Transformada de Fourier, Apuntes de Ingeniería Matemática

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MATEM¡TICAS V

Bernardo Acevedo.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

Junio 2005

ii

• 1 Series de Fourier
  • 1.1 Funciones Pares e Impares
    • 1.1.1 Propiedades de las funciones pares e impares
  • 1.2 Funciones perÌodicas
    • 1.2.1 Algunas Propiedades
  • 1.3 Criterio de Dirichlet
    • 1.3.1 DerivaciÛn e integraciÛn en series de fourier
  • 1.4 Serie de Fourier en forma Compleja
  • 1.5 Integral de Fourier
  • 1.6 Integral Compleja de Fourier
• 2 Transformada de Fourier
  • 2.1 FunciÛn escalÛn
  • 2.2 Algunas propiedades de las transformadas de Fourier
    • 2.2.1 Linealidad
    • 2.2.2 DilataciÛn
    • 2.2.3 Corrimiento con respecto a la frecuencia
    • 2.2.4 Corrimiento con respecto al tiempo
    • 2.2.5 Propiedad de la derivada
    • 2.2.6 Potencial por f(t)
    • 2.2.7 SimetrÌa
    • 2.2.8 IntegraciÛn en el tiempo
    • 2.2.9 Transformada de una funciÛn periÛdica
    • 2.2.10 ConvoluciÛn
    • 2.2.11 Transformada de fourier del tren inÖnito de impulso
• 3 Transformada Zeta iv CONTENIDO
  • 3.1 Generalidades.
  • 3.2 Algunas propiedades
  • 3.3 Algunos MÈtodos para hallar la inversa
    • 3.3.1 MÈtodo de los residuos
    • 3.3.2 MÈtodo de Fracciones Parciales
    • 3.3.3 MÈtodo de la divisiÛn
    • 3.3.4 MÈtodo de la convoluciÛn
• 4 Ecuaciones derivadas parciales
  • 4.1 Algunas ecuaciones de la fÌsica matem·tica
    • 4.1.1 Punto Ordinario
    • 4.1.2 Punto singular
  • 4.2 EcuaciÛn de Legendre
    • 4.2.1 Polinomios de Legendre.
    • 4.2.2 La fÛrmula de Rodrigues
    • 4.2.3 Algunas propiedades
    • 4.2.4 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre
    • 4.2.5 Serie de Legendre
  • 4.3 EcuaciÛn diferencial de Bessel
    • 4.3.1 Algunas propiedades
    • 4.3.2 EcuaciÛn modiÖcada de Bessel.
  • 4.4 Problema de Sturm Liouville
    • 4.4.1 Ortogonalidad de las funciones propias.
  • 4.5 La ecuaciÛn de Hermite
  • 4.6 La ecuaciÛn de Laguerre
  • 4.7 EcuaciÛn de Chebyshe
  • 4.8 DeÖniciÛn de EcuaciÛn diferencial Parcial
  • 4.9 MÈtodos para solucionar algunas ecuaciones en derivadas parciales
  • 4.10 EcuaciÛn de Laplace en coordenadas polares.

PrÛlogo

El objetivo del presente libro, es el de facilitar al estudiante de las carreras de ingenierÌa, la asimilaciÛn clara de los conceptos matem·ticos tratados, pues es el fruto de un cuidadoso an·lisis de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos con sus debidas respuestas, basado en mi experiencia como docente de la Universidad Nacional sede Manizales. Desde luego que los escritos que se presentan no son originales, ni pretenden serlo, toda vez que es una recopilaciÛn organizada y analizada de diferntes textos y de mi experiencia personal. Este texto constituye un material de consulta obligada de los estudiantes, el cual les genera un di·logo directo con el profesor.

Bernardo Acevedo FrÌas profesor asociado

v

CapÌtulo 1

Series de Fourier

1.1 Funciones Pares e Impares

DeÖniciÛn 1 f(x) es par sii f (x) = f (x) para todo xDf y si f (x) = f (x) para todo xDf entonces f(x) es impar

Ejemplo 1.1 f (x) = x^2 ; f (x) = jxj ; f (x) = cos x; f (x) = jxj cos x; f (x) = x^2 jxj sin^2 x;son funciones pares y f (x) = x^3 ; f (x) = x jxj ; f (x) = sin x; f (x) = sin^3 x cos x; son funciones impares

1.1.1 Propiedades de las funciones pares e impares

1. El producto de funciones pares es par.

En efecto: (f g)(x) = f (x):g(x) = f (x):g(x) = (f g)(x)

2. El producto de funciones impares es par
3. El producto de una funciÛn par por una impar es impar
4. Si f(x) es impar e integrable en [a; a] entonces

R^ a a

f (x)dx = 0

5. Si f(x) es par e integrable en [a; a] entonces

R^ a a

f (x)dx = 2

R^ a 0

f (x)dx

2 CAPÕTULO 1. SERIES DE FOURIER

En efecto,

Z^ a

a

f (x)dx =

Z^0

a

f (x)dx +

Z^ a

0

f (x)dx = 2

Z^ a

0

f (x)dx ya que

Z^0

a

f (x)dx =

Z^0

a

f (u)du =

Z^ a

0

f (u)du =

Z^ a

0

f (x)dx (x = u; dx = du)

1.2 Funciones perÌodicas

DeÖniciÛn 2 f(x) es periÛdica de perÌodo T , si f (x+T ) = f (x) para todo x en el dominio de la funciÛn y al menor T > 0 , tal que f (x + T ) = f (x) se llama el perÌodo de la funciÛn. Ögura 1.

-T 3T

y

(^0) T 2T x

1.2.1 Algunas Propiedades

1. Si f (x) es periÛdica de perÌodo T , entonces nT es un perÌodo de f; nN
2. Si f (x) es periÛdica de perÌodo T , entonces f (M x) con M 6 = 0, es periÛdica de perÌodo T M

En efecto: f (M (x+

T

M

)) = f (M x+T ) = f (M x)

Ejemplo 1.2 f (x) = sin x = sin(x + 2) = sin(x + 4) = sin(x + 2n) y f (x) = cosx = cos(x + 2) = cos(x + 4) = cos(x + 2n); tienen perÌodo T = 2, el menor T > 0

4 CAPÕTULO 1. SERIES DE FOURIER

Ejemplo 1.6 la funciÛn

f (t) = sent + sen( t 2

no es periÛdica ya que

1 2

= 2 no es un n˙mero racional

3. Si f (x) es periÛdica de perÌodo T entonces

Z^ T

0

f (x)dx =

CZ +T

C

f (x)dx C cualquier n˙mero real

DeÖniciÛn 3 Dos funciones f (x) y g(x) se dicen ortogonales en un intervalo a  x  b si (^) b Z

a

f (x)g(x)dx = 0

Ejemplo 1.7 f (x) = x y g(x) = x^2 , son ortogonales en 1  x  1 ; ya que

Z^1

1

xx^2 dx =

Z^1

1

x^3 dx = 0

Un conjunto de funciones reales f' 0 (x); ' 1 (x); ' 2 (x); :::g se dice ortogonal en un intervalo a  x  b si Zb

a

'n(x)'m(x)dx = 0 para m 6 = n

Ejemplo 1.8 El conjunto de funciones reales n 1 ; sin nx L ; cos nx L ; n = 1; 2 ; 3 ; ::

o

es un sistema ortogonal en L  x  L

En efecto hay que mostrar que :

ZL

L

sin nx L dx = 0;

(ya que el integrando es una funciÛn impar)

1.2. FUNCIONES PERÕODICAS 5

ZL

L

cos nx L

dx =

L

Z^ 



cos nudu =

2 L

n

[sin nx] 0 = 0

ZL

L

sin nx L cos mx L dx = 0

(ya que el integrando es una funciÛn impar)

ZL

L

cos nx L cos mx L dx = 0 para m 6 = n

En efecto, si u = x L entonces

Z^ L

L

cos nx L cos mx L dx =

L

Z^ 



cos n u cos m u du =

L

Z^ 



cos(m + n )u + cos(m n)u du

L

sin (m + n) u m + n

sin (m n) u m n



= 0 m 6 = n

ZL

L

sin nx L sin mx L dx = 0 para m 6 = n

(Ejercicio)

DeÖniciÛn 4 Una funciÛn f(x) se dice seccionalmente continua en [a; b] ; si f est· acotada en [a; b] y si existe un n˙mero Önito de discontinuidades, estas deben ser de salto

Ejemplo 1.9 f (x) = x^2 es seccionalmente continua en cualquier intervalo [a; b]

1.3. CRITERIO DE DIRICHLET 7

Como f (x) = a 0 2

X^1

n=

an cos nx L

• bn sin nx L

entonces D f (x); cos

nx L

E

a 0 2

X^1

n=

an cos

nx L

• bn sin

nx L ; cos

nx L

por lo tanto D f (x); cos

nx L

E

Z^ L

L

f (x) cos

nx L dx y

a 0 2

X^1

n=

an cos nx L

• bn sin nx L ; cos nx L

Z^ L

L

a 0 2

X^1

n=

an cos nx L

• bn sin nx L

cos nx L dx =

Z^ L

L

a 0 2

cos nx L

dx +

Z^ L

L

a 1 cos x L

• b 1 sin x L

cos nx L

dx + :::::

Z^ L

L

an cos nx L

• bn sin nx L

cos nx L

dx + :: =

Z^ L

L

an cos^2 nx L dx = an

ZL

L

B

1 + cos 2 nx L 2

C

A dx^ =^ anL

(pues las dem·s integrales son cero) luego

D f (x); cos nx L

E

Z^ L

L

f (x) cos nx L dx =

Z^ L

L

an cos^2 nx L dx = an

ZL

L

B

1 + cos 2 nx L 2

C

A dx^ =^ anL

entonces

an =

L

Z^ L

L

f (x) cos nx L dx

8 CAPÕTULO 1. SERIES DE FOURIER

Se ha utilizado el desarrollo ortogonal en [L; L] de f 1 ; sin nx L ; cos nx L ; n = 1; 2 ; 3 ; ::; g

con cos nx L

; en forma an·loga para calcular a 0 ; hacer el desarollo ortogonal de

f 1 ; sin nx L

; cos nx L

; n = 1; 2 ; 3 ; ::; g

con 1 en [L; L], y para hallar bn hacer el desarollo ortogonal de

f 1 ; sin nx L ; cos nx L ; n = 1; 2 ; 3 ; ::; g

con sin nx L

en [L; L]

Ejemplo 1.13 Hallar la serie de Fourier de la funciÛn

f (x) =

0 si  < x < 0  x si 0  x <  f^ (x^ + 2) =^ f^ (x)^ Ögura 1.

En efecto: El perÌodo de la funciÛn es T = 2 = 2L L =  entonces

π 4 π 5 π

5 π-x

x

y

3π-x

−π (^) 2π 3π

π−x

0

a 0 =

L

Z^ L

L

f (x)dx =

Z^ 



f (x)dx =

Z^0



0 dx +

Z^ 

0

( x)dx

x x^2 2

0

10 CAPÕTULO 1. SERIES DE FOURIER

Ahora si en la igualdad

X^1

n=

1 (1)n n^2 

cos nx +

n

sin nx =

0 si  < x < 0  x si 0 < x <   + 0 2

si x = 0 0+ 2 = 0^ si^ x^ =^ 

remplazamos x por x = 0 obtenemos

 4

X^1

n=

1 (1)n n^2 

cos n0 +

n sin n0 =

X^1

n=

1 (1)n n^2 

luego  4

X^1

n=

1 (1)n n^2 

es decir (^1) X

n=

1 (1)n n^2 

y asÌ X^1

n=

1 (1)n n^2

^2

es decir

1 +

^2

Ejemplo 1.14 Hallar la serie de Fourier de la funciÛn

f (x) = jxj   x   f (x + 2) = f (x) f igura 1 : 3

En efecto: El perÌodo de la funciÛn es T = 2 = 2L; L =  entonces

a 0 =

L

Z^ L

L

f (x)dx =

Z^ 



f (x)dx =

Z^ 



jxj dx =

Z^ 

0

jxj dx =

Z^ 

0

xdx = 

1.3. CRITERIO DE DIRICHLET 11

4 π-x

4 π

x−2π

2π-x -x x

x

y

−π (^0) π 2π 3π

an =

L

Z^ L

L

f (x) cos nx L

dx =

Z^ 



jxj cos nxdx =

Z^ 

0

x cos nxdx =

x sin nx n

cos nx n^2

0

2(cos n 1) n^2

2 ((1)n^ 1) n^2

bn =

L

Z^ L

L

f (x) sin nx L dx =

Z^ 



f (x) sin nxdx =

Z^ 



jxj sin nxdx = 0 ( jxj sin nx es Impar)

por lo tanto la serie de Fourier est· dada por

 2

X^1

n=

2 ((1)n^ 1) n^2

cos nx = jxj^ si^ ^ ^ x^ ^ 

Si se desea hallar la serie de Fourier de la funciÛn

f (x) =

x 6  si 6   x < 7  8  x si 7   x  8  f^ (x^ + 2) =^ f^ (x)^ T^ = 2

Èsta coincide con la serie anterior, pues por ejemplo

a 0 =

L

Z^ L

L

f (x)dx = a 0 =

Z^ 



f (x)dx =

Z+7

+7

f (x)dx =

Z^8 

6 

f (x)dx

Z^7 

6 

(x 6 ) dx +

Z^8 

7 

(8 x)dx = 

1.3. CRITERIO DE DIRICHLET 13

Z^ 

0

x sin nxdx =

x cos nx n

sin nx n^2

0

2  cos n n

2(1)n+ n

entonces la serie de Fourier es

X^1

n=

2(1)n+ n

sin nx =

x si  < x <  0 si x =  0 si x = 

Ejemplo 1.16 Hallar la serie de Fourier de la funciÛn

f (x) = x^2  < x <  f (x + 2) = f (x)

En efecto: El perÌodo de la funciÛn es T = 2 = 2L; L =  entonces

a 0 =

L

Z^ L

L

f (x)dx =

Z^ 



f (x)dx =

Z^ 

0

x^2 dx =

2 ^2

an =

L

Z^ L

L

f (x) cos nx L dx =

Z^ 



f (x) cos nxdx =

Z^ 

0

x^2 cos nxdx

x^2 sin nx n

2 x cos nx n^2

2 sin nx n^3

0

4(1)n n^2

bn =

L

Z^ L

L

f (x) sin

nx L dx =

Z^ 



f (x) sin nxdx = 0

por lo tanto, la serie de Fourier de la funciÛn est· dada por

^2 3

X^1

n=

4(1)n n^2

cos nx = x^2 si^ ^ ^ x^ ^ 

Ahora podemos aÖrmar que

x + x^2 4

^2

X^1

n=

(1)n

cos nx n^2

2 sin nx n

 < x < 

14 CAPÕTULO 1. SERIES DE FOURIER

Ejemplo 1.17 Hallar la serie de Fourier de la funciÛn

f (x) = x 0 < x < 2  f (x + 2) = f (x)

En efecto: El perÌodo de la funciÛn es T = 2 = 2L; L =  entonces

a 0 =

L

Z^ L

L

f (x)dx =

Z^ 



f (x)dx =

Z^2 

0

f (x)dx =

Z^2 

0

xdx = 2

an =

L

Z^ L

L

f (x) cos nx L dx =

Z^ 



f (x) cos nxdx =

Z^2 

0

x cos nxdx

x sin nx n

cos nx n^2

0

bn =

L

Z^ L

L

f (x) sin nx L dx =

Z^ 



f (x) sin nxdx =

Z^2 

0

x sin nxdx

x cos nx n

sin nx n^2

0

n

por lo tanto, la serie de Fourier de la funciÛn est· dada por

X^1

n=

n sin nx =

x si 0 < x < 2   si x = 0  si x = 2

Ejemplo 1.18 Hallar la serie de Fourier de la funciÛn

f (x) = x^2 0 < x < 2  f (x + 2) = f (x) Ögura 1.