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Transformada de Fourier
1. De las series de Fourier a la Transformada de Fourier: primeras
consideraciones
Las series de Fourier son ´utiles para el estudio de se˜nales peri´odicas pero, desafortunadamente, este tipo de se˜nales no son tan frecuentes en la pr´actica como las no-peri´odicas. Esta situaci´on requiere el desarrollo de una teor´ıa matem´atica m´as ambiciosa y a ello vamos a dedicar alg´un tiempo. Sea x(t) una se˜nal aperi´odica^1 definida en todo el intervalo real y denotemos por xT (t) (T > 0) la se˜nal 2 T -peri´odica que se obtiene a partir de x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ∈ (−T, T ] y extendiendo peri´odicamente con periodo 2 T. Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g., es C^1 (R)), entonces tendremos la identidad
x(t) = xT (t) =
2 T
∑^ ∞
k=−∞
[∫ T
−T
x(s)e−(πi/T^ )ksds
]
e(πi/T^ )kt, para t ∈ (−T, T ] (1)
Evidentemente, si hacemos T → ∞ en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la igualdad l´ımite ser´a v´alida para todo t ∈ R y su valor ser´a igual al de la se˜nal de partida x(t). Ahora, estudiemos qu´e le sucede al segundo miembro si hacemos T → ∞. Tomando ∆f = 1 /(2T ) y fk = k∆f , podemos reescribir (1) como
x(t) =
∑^ ∞
k=−∞
∆f
[∫ T
−T
x(s)e−^2 πifk^ sds
]
e^2 πifk^ t, para t ∈ (−T, T ]
Ahora bien, |fk+1 − fk| = ∆f = 1/ 2 T ( k ∈ Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {fk} como nodos equiespaciados de una partici´on de Riemann para la integral l´ımite ∫ (^) ∞
−∞
−∞
x(s)e−^2 πif sds
e^2 πif tdf
Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la se˜nal aperi´odica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier):
x(t) =
−∞
−∞
x(s)e−^2 πif sds
e^2 πif tdf
*Este documento est´a basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira, “Matem´aticas para la recu-
peraci´on de se˜nales”, Grupo Editorial Universitario, 2005. (^1) Es decir: no peri´odica.
Haciendo el cambio de variable ξ = 2πf , podemos reescribir la anterior f´ormula como
x(t) =
2 π
−∞
−∞
x(s)e−iξsds
eiξtdξ
Definici´on 1 La se˜nal
F(x)(ξ) := ̂x(ξ) :=
−∞
x(s)e−iξsds
toma el nombre de transformada de Fourier de la se˜nal (aperi´odica) x(t) ∈ L^1 (R).
Definici´on 2 La se˜nal
F−^1 (y)(t) :=
2 π
−∞
y(ξ)eiξsdξ
toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la se˜nal (aperi´odica) y(ξ).
Nota 1 Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como
x(t) =
2 π
−∞
−∞
x(s)e−iξsds
eiξtdξ
2 π
−∞
F(x)(ξ)eiξtdξ = F−^1 (F(x))(t)
y, de manera an´aloga, F(F−^1 (y))(ξ) = y(ξ).
Una cosa es clara: bajo ciertas hip´otesis (que luego especificaremos), conocer la transformada de Fourier de una se˜nal equivale a conocer dicha se˜nal, ya que al aplicar la transformada inversa recuperamos toda la informaci´on. De igual forma, si conocemos los coeficientes de Fourier {ck}∞ k=−∞ de cierta se˜nal (peri´odica) x(t), de la que sabemos que es suficientemente suave, entonces conocemos la se˜nal, pues para rescatarla completamente bastar´a sumar la correspondiente serie de Fourier. As´ı, el papel del espectro de la se˜nal, que en el caso peri´odico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el caso aperi´odico lo juega la transformada de Fourier. Para evitar problemas con la definici´on de transformada de Fourier, supondremos que la se˜nal x(t) es absolutamente integrable en R. Es decir, supondremos que
||x||L (^1) (R) =
−∞
|x(t)|dt < ∞.
En tal caso, su transformada x̂ (ξ) existe y est´a uniformemente acotada en R, pues |e−iξs| = 1 para ξ, s ∈ R implica |̂ x(ξ)| ≤ ||x||L (^1) (R) para para ξ ∈ R.
Derivaci´on. Si x es continua y derivable a trozos, con x′(t) ∈ L^1 (R), entonces
F(x′)(ξ) = iξF(x)(ξ).
Adem´as, si tx(t) es integrable entonces
F(tx(t))(ξ) = iF(x)′(ξ).
Demostraci´on. En este caso vamos a utilizar la f´ormula de integraci´on por partes, para el c´alcu- lo de xˆ′:
x^ ˆ′(ξ) =
−∞
e−iξtx′(t)dt
= e−iξtx(t)
]t=∞ t=−∞ +^ iξ
−∞
e−iξtx(t)dt
= iξ xˆ(ξ)
Antes de continuar desarrollando la teor´ıa, vamos a calcular algunas transformadas de Fourier:
Ejemplo 1 Consideremos la se˜nal escal´on
ua(t) =
1 si |t| < a 0 en otro caso
Su transformada de Fourier es
F(ua)(ξ) =
−∞
ua(s)e−iξsds
∫ (^) a
−a
e−^2 πiξsds =
e−iξs −iξ
]s=a
s=−a
e−iaξ^ − eiaξ −iξ
=
cos(−aξ) + i sin(−aξ) − cos(aξ) − i sin(aξ) −iξ
= 2
sin(aξ) ξ
Ejemplo 2 Sea x(t) = exp(−|t|). Entonces
̂ x(ξ) =
−∞
e−|t|e−iξtdt
−∞
ete−iξtdt +
0
e−te−iξtdt
−∞
e−ueiξudu +
0
e−te−iξtdt
0
e−t(eiξt^ + eiξt)dt =
0
2 e−t^ cos(ξt)dt
− cos(ξt)e−t
]∞
0 +^ ξ
0
e−t^ sin(ξt)dt
[
1 + ξ
e−t^ sin(ξt)
]∞
0 −^ ξ
0
e−t^ cos(ξt)dt
)]
ξ^2 ̂x(ξ)
; pues ya hemos visto que
0
e−t^ cos(ξt)dt =
x(ξ).
De modo que
̂ x(ξ) = 2
ξ^2 ̂x(ξ)
= 2 − ξ^2 ̂x(ξ)
y, por tanto,
̂ x(ξ) =
ξ^2 + 1
Hay otros ejemplos cuyo c´alculo no es tan sencillo como en los casos anteriores. Esto, unido a su importancia para las aplicaciones, los traslada a la categor´ıa de teoremas:
Teorema 1 Si x(t) = exp(−t^2 ), entonces ̂x(ξ) =
π exp(−ξ^2 /4).
Demostraci´on. El primer paso para el c´alculo de ̂x(ξ) =
−∞ e
−t^2 e−iξtdt consiste en agrupar en un
s´olo t´ermino el producto e−t 2 e−iξt, de manera que aparezca como exponente un cuadrado perfecto. As´ı, si tenemos en cuenta que (^) (
t +
iξ 2
= t^2 + iξt−
ξ^2 4
resulta que
−
t^2 + iξt
ξ^2 4
t +
iξ 2
y, por tanto,
̂ x(ξ) =
−∞
e−t
2 e−iξtdt =
−∞
e−^
ξ^2 4 −(t+^ iξ 2 )
2 dt
= e−^
ξ^2 4
−∞
e−(t+^
iξ 2 )
2 dt,
y, por tanto,
x̂ (ξ) =
πe−^
ξ^2 (^4) ,
que es lo que quer´ıamos demostrar. § Ya hemos mencionado anteriormente que si la se˜nal es absolutamente integrable en R entonces su transformada de Fourier es acotada. En realidad, el siguiente resultado, m´as fuerte, se satisface:
Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Si x ∈ L^1 (R) entonces
l´ım ξ→±∞
F(x)(ξ) = 0.
Otro resultado importante (y, en principio, inesperado) consiste en que podemos garantizar la con- tinuidad de ̂x(ξ), para ξ ∈ R, incluso para se˜nales x(t) discontinuas. M´as precisamente, se satisface el siguiente teorema:
Teorema 3 Supongamos que x : R → C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable (i.e.,
−∞ |x(t)|dt <^ ∞). Entonces^ ̂x(ξ)^ es continua en todo^ ξ^ ∈^ R.
Demostraci´on. Para demostrar el teorema, vamos a hacer uso de un resultado t´ecnico de an´alisis real que no cabe demostrar en un curso del nivel que nos proponemos, pero s´ı podremos utilizar. Se trata de una versi´on del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue adaptada al contexto en que nos encontramos:
Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue) Supongamos que tenemos una familia de funciones xh : R → C (h ∈ R), continuas a trozos tales que existe una cierta funci´on g verificando que
|xh(t)| ≤ |g(t)| para todo t, h ∈ R
y
−∞ g(x)dx <^ ∞. Si adem´as sabemos que existe el l´ımite puntual
x(t) = l´ım h→ 0 fh(t); t ∈ R,
entonces
l´ım h→ 0
−∞
xh(t)dt =
−∞
(l´ım h→ 0 xh(t))dt =
−∞
x(t)dt.
Nota: Para la demostraci´on de este resultado, ver [?].
Ahora podemos demostrar la continuidad de ̂x(ξ). Para ello, fijado ξ ∈ R hacemos los siguientes c´alculos:
̂ x(ξ + h) − ̂x(ξ) =
−∞
x(t)(e−i(ξ+h)t^ − e−iξt)dt
−∞
x(t)e−iξt(e−iht^ − 1)dt =
−∞
xh(t)dt,
donde xh(t) = x(t)e−iξt(e−iht^ − 1). Es claro que, para ξ, h, t ∈ R se tiene que
|xh(t)| = |x(t)||e−iξt||(e−iht^ − 1)| ≤ 2 |x(t)|
Como g(t) = 2|x(t)| es absolutamente integrable, y existe el l´ımite puntual
l´ım h→ 0 xh(t) = x(t)e−iξt^ l´ım h→ 0 (e−iht^ − 1) = 0, t ∈ R;
se concluye que podemos utilizar el teorema de la convergencia dominada, de modo que
l´ım h→ 0
(̂x(ξ + h) − ̂x(ξ)) = l´ım h→ 0
−∞
xh(t)dt =
−∞
(l´ım h→ 0
xh(t))dt = 0,
que es lo que quer´ıamos probar. §
Corolario 1 En las condiciones del teorema anterior, si ̂x(ξ) es absolutamente integrable, entonces x(t) ∈ C(R).
Es m´as, si utilizamos una versi´on m´as fuerte del Teorema de la convergencia dominada (ver [?]), se puede demostrar el siguiente (importante) resultado:
Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de ˆx(ξ)) Sean L^1 (R) y C 0 (R) dotados de sus nor- mas usuales ‖x(t)‖L^1 (R) =
−∞ |x(t)|dt^ y^ ‖x(t)‖C^0 (R)^ = supt∈R^ |x(t)|. Entonces^ F^ :^ L
1 (R) →
C 0 (R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con el operador transformada de Fourier inversa, F−^1 : L^1 (R) → C 0 (R)
Otra propiedad importante de la transformada de Fourier es el siguiente resultado:
Teorema 6 Supongamos que las funciones x(t)es^1 t^ y x(t)es^2 t^ son continuas a trozos y absolutamente integrables en toda la recta real, y s 1 < s 2. Entonces la funci´on
F (z) =
−∞
x(t)e−iztdt
existe y es holomorfa en la banda
D = {z ∈ C : Imz ∈ (s 1 , s 2 )}.
Demostraci´on. Sea z = w + is ∈ D. Entonces, para t ≥ 0 , se tiene que
|x(t)e−izt| = |x(t)|est^ ≤ |x(t)|es^2 t
Adem´as, para t ≤ 0 , se tiene que
|x(t)e−izt| = |x(t)|est^ ≤ |x(t)|es^1 t.
Por tanto, (^) ∫ ∞
−∞
|x(t)e−izt|dt ≤
−∞
|x(t)|es^1 tdt +
0
|x(t)|es^2 tdt < ∞.
Proposici´on 2 Si x(t) e y(t) son se˜nales continuas a trozos y absolutamente integrables en R, en- tonces su convoluci´on, x̂ ∗ y(t) es tambi´en una se˜nal absolutamente integrable. Es m´as, se verifica la desigualdad ‖ x̂ ∗ y‖L (^1) (R ≤ ‖x‖L (^1) (R)‖y‖L (^1) (R)
Demostraci´on. Como las se˜nales son absolutamente integrables, podemos utilizar el Teorema de Fubini, para cambiar el orden de integraci´on en los siguientes c´alculos:
‖x̂ ∗ y‖L (^1) (R) =
−∞
∣ (^) x̂ ∗ y(t)
∣ (^) dt
−∞
−∞
x(s)y(t − s)ds
∣ dt
≤
−∞
−∞
|x(s)||y(t − s)|dsdt
−∞
−∞
|x(s)|ds
|y(t − s)|dt (por F ubini)
= ‖x‖L (^1) (R)
−∞
|y(t − s)|dt = ‖x‖L (^1) (R)‖‖y‖L (^1) (R),
como quer´ıamos demostrar. §
Teorema 7 Supongamos que x, y ∈ L^1 (R). Entonces
x̂ ∗ y(ξ) = ˆx(ξ)ˆy(ξ)
Demostraci´on. Ya sabemos que x̂ ∗ y(t) es absolutamente integrable, de modo que podemos utilizar el teorema de Fubini otra vez en nuestros c´alculos:
x̂ ∗ y(ξ) =
−∞
x ∗ y(t)e−iξtdt
−∞
−∞
x(s)y(t − s)ds
e−iξtdt
−∞
−∞
x(s)e−iξsy(t − s)e−iξ(t−s)dsdt
−∞
−∞
x(s)e−iξsds
y(t − s)e−iξ(t−s)dt
= ˆx(ξ)
−∞
y(t − s)e−iξ(t−s)dt
= ˆx(ξ)ˆy(ξ),
que es lo que quer´ıamos demostrar. § Evidentemente el teorema de convoluci´on anterior es ´util en teor´ıa de se˜nales, puesto que los filtros son normalmente operadores de convoluci´on y, usando el resultado anterior, podemos convertir
una operaci´on relativamente complicada (la convoluci´on de se˜nales en el dominio del tiempo) en otra muy sencilla (el producto de se˜nales en el dominio de la frecuencia). Esto lleva a pensar que quiz´as cierto tipo de problemas que se plantean de forma natural en el dominio del tiempo se puedan trasladar (v´ıa la transformada de Fourier) al dominio de la frecuencia, donde (supuestamente) ser´an m´as f´aciles de resolver. En tal caso, una vez obtenida la soluci´on en el dominio de la frecuencia, ser´a necesario llev´arsela al domino del tiempo v´ıa una transformaci´on que deber´a funcionar como el operador inverso de la transformada de Fourier. Con esto, queda motivado el contenido de la siguiente secci´on.
1.3. El teorema integral de Fourier
En las secciones anteriores llegamos mediante una serie de argumentos heur´ısticos a la expresi´on
x(t) =
2 π
−∞
F(x)(ξ)eiξtdξ.
Ahora vamos a estudiar en detalle bajo qu´e condiciones sobre la se˜nal x(t) se satisface dicha f´ormula. De la misma forma que no fue sencillo el estudio de la convergencia de las series de Fourier, la respuesta a la pregunta que nos formulamos ahora no es trivial en absoluto. Para empezar, pudiera suceder que F(x) = ̂x /∈ L^1 (R) y, por tanto, la expresi´on
−∞ F(x)(ξ)e
iξtdξ no sea convergente. Un
ejemplo de que esto es perfectamente posible lo da la identidad (que ya demostramos en su momento)
F(ua)(ξ) = 2
sin(aξ) ξ
por otra parte, a´un en el caso de que ̂x ∈ L^1 (R) es posible que para comprobar la f´ormula
x(t) =
2 π
−∞
−∞
x(s)e−iξsds
eiξtdξ
no baste con substituir por el valor de x(s) y realizar el c´alculo de la integral doble, pues podr´ıa suced- er que no podamos hacer ciertas operaciones como, por ejemplo, intercambiar el orden de integraci´on (debido a que no hay convergencia absoluta para la integral doble). Pero podemos intentar lo siguiente:
Primero multiplicamos el integrando ̂x(ξ) por una funci´on Φε(ξ) que decrezca muy r´apido para ξ → ±∞ pero que, si hacemos ε → 0 , se aproxime uniformemente a la funci´on 1. De esta forma, para ε > 0 fijo, podemos hacer las cuentas (intercambiar el orden de integraci´on, etc) pues la correspondiente integral doble es absolutamente convergente.
A continuaci´on intentamos llegar a nuestro resultado tomando ε → 0.
Existen varias elecciones de Φε(ξ) que funcionan (y, por tanto, existen varias versiones del Teore- ma Integral de Fourier^2 ). Una posibilidad es tomar Φε(ξ) = e−ε (^2) ξ (^2) / 2 y, de hecho, el correspondiente teorema es muy usado para el estudio de procesos estoc´asticos. Nosotros vamos a elegir Φε(ξ) de
(^2) En realidad, esto es parecido a la existencia de varios m´etodos de sumaci´on para las series de Fourier.
(la elecci´on de la constante π no es, de todas formas, significativa). La funci´on
y(t) =
π
x(t+u) u si^ u^ ≥^ π 0 si u < π
es continua a trozos y absolutamente integrable en R, de modo que podemos utilizar el Teorema de Riemann Lebesgue para garantizar que
l´ım M →∞
−∞
y(t) sin(M t)dt = 0
Por tanto, l´ımM →∞ (^) M^1
π
x(t+u) u sin(M u)du^ = 0^ y s´olo tenemos que estudiar el l´ımite
l´ım M →∞
π
∫ (^) π
0
x(t + u)
sin(M u) u
du.
Ahora bien, sabemos que h(u) = x(t+u)−x(t
+) u es continua a trozos y, por tanto, tambi´en como conse- cuencia del Teorema de Riemann-Lebesgue, se tiene que
l´ım M →∞
π
∫ (^) π
0
x(t + u)
sin(M u) u
du
= l´ım M →∞
π
{∫ (^) π
0
x(t + u) − x(t+) u
sin(M u)du + x(t+)
∫ (^) π
0
sin(M u) u
du
= l´ım M →∞
x(t+) π
∫ (^) π
0
sin(M u) u
du
Si hacemos el cambio de variable s = M u, obtenemos que duu = dss y, por tanto,
l´ım M →∞
∫ (^) π
0
sin(M u) u
du = l´ım M →∞
∫ (^) πM
0
sin(s) s
ds =
0
sin(s) s
ds
La demostraci´on del teorema se concluye si tenemos en cuenta que
0
sin(s) s ds^ =^
π 2 , hecho que separamos en forma de nota. §
Nota 3 Veamos que
0
sin(s) s ds^ =^
π
- Como^
sin(s) s es continua en^ [0,^ ∞), la integral impropia ser´a con- vergente si y solo si lo es la integral
a
sin(s) s ds^ para alguna elecci´on de^ a >^0. Para demostrar esto ultimo, hacemos integraci´´ on por partes.
∫ (^) ∞
a
sin(s) s
ds =
− cos s s
]s=∞
s=a
a
sin(s) s^2
ds
Ahora bien,
∣sin^ s s^2
s^2 y^
a
1 s^2 ds <^ ∞. Esto demuestra que nuestra integral impropia existe. Teniendo en cuenta que sinu^ ues una funci´on continua concluimos que la integral impropia
0
sin(s) s ds se podr´a representar como
∫ (^) ∞
0
sin(s) s
ds = l´ım Rn→∞
∫ (^) Rn
0
sin(s) s
ds
para alguna elecci´on de la sucesi´on {Rn}∞ n=0. Para hacer efectivos los c´alculos, tomamos Rn = (n + 12 )π, de modo que
∫ (^) ∞
0
sin u u
du = l´ım n→∞
∫ (^) π
0
sin((n + 1/2)t) t
dt
= l´ım n→∞
∫ (^) π
0
2 sin(^12 t) t
sin((n + 1/2)t) 2 sin(^12 t)
dt
= l´ım n→∞
∫ (^) π
0
2 sin(^12 t) t
Dn(t)dt
π 2
l´ım t→ 0 +
2 sin(^12 t) t
π 2
(donde se ha utilizado el Teorema de Dirichlet ??). Esto finaliza la prueba. §
1.4. Transformada de Fourier de funciones de L^2 (R)
En principio, la transformada de Fourier de una se˜nal x(t) ∈ L^2 (R) podr´ıa no existir, por la sencilla raz´on de que la integral
−∞ x(t)e
iξtdξ podr´ıa ser divergente si x(t) ∈/ L (^1) (R). A´un as´ı, ser´ıa
deseable disponer de una extensi´on de la transformada de Fourier a todo L^2 (R): despues de todo, L^2 (R) es el substituto natural (en el mundo anal´ogico) de l^2 (Z) y, ya que la serie de Fourier ten´ıa tan buenas propiedades en relaci´on con el espacio l^2 (Z), quiz´as consigamos algo parecido para la transformada de Fourier. La extensi´on a que nos referimos se puede hacer en gran medida gracias al siguiente resultado t´ecnico:
Lema 2 Si x(t), y(t) ∈ L^1 (R) son tales que tambi´en x̂ (t), ̂y(t) ∈ L^1 (R), entonces tanto x(t), y(t) como ̂x(t), ̂y(t) pertenecen a L^2 (R) y adem´as
(x, y)L^2 (R) =
2 π
(̂x, ̂y)L^2 (R)
En particular, si x(t) = y(t), entonces se tiene la siguiente “f´ormula de Parseval”:
||x||L (^2) (R) =
2 π
||̂ x||L (^2) (R)
Demostraci´on. Que x(t), x̂ (t) ∈ L^1 (R) implica x(t), x̂ (t) ∈ L^2 (R) es sencillo de probar. Vamos a
1.5. F´ormula de Poisson
Sea x ∈ L^1 (R) y sea ϕ(t) =
n=−∞ x(t^ +^ nT^ ). Es evidente que^ ϕ(t) =^ ϕ(t^ +^ T^ )^ para todo t ∈ R y, adem´as,
∫ (^) T
0
|ϕ(t)|dt ≤
∑^ ∞
n=−∞
∫ T
0
|x(t + nT )|dt =
∑^ ∞
n=−∞
∫ (^) (n+1)T
nT
|x(t)|dt = ‖x‖L^1 < ∞
por tanto, podemos intentar calcular los coeficientes de Fourier de ϕ como funci´on T -peri´odica.
ck(ϕ) =
T
∫ T
0
ϕ(t)e−^
2 πTikt dt =
T
∑^ ∞
n=−∞
∫ T
0
x(t + nT )e−^
2 πTikt dt =
T
∑^ ∞
n=−∞
∫ (^) (n+1)T
nT
x(t)e−^
2 πTi kt dt
T
−∞
x(t)e−^
2 πTikt dt =
T
x(
2 πk T
Se sigue que el desarrollo en serie de Fourier de ϕ es
ϕ(t) ∼
T
∑^ ∞
k=−∞
̂ x(
2 πk T
)e
2 πTikt
y, por tanto, cuando se pueda garantizar la convergencia de dicho desarrollo, se tendr´a la conocida f´ormula de Poisson (^) ∞ ∑
n=−∞
x(t + nT ) =
T
∑^ ∞
n=−∞
x̂ (
2 πn T
)e
2 πTint (2)
Un caso especial es el que se logra de hacer t = 0 en la expresi´on anterior:
∑^ ∞
n=−∞
x(nT ) =
T
∑^ ∞
n=−∞
̂ x(
2 πn T
Es muy importante, para nuestros objetivos futuros (relacionados con la teor´ıa del muestreo de se˜nales anal´ogicas), observar que se satisface la siguiente propiedad:
Proposici´on 3 Si x = φ ∈ S, entonces se satisface la F´ormula de Poisson (2).
- Transformada de Fourier de Se ˜nales Generalizadas
Uno de los problemas que tiene el concepto de transformada de Fourier es que para calcular F(x) es necesario asumir que x ∈ L^1 (R) o, mediante el argumento explicado en la secci´o´on anterior, tam- bien podemos ampliar dicho c´alculo al caso en que x(t) es una se˜nal de energ´ıa finita, x ∈ L^2 (R). ¿Podemos definir la transformada de Fourier de se˜nales en espacios menos restrictivos?. Por ejem- plo, ¿es posible definir F(x) cuando x ∈ Lp(R), p ∈ (1, ∞)? (Una idea podr´ıa ser considerar los elementos de Lp(R) como funciones generalizadas). Si tenemos en cuenta que para toda funci´on φ ∈ S se tiene que F(φ) ∈ S (algo que dejamos como ejercicio para el lector), entonces podemos definir la transformada de Fourier de una se˜nal generalizada x ∈ G del siguiente modo:
Definici´on 4 Sea x ∈ G una funci´on generalizada arbitraria. Definimos su transformada de Fourier (generalizada) F(x) mediante la f´ormula siguiente:
F(x){φ} = x{F(φ)}
Tambi´en usamos la notaci´on x̂ = F(x).
Nota 5 En la definici´on anterior se est´a utilizando la caracterizaci´on de las funciones generalizadas como distribuciones temperadas (i.e., funcionales continuos h : S → C). Ver Teorema ??.
El concepto que acabamos de introducir permite hacer un uso muy extenso de las transformadas de Fourier ya que en principio no hay grandes restricciones para las funciones generalizadas. En particu- lar, esto se har´a notar en el estudio del teorema del muestreo cl´asico. Ahora, para que la transformada de Fourier que acabamos de introducir sea ´util es imprescindible comprobar que las propiedades b´asicas de la transformada de Fourier cl´asica se conservan.
Teorema 10 (Teorema de inversi´on de Fourier para se ˜nales generalizadas) Sea x(t) ∈ G una fun- ci´on generalizada. Entonces para toda se˜nal φ ∈ S se tiene que
1 2 π
x{φ(t)} = x{φ(−t)},
y, por tanto, podemos afirmar que x(t) = (^21) π ̂̂x(−t).
Demostraci´on. Sean x ∈ G y φ ∈ S. Entonces
1 2 π
x{φ(t)} =
2 π
−∞
x(t)φ̂ (t)dt
2 π
−∞
x(t)
φ(t)dt
−∞
x(t)φ(−t)dt
= x{φ(−t)}
§
Nota 6 Obs´ervese con qu´e facilidad hemos podido demostrar el teorema de inversi´on para se˜nales generalizadas, a pesar de lo dificil que fue su prueba para las se˜nales ordinarias. Ahora bien: dicha simplicidad es enga˜nosa puesto que nuestra prueba descansa sobre el hecho de que se conoce el teorema de inversi´on de Fourier para las funciones φ que est´an en la clase de Schwartz, que son se˜nales ordinarias.
Ejemplo 3 Vamos a calcular la transformada de Fourier de la funci´on delta de Dirac δ. Por defini- ci´on, F(δ){φ} = δ{F(φ)} = F(φ)(0) y, por tanto,
F(δ){φ} = φˆ(0) =
−∞
φ(s) · 1 ds = 1{φ}.
se puede demostrar que si la se˜nal α satisface
α(k)^ ∈ CSG para todo k ∈ N, (4)
entonces, para toda se˜nal φ ∈ S se tiene que αφ ∈ S. Ve´amoslo. Para ello, calculamos las derivadas
(αφ)(n)^ =
∑^ n
k=
n k
α(k)φ(n−k).
Como α(k)^ ∈ CSG y φ(n−k)^ ∈ S para todo k ≤ n, se tiene que las funciones α(k)φ(n−k)^ pertenecen a S para todo k ≤ n y, por tanto, tambi´en se tiene que (αφ)(n)^ ∈ S. Obviamente, si la se˜nal α satisface la condici´on (4), podemos definir para toda se˜nal generalizada x ∈ G, el producto generalizado (α · x){φ} = x{φ · α}.
Obviamente, si la se˜nal α satisface la condici´on (4), podemos definir para toda se˜nal generalizada x ∈ G, el producto generalizado (α · x){φ} = x{φ · α}.
Por otra parte, la convoluci´on de se˜nales generalizadas se puede definir de la siguiente forma: Supong- amos que las se˜nales β,̂ β̂ ′, β̂ ′′, · · · pertenecen a S. Entonces, para toda se˜nal x ∈ G se define el producto de convoluci´on
(β ∗ x){φ} :=
−∞
x(t)(φ ∗ β˜)(t)dt,
donde β˜(t) := β(−t). Vamos a probar que entonces se satisface la siguiente importante propiedad:
Teorema 11 (Producto y Convoluci´on) Sean α(t) verificando (4) y x ∈ G. Entonces
α̂ · x =
2 π
α ∗ ̂x.
Demostraci´on. Para empezar, si tenemos en cuenta que α verifica (4), entonces β = α̂ satisface las condiciones necesarias para definir el producto de convoluci´on β ∗ x, puesto que β̂ = α̂̂ = 2πα˜. Sea ϕ ∈ S. Entonces, para toda se˜nal φ ∈ S se tiene que
(̂ϕα){φ} =
−∞
(ϕα)(t)φ̂ (t)dt
−∞
α(t)(φ̂ (t)ϕ(t))dt
2 π
−∞
α(t)
(φ ∗ ̂ϕ˜)(t)dt
2 π
−∞
α(t)(φ ∗ ̂ϕ˜)(t)dt
2 π
−∞
α(t)(φ ∗ ˜̂ϕ)(t)dt
2 π
−∞
(̂α ∗ ϕ̂ )(t)φ(t)dt =
2 π
(α̂ ∗ ϕ̂ ){φ}
lo que demuestra que (̂ϕα) = (^21) π (α̂ ∗ ϕ̂ ) siempre que ϕ ∈ S. En particular, hemos dado una prueba expl´ıcita de que para toda se˜nal ϕ ∈ S se tiene que ϕ ∗ α˜ ∈ S y, por tanto, el producto de convoluci´on ̂ α ∗ ̂x{φ} est´a bien definido. Terminamos la demostraci´on calculando α̂ · x{φ} expl´ıcitamente:
(̂α · x){φ} =
−∞
x(t)α(t)φ̂ (t)dt
−∞
α(t)(φ̂ (t)x(t))dt
2 π
−∞
α(t)
(φ ∗ ̂x˜)(t)dt
2 π
−∞
α(t)(φ ∗ ̂x˜)(t)dt
2 π
−∞
α(t)(φ ∗ ˜̂x)(t)dt
2 π
−∞
(α̂ ∗ x̂ )(t)φ(t)dt =
2 π
(α̂ ∗ ̂x){φ}
- Transformada de Fourier y sistemas LTI: diferentes tipos de
filtros
Ya sabemos que una clase amplia de filtros se pueden representar a trav´es de la convoluci´on contra la respuesta del sistema LTI al impulso unidad (i.e., Lx = x ∗ h, donde h = Lδ). Si tomamos la transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad, obtenemos que el sistema LTI se puede representar en el dominio de la frecuencia como
̂ y = F(Lx) = F(x)F(h) = ̂x · ̂h
Generalmente, se emplea la notaci´on siguiente: X(w) = x̂ (w) representa la entrada del sistema e Y (w) = ̂y(w) representa la salida del sistema (ambas en el dominio de la frecuencia). En tal caso, la
se˜nal H(w) = ̂h(w) caracteriza completamente el sistema (en el dominio de la frecuencia). La se˜nal H(w) recibe el nombre de funci´on de transferencia del sistema. Evidentemente, la f´ormula
Y (w) = X(w)H(w),
que describe completamente el sistema en el dominio de la frecuencia, es m´as sencilla (en principio) que la correspondiente f´ormula en el dominio del tiempo. Esto, adem´as, posee importantes aplica- ciones para el dise˜no de filtros: veamos por qu´e.
