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Resumen sobre
las funciones
Debido a las inquietudes recibidas y a la cantidad de preguntas
realizadas a nuestro Repasador Virtual sobre el tema Funciones, nuestra
empresa CINESOFT para colaborar con tu preparación al examen de
ingreso de Matemática a la Educación Superior, ha elaborado este
resumen.
En nuestro portal CubaEduca en la página matematica.cubaeduca.cu
aparecen ya desarrollados en diferentes módulos, los temas de cada una
de las funciones con ejemplos resueltos, ejercicios interactivos y tareas.
En este tema es importante que sepas:
- Aplicar el concepto de función a ejercicios de formato diverso.
- Dada la ecuación de una función, esbozar la gráfica y decir las
propiedades.
- Dada la representación gráfica de una función, escribir su ecuación
y decir las propiedades.
- Calcular la inversa de una función.
- Determinar la función compuesta entre dos funciones.
Además debes saber calcular valores funcionales y verificar si
determinados pares pertenecen a las funciones.
Este material se ha elaborado con premura, para ponerlo a tu
disposición. Rogamos nos disculpes cualquier imprecisión y la hagas
llegar a nosotros para hacer la corrección inmediatamente.
Esperamos que te sea útil para lograr una mejor preparación.
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QuédateEnCasa PrepárateEnCasa
Autores: MSc. Jesús Cantón Arenas
MSc. Mirta Capote Jaume
Resumen sobre funciones
Definición 1: Una función f es una correspondencia entre dos conjuntos A y B,
que a cada elemento xA se le asocia un único elemento yB.
El conjunto A se denomina conjunto de partida y es el dominio de la función.
El conjunto B es el conjunto de llegada.
El elemento de B, que corresponde a un elemento x de A, se llama imagen de
x y se denota f (x). El conjunto de todas las imágenes es la imagen de la
función.
A x se le llama variable independiente y la y , variable dependiente.
Definición 2: Una función f: X Y es un conjunto de pares ordenados (x ; y)
tal que cada xX aparece como la primera coordenada de solo un par
ordenado.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES
Dominio: Desde el punto de vista analítico, es el conjunto de valores
admisibles para la variable independiente (x), o sea, todos los valores que
puede tomar dicha variable.
Desde el punto de vista gráfico podemos analizar el dominio mirando el
comportamiento de la representación gráfica de la función respecto al eje “x”, o
sea, si cubre todo el eje o solo una parte de él. Esto se hace proyectando cada
punto de la gráfica sobre el eje “x”.
Imagen: Desde el punto de vista analítico, es el conjunto de valores
admisibles para la variable dependiente (y), o sea, todos los valores que
puede tomar dicha variable, que se corresponden con elementos de del
conjunto de partida.
Desde el punto de vista gráfico podemos analizar la imagen mirando el
comportamiento de la representación gráfica de la función respecto al eje “y”, o
sea, si cubre todo el eje o solo una parte de él. Esto se hace proyectando cada
punto de la gráfica sobre el eje “y”.
Cero: Desde el punto de vista analítico, es el valor del dominio ( x ) cuya
imagen ( y ) es igual a cero.
Por lo tanto se calcula:
- Sustituyendo en la ecuación la variable y por cero.
- Resolviendo la ecuación planteada.
Inyectiva: Una función es inyectiva desde el punto de vista gráfico, si al
trazar rectas paralelas al eje “x” cortan a la gráfica en un único punto.
Analíticamente, una función es inyectiva si elementos diferentes del
dominio, tienen imágenes diferentes., o sea, x 1
x 2
, entonces f (x 1
) f (x 2
También se puede expresar que, para dos valores iguales de la imagen le
corresponden valores iguales del dominio, o sea, a cada valor de la imagen
corresponderá solo un valor del dominio.
Si una función f es inyectiva, entonces tiene inversa.
Para hallar la inversa f
- 1
de una función f debes realizar dos pasos:
- Despejar la variable x en la ecuación de la función.
- Cambiar las variables, o sea, en el lugar de x poner y, mientras que en el
lugar de la y colocar x.
Y se cumple que:
Si f es una función inyectiva con dominio A e imagen B, entonces la función
inversa f
- 1
tiene dominio B e imagen A y se define por
f
- 1
(y) = x cuando f (x) = y, para todo yB.
Es decir: Dom( f
- 1
) = Im ( f ) y Im( f
- 1
) = Dom ( f )
La gráfica de f
- 1
es simétrica de la gráfica de f respecto a la recta y = x.
Existen otras propiedades que son específicos de algunas funciones, las
cuales se relacionan a continuación:
Vértice: Es el punto de coordenadas V(x v
; y v
) de la función donde su gráfica
cambia de monotonía.
Valor máximo (mínimo): Es el mayor (menor) valor que toma la imagen (y)
de la función.
Ecuación del eje de simetría: para las funciones simétricas es la ecuación
de la recta que divide a su gráfico en dos partes iguales y se puede escribir de
dos formas: x – a = 0 o también x = a, donde a es el valor de x por donde pasa
la recta.
Ecuación de la asíntota: La asíntota es una recta a la cual la gráfica se
acerca pero no llega a tocar. Si la asíntota es vertical su ecuación es x = a,
donde a es el valor de x por donde pasa la recta y si la asíntota es horizontal,
su ecuación es y = b, donde b es el valor de y por donde pasa la recta.
Función compuesta
Para hallar la función compuesta (fog)(x) o también fg(x) debes:
- Sustituir la función interna g en la x de la función externa f.
- Realizar las operaciones posibles.
El dominio de una función compuesta es la intersección del dominio de la
función interna g y el dominio de la función resultante (fog)(x).
Comentarios:
La función lineal constante tiene como imagen un único elemento, el valor
de n.
La función lineal:
- tiene un cero si es de la forma y = mx + n, con m,n 0 o y = mx, con m 0;
o sea, si su gráfica está inclinada respecto al eje “x “.
- no tiene cero si es de la forma y = n, con n 0; o sea, si su gráfica es
paralela al eje “x “ y no coincide con dicho eje.
- tiene infinitos ceros si es de la forma y = 0; o sea, si su gráfica coincide con
el eje “x “.
La función lineal siempre interseca al eje “y “.
La función lineal:
- es creciente si m > 0 - es decreciente si m < 0 - es constante si m = 0
Para escribir los signos se toma como referencia el cero. Cuando no tiene
cero, es positiva, si n > 0, negativa si n < 0.
La función lineal es impar cuando tiene la forma y = mx (m 0) y es par si
es de la forma y = n, en los demás casos no es par ni impar.
La función inversa de una función lineal es también una función lineal.
La función lineal es inyectiva, excepto cuando tiene la forma y = n, donde la
recta es paralela al “x”.
Cómo esbozar el gráfico de una función lineal
Ejemplo:
a) y = 2x + 6
Se necesitan al menos dos puntos, los más cómodos son
los interceptos con los ejes:
Intercepto con “x” (cero): 2x + 6 = 0 x = – 3.
Intercepto con “y” (valor de n): y = 6
b) y = 3x
Intercepto con “x” (cero): 3x = 0 x = 0.
Intercepto con “y” (valor de n): y = 0
En este caso coinciden, para dar mayor precisión
a la gráfica se halla al menos otro par.
Para x = 4, y = 3x = 3.4 = 12.
c) y = 2.
Intercepto con “x” (cero): no tiene
Intercepto con “y” (valor de n): y = 2
En este caso la función es constante y su gráfica
es una recta paralela al eje “x”.
Comentario:
La ecuación de una función cuadrática se expresa de dos formas:
- y = ax
2
- bx + c, aquí la abscisa del vértice se halla por la fórmula xv =
a
b
y la ordenada del vértice se calcula sustituyendo la xv en la ecuación. Además
el valor de c es el intercepto de la gráfica con el eje “y”.
- y = (x + d)
2
- e, que nos muestra el desplazamiento de la parábola en
ambos ejes. En esta forma las coordenadas del vértice son V( – d ; e).
Para escribir la imagen de esta función se toma como referencia la “y” del
vértice y siempre se incluye dicho valor en el intervalo:
y y v
, si la gráfica abre hacia arriba o y y v
, si abre hacia abajo.
Para calcular los ceros debes resolver una ecuación cuadrática
factorizando o aplicando la fórmula general, por lo que la parábola puede tener
dos ceros, uno o ninguno.
Para escribir la monotonía se toma como referencia la “x” del vértice y se
incluye en ambos intervalos.
Para escribir los intervalos de los signos se toman los ceros como referencia
y nunca se incluyen en los intervalos.
Esta función no es monótona, pues cambia de monotonía y no es inyectiva,
a no ser que se restrinja su dominio.
Es par si el vértice es un punto del eje “y “, o sea, si la ecuación tiene la
forma y = ax
2
- c, en caso contrario no es par ni impar.
La parábola es simétrica respecto a la recta x = xv, que es su eje de
simetría. Por ello, los ceros deben estar a la misma distancia de la abscisa del
vértice.
Cómo esbozar el gráfico de una función cuadrática
Ejemplo:
a) y = x
2
- 6x – 7 ; a = 1 ; b = 6 ; c = – 7
Para esbozar dicho gráfico necesitas:
- Las coordenadas del vértice.
xV = −
𝒃
𝟐𝒂
𝟔
𝟐.𝟏
yV = ( – 3)
2
V( – 3 ; – 16)
- Los ceros. x
2
(x + 7)(x – 1) = 0
x = – 7 o x = 1
b) y = – x
2
- 2 x ; a = – 1 ; b = 2 ; c = 0
- Las coordenadas del vértice. xV = −
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
𝟐.(−𝟏)
V(1 ; 1) y V
2
- Los ceros. – x
2
x( – x + 2) = 0
x = 0 o x = 2
c) y = x
2
- 2x + 5 a = 1 ; b = 2 y c = 5
- Las coordenadas del vértice. xV = −
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
𝟐.𝟏
V( – 1 ; 4) y V
2
- Los ceros. x
2
D = b
2
- 4ac = 2
2
d) y = (x – 1)
2
- Las coordenadas del vértice: V(1 ; – 4)
Cuando la ecuación tiene esta forma el vértice
se halla visualmente: V( – d ; e).
- Los ceros.
(x – 1)
2
- 4 = 0 (x + 1 )(x – 3) = 0
x
2
- 2x + 1 – 4 = 0 x = – 1 o x = 3
x
2
- 2x – 3 = 0
Comentario:
Para escribir la imagen de esta función se toma como referencia la “y” del
vértice (valor de b) y siempre se incluye y y v
si la gráfica abre hacia arriba y
o y yv, si abre hacia abajo.
Para calcular los ceros debes resolver una ecuación modular, para ello:
- transpones al otro miembro el término que está fuera del módulo ( b ),
y eliminas el módulo formando dos ecuaciones: x + a = b
- Si el signo delante del módulo coincide con el del término que está
fuera, la función no tiene ceros. Ejemplo: y = x + 2 + 1, ya que
conduce a x + 2 = – 1 y el módulo de una cantidad nunca dará como
resultado un número negativo.
Esta función no es monótona, pues cambia de monotonía y no es inyectiva,
a no ser que se le restrinja su dominio
Para escribir los signos se toma como referencia a los ceros, que no se
incluyen en los intervalos.
Es par si el vértice es un punto del eje “y “, o sea, si la ecuación es de la
forma y = ax + c , en caso contrario no es par ni impar.
Cómo esbozar el gráfico de una función modular
Ejemplo:
a) y = x – 4 – 1
Para esbozar dicho gráfico necesitas:
- Las coordenadas del vértice. V( 4 ; – 1)
- Los ceros.
x – 4 – 1 = 0
x – 4 = 1
x – 4 = 1 o x – 4 = – 1
x = 5 o x = 3
b) y = – x + 2 + 3
- Las coordenadas del vértice. V( – 2 ; 3 )
- Los ceros. - x + 2 + 3 = 0
x + 2 = 3
x + 2 = 3 o x + 2 = – 3
x = 1 o x = – 5
c) y = x + 5
- Las coordenadas del vértice. V( 0 ; 5)
- Los ceros.
x + 5 = 0 No tiene ceros
x = – 5 imposible
Comentario:
Esta función tiene dos asíntotas, una vertical y otra horizontal, por lo que en
el dominio y la imagen se excluyen siempre estos valores.
Si la gráfica de la función original se desplaza solo en el sentido del eje “x “,
no tiene cero.
Si la gráfica de la función original se desplaza solo en el sentido del eje “y “,
no tiene intercepto con el eje de las ordenadas.
Esta función es decreciente a ambos lados de su asíntota vertical, si la
fracción es positiva y creciente a ambos lados de su asíntota vertical si es
negativa.
Para escribir los signos, se toma como referencia el cero y la asíntota vertical
y en ningún caso admite el signo igual.
La función original es impar, cuando se desplaza no es par ni impar.
La función inversa de esta función también es una función de
proporcionalidad inversa.
La asíntota vertical es una recta que corta al eje “x” , luego su ecuación es
x = a y la horizontal corta al eje “y” , luego es y = b.
Cómo esbozar el gráfico de una función de
proporcionalidad inversa
Ejemplo:
a) y =
𝟏
𝒙 − 𝟑
Para esbozar dicho gráfico necesitas:
- Las coordenadas del punto
característico. (3 ; – 1)
- Las asíntotas.
Asíntota vertical: x = 3
Asíntota horizontal: y = – 1
- El cero.
𝟏
𝒙 − 𝟑
− 𝟏 = 0 x – 3 = 1
𝟏
𝒙 − 𝟑
= 1 x = 4
b) y =
𝟒
𝒙 + 𝟏
- Las coordenadas del punto característico. ( – 1 ; 0 )
- Las asíntotas.
Asíntota vertical: x = – 1
Asíntota horizontal: y = 0
- El cero. Para mayor precisión hallas
𝟒
𝒙 + 𝟏
= 0 el intercepto con “y”:
4 = 0(x + 1) y =
𝟒
𝟎 + 𝟏
4 0 No tiene cero
c) y = –
𝟏
𝟑𝒙 + 𝟑
3x + 3 = 0 3x = – 3 x = – 1
- Las coordenadas del punto característico.
- Las asíntotas.
Asíntota vertical: x = – 1
Asíntota horizontal: y = 1
- El cero
𝟏
𝟑𝒙 + 𝟑
𝟏
𝟑𝒙 + 𝟑
= 1 3x + 3 = 1 x = −
𝟐
𝟑
Comentarios:
Su dominio e imagen son los reales.
Esta función siempre tiene cero y siempre corta al eje “y”.
Para los signos se toma como referencia su cero.
Las funciones sin desplazamiento, o sea, las originales, son impares, las
desplazadas no son pares ni impares.
La inversa de una función cúbica es una función raíz cúbica.
Es creciente si delante del término al cubo hay un signo más y decreciente,
si hay un menos.
Cómo esbozar el gráfico de una función cúbica
Ejemplos:
a) y =
𝟑
Para esbozar dicho gráfico necesitas:
- Las coordenadas del punto característico.
( – 3 ; 1)
- El cero.
𝟑
(x + 3)
3
x + 3 = – 1
x = – 4
b) y = – 8x
3
- Las coordenadas del punto
característico. ( 0 ; 1)
- El cero.
- 8x
3
8x
3
= 1 x
3
𝟏
𝟖
x = √
𝟏
𝟖
𝟑
𝟏
𝟐
Función raíz cuadrada
Ejemplos de funciones raíz cuadrada, gráfica y propiedades:
