Variables Aleatorias Bidimensionales: Concepto, Funciones y Propiedades, Apuntes de Estadística Empresarial

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TEMA 7

VARIABLES ALEATORIAS

BIDIMENSIONALESBIDIMENSIONALES

PROGRAMA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVATema 1:^

Análisis estadístico unidimensional Tema 2:^

Análisis estadístico bidimensional Tema 3:^

Números índices Tema 3:^

Números índices Tema 4:^

Introducción a las series temporales TEORÍA DE LA PROBABILIDADTema 5:^

Teoría de la probabilidad. Aspectos generales Tema 6:^

Variables aleatorias unidimensionales Tema 7:^

Variables aleatorias bidimensionales

2

Tema 7:^

Variables aleatorias bidimensionales Tema 8:^

Características de las distribuciones de probabilidad Tema 9:^

Función característica Tema 10:

Distribuciones de probabilidad discretas y continuas Tema 11:

Convergencia

ESTRUCTURA^ 1- Concepto de variable aleatoria bidimensional2- Función de distribución conjunta3- Funciones de distribución marginales

ESTRUCTURA DEL TEMA

4-Funciones de distribución condicionadas5- Independencia

1-CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL1-CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Hemos estudiado distribuciones de probabilidad para una VA Sin embargo, a menudo nos interesa más de una variable en unSin embargo, a menudo nos interesa más de una variable en un experimento aleatorio.Por ejemplo, en la relación existente entre la renta de unadeterminada familia y el consumo de un determinado producto.Podemos definir

ξ^ = renta ,

y^ η^ = consumo.

Una v.a. bidimensional es el vector aleatorio

(ξ^ ,η )^ cuyas

componentes son dos variables aleatorias definidas en el espacioprobabilizado

(E,Ω,P

).

2-FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL CONJUNTA2-FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL CONJUNTA F(x; y) =^

P(ξ ≤^ x ;

η ≤^ y)^

Estando el campo de variaciónde ambas variables aleatorias formado por el intervalo

(−∞;∞)

Propiedades: 1.^ F(−∞

;−∞) =^ 0.

2. F(∞;∞)=

formado por el intervalo

(−∞;∞)

3. F(x;−∞) =

P(ξ ≤^ x;

η < −∞) =

4. F(−∞; y

) =^ P(ξ < −∞

;η ≤^ y)=^

5. F(x;∞) =

P(ξ ≤^ x^

;η < ∞ ) =

F(x)ξ^

6. F(∞; y

) =^ P(ξ < ∞

;η ≤^ y) =

F^ (y)η^

7.^ F(x;^ y

)^ es monótona no decreciente:

Función de distribuciónmarginal de

ξξξξ Función de distribuciónmarginal de

ηηηη

7.^ F(x;^ y

)^ es monótona no decreciente: si x< x^12

F(x; y) ≤^1

F(x; y^2

y si y< y^1

2

F(x ; y) ≤^1

F(x ; y^2

Las variables aleatorias bidimensionales presentan dos tipos dedistribuciones^ MARGINALES^ CONDICIONADAS

Surgen al ignorar una delas dos v.a. Surgen al supeditar el

CONDICIONADAS

Surgen al supeditar el comportamientoprobabilístico de una v.a.a la otra

3-FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN MARGINALES3-FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN MARGINALES La de^ ξ: A continuación concretaremos para el caso discreto y continuo

A) VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL DISCRETA Aquélla constituida por dos v.a. que siguen una distribución discretaLa correspondiente función de cuantía es: P(ξ =^ xi^

;^ η =^ yj) = pij De modo que:Las probabilidades marginales son las siguientes:^ La de^ ξ:^ La de^ η:

B) VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL CONTINUA Aquélla cuya función de distribución es continua y además susegunda derivada existe y es continua.f(x,y): Función de densidad conjunta de la v.a. bidimensional Ejemplos:Ejemplos:

4-FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN CONDICIONADAS4-FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN CONDICIONADAS A) CASO DISCRETO

B) CASO CONTINUO

Si el suceso condicionante es del tipo (a <

ξ <^ b)