y) y 8 y 7 y 4 f (y) y y 16 8
^
o bien, a partir de la función de densidad:
1 1 2 1 (^1 ) (^1 )
x y 1 x y 1 f (x) f(x, y) dy dy y 1 4 2 4 2 2
(^)
^
1 2 1 1 (^2 ) (^0 )
x y 1 y x 1 y 4 f (y) f(x, y) dx dx x 4 2 4 2 2 8
^ ^
^
Funciones de densidad condicionadas:
2 1
f(x, y) (x y 2) 4 x y 2 f(y / x) f (y) f (x) 1 4
1 2
f(x, y) (x y 2) 4 2 x y 4 f(x / y) f (x) f (y) (y 4) 8 y 4
Las variables X e Y no son independientes al ser f(x, y) f (x). f (y) 1 2
d) En la transformación
Z X Y
T X 2 Y
^ ^
^
z z
(z,t) x^ y^1 J 3 0 (x, y) t t 1 2
x y
^ ^
por lo que existe la función de densidad g(z, t)
Despejando (X,Y) en la función de (Z,T) se calcula el jacobiano (^1)
x x
(x, y) z^ t J (z,t) y y
z t
^
2 Z T
X
Z X Y 2 Z 2 X 2 Y 3
T X 2 Y T X 2 Y Z T
Y
^ ^ ^ ^ ^
(x, y) 2 3^ 1 3 1 J (z,t) 1 3 1 3 3
La función de densidad g(z, t) f h (z, t), h (z, t). J 1 2 1
1
2 z t h (z, t) 3
2
z t h (z, t) 3
0 x 1 0 2 z t 3
1 y 1 3 z t 3
^ ^ ^ ^ ^ ^
2z t z t
3 3 1 (2z^ t)(^ z^ t) g(z, t). 4 3 108
^ ^
^ ^
x y 2 0 x^1
f(x, y) 4 1 y 1
0 en el resto
^ ^
(2 z t)( z t)^0 2 z^ t^3
g(z,t) 108 3 z t 3
0 en el resto
^ ^ ^
Ejercicio 9.- Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con función de probabilidad
i j i j ij
c x y x 2, 1, 0,1,2 , y 2, 1, 0,1, p 0 en otro caso
a) Calcular el valor de la constante c
b) P X 0, Y (^2)
c) P X (^1)
d) P X Y 1
Solución:
a) Para determinar el valor de la constante c se elabora la tabla, siendo ij i j p c x y
Y
X
-2 -1 0 1 2 pi^
-2 4c 3c 2c c 0 10c
-1 3c 2c c 0 c 7c
0 2c c 0 c 2c 6c
1 c 0 c 2c 3c 7c
2 0 c 2c 3c 4c 10c
p j 10c 7c 6c 7c 10c 40c
5 5
ij i 1 j 1
p 40c 1 c ^40
i i j ij j
1 x^ 2,^ 1, 0,1, x y p 40 y^ 2,^ 1, 0,1,
0 en otro caso
^
b) (^)