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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS UTM A GEODÉSICAS
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
1. Datos a ingresar
NORTE =
ESTE =
ZONA = P
DATUM =
2. Parámetros de los elipsoides
b
a
ELIPSOIDE
Parámetro HAyFOrD WGS
a 6 378 388.00 m 6 378 137.00 m
b 6 356 911.946 m 6 356 752.314 m
e 2 0.006 722 67 0.006 694 38
e’ 2 0.006 768 17 0.006 739 497
c 6 399 936.608 6 399 593.
a) Cálculo de Parámetos Elementales
Donde e^2 = cuadrado de la primera excentricidad
b) Cálculo de f 1 (Radianes)
c) Cálculo de la latitud f (Radianes)
d) Cálculo de la longitud l
» Cálculo de l. (Grados sexagesimales)
l 0 = P. 6 - 183°
» Cálculo de l (Radianes)
» Cálculo de l (Grados Sexagesimales)
N 1 R 1 e 1 T 1 C 1 D
6384116.905 6353275.66 0.00167922 0.388331772 0.004854385 -0.
M 1 U f 1 P Q S
3534048.481 0.555017936 0.557277032 0.000216120452 -0.00000004790 1.14948057E-
l (GRADOS) l (MINUTOS) l (SEGUNDOS) 139 35 47.
D f f (RADIANES) f (GRADOS) f (MINUTOS) f (SEGUNDOS) 0.000135302 0.55714173 31 55 18.
lo J J XX (^) l (RAD) 141 -0.020787735853 -0.000000000632388 -0.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A UTM
1. Datos a ingresar
f =
l =
DATUM =
2. Parámetros de los elipsoides
b
a
ELIPSOIDE
Parámetro HAyFOrD WGS
a 6 378 388.00 m 6 378 137.00 m
b 6 356 911.946 m 6 356 752.314 m
e 2 0.006 722 67 0.006 694 38
e’ 2 0.006 768 17 0.006 739 497
c 6 399 936.608 6 399 593.
a) Cálculo de la zona
Sea : P = Zona
Meridiano central
λ
o
A
B
o
b) Cálculo del Meridiano Central l 0
c) Cálculo de l
l 0 = P. 6 - 183° Grados Sexagesimales
l = l - l 0
Ejemplo 2:
Transformar las coordenadas geodésicas del Punto B a UTM.
Datum: WGS
f = 30° 27’ 22.32” l = 63° 59’ 9.60”
Solución: lo = 63° ZONA = 41
Respuesta:
E = 364,392.649 m
N = 8,844,456.680 m
Zona = 14
Hemisferio Sur
Respuesta:
E = 594,661.735 m N = 3,369,750.653 m Zona = 41 Hemisferio Norte
P lo l t n 2 N(RADIO) 14 -99° -0.021624629 -0.184454597 0.007 6,378,839.
E’ E A 0 A 2 A 4 A 6
364,392.6487 364,392.6487 0.99832 0.003 2.639E-06 3.41805E-
AM N' N
P lo l t n 2 N(RADIO) 41 63 0.017208946 0.58801578 0.005 6383629.
E’ E A 0 A 2 A 4 A 6
594,661.7352 594,661.7352 0.99832 0.003 2.639E-06 3.41805E-
AM N' N
Nota Para el hemisferio norte; el presente método incrementa en 10,000,000 el valor de las coordenada norte, en metros.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A CARTESIANAS
Ecuador x
y
z
N
h
N
h
λ
θ
A
M er
di ia no
de
Gr ee nw
ich
x
A
x
z
z
y
y
Ecuador
DATOS
l Latitud geodésica: f
l Longitud geodésica: l
l Altura elipsoidal: h
FÓRmULAS:
X = ( N + h ) cos f cos l
Y = ( N + h ) cos f sen l
Z = [ N ( 1 -e^2 )+h ] sen f
DONDE:
FACTOR DE ESCALA (K ESCALA)
Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el elipsoide de referencia sobre el plano cartográfico.
L (^) P=(KESCALA ) Lo
Donde
Lp: longitud proyectada al plano cartográfico.
Lo: longitud medida en el elipsoide de referencia.
Kescala: factor de escala.
ANÁLISIS DEL FACTOR DE ESCALA
A
B B’
A’
Lp
Plano cartográfico
Elipsoide de referencia
Lo
Radios principales de curvatura del elipsoide en un punto “P”
En la siguiente imagen se muestra un punto “P” ubicado sobre la superficie del elipsoide. El meridiano que pasa por “P” (sección meridiana o elipse meridiana) se confunde con el plano del papel.
Centro del Elipsoide (^) Círculo Ecuatorial
PN
PS
P
o
Meridiano de “P”
Radio curvatura del meridiano en el punto “P” ( r ) : Z (^) Geodésico = 0°
Es el radio correspondiente al círculo tangente al meridiano que pasa por “P” en dicho punto.
PN
PS
P
0’^ φ 0
Meridiano de “P”
Ecuador
ρ
Así pues, la latitud geodésica f, es el ángulo limitado por la normal r con el plano ecuatorial.
Radio de curvatura de la primera vertical en el punto “P” (GRAN NORMAL N): ZGeodésico = 90°
Es el radio correspondiente al círculo tangente al plano perpendicular a la sección meridiana que pasa por “P” en dicho punto.
Ecuador
Plano perpendicular a la sección Meridiana que pasa por “P”
PN
90-φ (^) N P
0’’
PS
Radio medio de curvatura (r)
En cálculos geodésicos, se suele usar el radio medio de curvatura, el cual se define como la media geométrica de R y N respecto al punto en mención.
Factor de escala de un punto (KESCALA)
Llamado también módulo de anamorfosis lineal puntual, este factor permite proyectar un diferencial de longitud en torno al punto en estudio sobre el plano cartográfico.
En realidad, en un ámbito general, dicho factor depende de la ubicación del mismo y de la dirección en el cual se quiere proyectar; sin embargo en una proyección conforme, el factor de escala es independiente de la dirección.
En el punto A:
r : Radio de curvatura del meridiano en el punto A.
N : Radio de la gran normal en “A”
f : Latitud geodésica en A
a (^) e 2 f (^) (1 – e^2. sen^2 f)1/2^ N(m)
6 378 137.0 0.006694381 -11º 44’ 15.35’’ 0.999861471 6 379 020.
N (^) 2 N 2. K^2 e’2^ 1 + e’2^. cos^2 f P
6 379 020.677 8.13187 x 10 13 0.006739497 1.006460592 0.
è Cáculo de P :
è Cáculo de K :
è Cáculo de K :
X (^) q p.^ q 2 0.00003.^ q 4 K
134 794.0761 0.134794076 0.000224879 9.90386 x 10 -9^ 0.
X (^) q p.^ q 2 0.00003.^ q 4 K
134 406.277 0.136406277 0.00023029 1.03862 x 10 -8^ 0.
o
K = 0.999 824 799
Ejemplo 2 .- Calcular el factor de escala para el siguiente punto “B”.
f = -11°44’15.35” l = -76° 15’06.35” h = 0 Datum: WGS
Solución:
è Transformando a coordenadas UTM :
E = 363 593.723 m N = 8 702 158.921 m
è Cáculo de “X” :
x = |500 000 – 365 593.723| x = 136 406.277 m
è Cáculo de N :
Dado que el Datum de referencia es WGS a = 6 378 137. e^2 = 0.006 694 381
Cálculo de la distancia de cuadrícula entre A y B
Sean A y B; dos puntos ubicados sobre la superficie elipsoidal; cuando estos puntos se proyectan al plano cartográ- fico, se generan los puntos A’ y B’.
La longitud de la línea recta que une dichas proyecciones, toma el nombre de distancia de cuadrícula (Lc).
LC
A
A’
B
B’
Dado que dicha longitud se desarrolla en un plano; su cálculo está gobernado por la fórmula aplicada al plano car- tesiano y – x.
N B
LC
A
B
E
N
N A
EA EB
En nuestro ejemplo 1 y 2:
è Punto A:
E (^) A = 365 205.924 m
NA = 8 703 453.021 m
è Punto B:
E (^) B = 363 593.723 m
N (^) B = 8 702 158.921 m
Lo, es la proyección de la distancia topográfica (LT) sobre el elipsoide de referencia. Lo = K (^) ELEV. LT
Factor de Elevación (K ELEVACIÓN )
Cuando se realiza la medición de distancia entre dos puntos en el terreno, comúnmente se obtiene como resultado, la distancia geométrica (inclinada) entre ambos puntos; no obstante ser la distancia reducida al horizonte (distancia topográfica) la utilizada en los cálculos topográficos.
L T 2
L T
LT 1
B
A
hA
hB
Elipsoide de referencia
Superficie topográfica
L T
L (^) o
A B
Elipsoide de referencia
Donde :
LT : distancia topográfica entre A y B.
L (^) o : distancia geodésica entre A y B.
KELEV. : factor de elevación entre A y B.
hA : altura elipsoidal de “A”.
hB : altura elipsoidal de “B”.
R : radio de curvatura del meridiano correspondiente a la latitud. Promedio de A y B.
M : flecha central.
LT1: Distancia topográfica entre A y B respecto al punto A. LT2: Distancia topográfica entre A y B respecto al punto B. LT : Distancia topográfica promedio entre A y B.
Factor de elevación (KELEVACIÓN), es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el terreno (distancia reducida al horizonte) sobre el elipsoide de refe- rencia.
L T
M
L (^) cuerda
h
R
Elipsoide de referencia
DEMOSTrACIóN
è Semejanza de triángulos:
Donde:
Luego:
Para llevar: Lcuerda al Elipsoide (Lo), es necesario adicionar:
A modo de ejemplo:
L (^) Cuerda 10 000 m ® S 1 mm
LCuerda 5 000 m ® S 0.1 mm
Lo cual conlleva a deducir que para trabajos de inge- niería con distancias menores o igual a 5 km; podemos despreciar S
Finalmente:
Factor de elevación:
Ejemplo 3.- Considerando que los puntos “A” y “B” son los mismos presentados en el ejemplo 1 y 2. Calcular el factor de elevación; sabiendo que la altura ortométrica es :
H (^) A = 3,419 m
HB = 3,820 m
Calcular también la distancia topográfica entre A y B.
Solución:
En primer lugar, es preciso transformar las alturas orto- métricas a Elipsoidales. En el presente ejemplo nos he- mos apoyado en un modelo Geoidal EGM – Perú, obte- niendo:
hA = 3 450.359 m
hB = 3851.302 m
è Cálculo de R:
fA = -11° 43’ 33.46”
f (^) B = -11° 44’ 15.35”
fPromedio = -11° 43’ 54.41”
Luego : R = 6 338 070.397 m
è Cáculo de M:
M = 0.070 m
è Cálculo de Factor Elevación (KELEVACIÓN):
K ELEVACIÓN = 0.
è Cálculo de distancia topográfica (LT ):
Sabiendo: L (^) o = 2 067.695 m
LT = 2 068.886 m
è Calculando el Factor Combinado Promedio entre A y B :
K = 0.
è Calculando la Distancia Topográfica entre A y B :
LT = 2 068.886 m
Si comparamos el resultado obtenido (LT) respecto al calculado en el primer metodo; deducimos que son iguales.
è Considerando los datos de los ejemplos 1, 2 y 3 :
PTO UTM
N(m) E(m) ZONA h(m) A 8703 453.021 365 205.924 18 3 450. B 8 702 158.921 363 593.723 18 3 851.
PTO UTM
Keskala Kelevación Kcombinado
A 0.9998247986607 0.99945591 0. B 0.999830208023 0.999392723 0.
L (^) C = 2 067.338 m
è Calculando el Factor Combinado para cada punto :
B) SEGUNDO mÉTODO
Analizando la influencia del desnivel entre 2 puntos
1) Dh = 400.94 m
Como es de suponer, al ampliar la influencia del desnivel en las distancias (Cuadrícula, Topográfica y Geodésica), la única longitud que sufre dicha influencia es la Topográfica. En tal sentido se recomienda tomar desniveles no muy pronunciados (máximo 400 metros)
¿Qué pasa si en lugar de considera h; se toma H?
2) Dh = 300.94 m
1) DH = 401
2) DH = 301
3) DH = 201
3) Dh = 200.94 m
4) Dh = 100.94 m
5) Dh = 0.943 m
H 1 H 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) geodésica
3 419 3 820 2 067.330 2 068.875 2 067.
H 1 H 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) Geodésica
3 519 3 820 2 067.330 2 068.892 2 067.
H = 201 H 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) Geodésica
3 619 3 820 2 067.330 2 068.900 2 067.
h 1 h 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) geodésica
3 450.359 3 851.302 2 067.330 2 068.886 2 067.
h 1 h 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) geodésica
3 550.359 3 851.302 2 067.330 2 068.902 2 067.
h 1 h 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) geodésica
3 650.359 3 851.302 2 067.330 2 068.918 2 067.
h 1 h 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) geodésica
3 750.359 3 851.302 2 067.330 2 068.935 2 067.
h 1 h 2 L (^) cuadrícula L (^) topográfica L (^) geodésica
3 750.359 3 851.302 2 067.330 2 068.951 2 067.
