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PROCESOS SECUENCIALES LINEALES
El porqué de la diagonalización
La teoría de las transformaciones lineales permite elaborar técnicas analíticas que
resultan adecuadas para realizar diversos análisis.
Uno de estos análisis consiste en estudiar una situación que evoluciona a lo largo de
períodos de tiempo, transformándose de manera lineal. Conocido el estado en que se
encuentra la situación inicialmente y cómo es la transformación lineal que experimenta
en cada secuencia, se puede determinar el estado de la situación transcurridas n
secuencias o períodos de tiempo y si el estado tiende a estabilizarse. Estos procesos
secuenciales se encuentran en el centro de los análisis económicos dinámicos.
En un proceso secuencial, si el estado en cada secuencia está determinado por los
valores reales que toman n variables ( x 1 , x 2 ,, xn ) y cambia en cada secuencia de
manera lineal (es decir, si el estado en una secuencia cualquiera es el producto de una
matriz cuadrada A, de orden n , por la secuencia anterior), entonces, partiendo de un
estado inicial conocido, se puede conocer el estado en que se encuentra transcurridas m
secuencias.
Definición : Las matrices A Mn y B Mn son matrices semejantes si existe P Mn regular tal que AP PB , o lo que es lo mismo, A PBP ^1 , verificándose que
Rg( A ) = Rg( B ).
Diagonalización de endomorfismos
Dada una trasformación lineal f^ : Vn Vn expresada matricialmente como Y AX , queremos encontrar una expresión matricial de dicha trasformación en la que
la matriz sea diagonal. Para ello tenemos que realizar un cambio de base en el espacio
Vn.
2 2
1 1
x '^ ' y f x
x y f x
f V V
B Y BX B
B Y AX B
n n
verificándose que B P ^1 AP , siendo P la matriz de paso entre las bases B 1 y B 2.
Nuestro objetivo será encontrar una matriz semejante a A que sea diagonal, ya que
así el análisis de f será más sencillo, al ser más sencilla su matriz asociada.
Interesará por tanto efectuar un cambio de base en Vn , de manera que la nueva
matriz asociada a f sea una matriz diagonal, siempre que ello sea posible.
En consecuencia, buscamos: a) Ver si existe una matriz diagonal B D , semejante a A , que represente a f. b) Si existiera, hallarla junto con la matriz P , de manera que
AP PD o A PDP ^1 o D P ^1 AP
Lo anterior requiere de los conceptos de autovectores, autovalores y autosistemas.
Definición. Autovector o vector propio x Vn.
x 0 , x Vn^ es autovector de^ f ^ K / f ( x )^ x.
Si lo expresamos matricialmente, tenemos la expresión
Y AX X InX
Definición. Autovalor o valor propio K.
K es autovalor de f x 0 / f ( x ) x , x Vn.
Ejemplo.
Dada la trasformación lineal
3
2
1 1 2 3 4 2 3
x
x
x f x x x ,
Cálculo de autovectores asociados a un autovalor
El conjunto de autovectores x asociados a cada i obtenido de la ecuación anterior,
vendrá dado por el conjunto:
L ( i ) x 0, x R n /( A i In ) X 0
Propiedades:
1. L ( i )es un subespacio vectorial de Vn de dimensión n rg ( A In ).
2. Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes 3. Dada A Mn , no podrán existir más de n autovalores reales distintos (en otro caso, por 1. y 2. , habría más de n vectores linealmente independientes en Vn ).
4. i Tr ( A )(sea cual sea la base utilizada asociada a A ).
5. i A
6. Si A es triangular, los autovalores serán los elementos de la diagonal principal
a i n a
a
a a
a a A (^) i ii
nn
n
n , 1 , 2 ,..., ... 0 0 ...
2
1 22
11 12
7. Si es autovalor de A , ^2 es autovalor de A^2. Además todos los
autovectores de A también lo serán de A^2.
8. Los autovalores de A y de (^) At son los mismos.
Ejemplo
Sea la trasformación lineal f definida en R^3 , cuya matriz asociada en una
determinada base B 1 es
A.
Cálculo de los Autovalores:
2
3 ( 1 )( 4 ) 2 0 5 6 0
2 0 2
( 2 )( 1 )( 4 ) 2 0
( 2 )( 1 )( 4 ) 2 ( 2 ) 4
1
0
0 2
0 1
2 1 ( )
3
2 2
1
P A I
Autovalores:
2
1 raíz simple
raízdoble
Cálculo de los Autovectores:
L ( 1 2) x R^3 / f ( ) x 2 x x R^3 /( A 2 ) I X 0
1 2 (^32 2 ) 3 2 3
x x x x x x x (^) x x
^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^
R
3 2
x L x x x x x
^
R
DimL ( 1 2 ) n rg ( A 2 I ) 3 2 1 1 variable libre( x 1 )
B 1 2 ( 1 , 0 , 0 )
L ( 2 3) x R^3 / f ( ) x 3 x x R^3 /( A 3 ) I X 0
1 1 2 3 3 2 2 3 3 2 3
x x x x x x x x x x x
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^
R R
3 2
x x x x x x x x x x
R R
DimL ( 2 3 ) n rg ( A 3 I ) 3 2 1 variable libre( x 2 )
B 2 3 ( 1 , 1 , 2 )
Observación:
Existen infinitas matrices P que verifiquen la relación A PDP ^1 D P ^1 AP ,
aunque debe respetarse la correspondencia por columnas entre el autovector asociado en
P y el autovalor en D.
Observación:
Si A es una matriz simétrica A A^ t , entonces siempre es diagonalizable.
Ejercicio
Sea la trasformación lineal f :R 3 R^3 , cuya matriz asociada respecto de la base
B e 1 , e 2 , e 3 es
A.
Determinar qué cambio de base hay que realizar en R^3 para que la matriz asociada a
f sea diagonal.
Ejercicio
Estudiar si es diagonalizable la matriz
A y dar la relación entre la
matriz A y la matriz diagonal semejante.
Aplicación de la diagonalización de matrices: procesos secuenciales lineales
Buscamos conocer el estado
nh
h h x
x x ...
1 de un sistema en la fase o momento h ,
conocido el estado inicial
0
10 0 ... x n
x x y la matriz de transición A Mn , que permite
pasar de un estado al inmediatamente siguiente de forma lineal:
X (^) h AXh 1 A ( AXh 2 ) A^2 Xh 2 ... AhX 0.
Si A es diagonalizable,
, / 1 k^^1 k^ k^ k^1 P M (^) n D M (^) n D P AP D P A P A PD P ^ ^
resultando
1 0 0 h h X (^) h A X PD P X
donde Dh diag ( 1 h^ ,..., n h ), P ( c 1 ,..., cn )base de autovectores expresados en la
base canónica, simplificándose considerablemente el problema.
Ejercicio
Una agencia de transportes tiene su flota de camiones repartidos en dos ciudades A y
B. De los camiones que hay en A , al principio de cada mes, los 2/3 vuelven a A al final
del mismo mes y el resto a B. De los que hay en B las ¾ partes vuelven a B y el resto a
A.
a) Si la flota permanece constante e inicialmente hay la mitad en cada ciudad,
hállense los porcentajes que hay en cada ciudad al final del tercer mes.
b) Hállese el porcentaje de camiones en cada ciudad al cabo de infinitos meses.
