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Tipos de funciones
Clasificación de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + a 2 x³ +··· + an x n
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Las principales son:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
Funciones constantes
La función constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:
x = K
Función lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Ejemplos de funciones afines
Representa las funciones:
1 y = 2x - 1
x y = 2x- 1
0 - 1
1 1
2 y = -¾x - 1
x y = - ¾x- 1
0 - 1
4 - 4
Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx +c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
- Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
- Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x 1 , 0) y (x2 , 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x 1 , 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
Traslaciones de parábolas
Construcción de parábolas a partir de y = x ²
Partimos de y = x²
x y = x²
1. Traslación vertical
y = x² + k
Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.
Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.
El vértice de la parábola es: (0, k).
El eje de simetría x = 0.
y = x² +2 y = x² −
2. Traslación horizontal
y = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.
Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.
El vértice de la parábola es: ( −h, 0).
El eje de simetría es x = −h.
y = (x + 2)²y = (x − 2)²
Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.
Traslaciones de hipérbolas
Las hipérbolas f(x)=
son las más sencillas de representar.
Sus asíntotas son los ejes.
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, f(x)=
se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0, f(x)=
se desplaza a la izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0, f(x)=
se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
Función radical de índice impar
El dominio es.
Función radical de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
