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”Je vous conseille de douter de tout, except´e que les trois angles d’un triangle sont ´egaux `a deux droit” Voltaire
PR ´ACTICA VII - TRIGONOMETR´IA
En un tri´angulo distinguimos:
-3 v´ertices: A, B y C
-3 lados: a, b y c
-3 ´angulos: α, β y γ
P.1. Argumentar por qu´e no existe un tri´angulo con tres lados a = 2, b = 7 y c = 10.
P.2. Argumentar por qu´e no existe un tri´angulo con dos ´angulos α y β iguales ambos a un ´angulo recto.
Entre los lados y los ´angulos de un tri´angulo hay ciertas relaciones, que vamos a describir, y que permiten conocer los tres lados y tres ´angulos de un tri´angulo conociendo solo unos pocos datos.
Teorema. Los tres ´angulos de un tri´angulo suman dos rectos. As´ı α + β + γ = π. Observemos que si conocemos:
A) dos lados y el ´angulo entre ellos, el tri´angulo queda determinado
B) dado un lado y dos ´angulos,el tri´angulo queda determinado.
As´ı hemos visto, gr´aficamente, que con tres datos es posible determinar todo el tri´angulo. La trigonometr´ıa ense˜na a conocer n´umericamente los seis datos de un tri´angulo cono- ciendo solo tres. Los Teoremas de Pit´agoras y Tales son esenciales en lo que sigue. Record´emoslos. 1
Teorema de Pit´agoras. En un tri´angulo rect´angulo h^2 = a^2 + b^2
P.3. Deducir que en un tri´angulo cualquiera la altura sobre el lado mayor cae dentro de dicho lado
(Indicaci´on: Suponer que el pie de la altura cae fuera del lado y de ello encontrar una contradicci´on ).
Definici´on. Dos tri´angulos son semejantes si tiene los tres ´angulos iguales.
Si sobreponemos dos ´angulos iguales de dos tri´angulos semejantes:
Teorema de Tales. Dados dos tri´angulos semejantes como los de la figura anterior se cumplen las siguientes igualdades:
A′B′ AB
A′C′
AC
B′C′
BC
P.4. La torre donde el drag´on custodia a la doncella proyecta una sombra de unos 10m de larga. A su vez un palo de un metro proyecta una sombra de 45cm. ¿Qu´e altura ha de tener la escalera que permita escapar a la doncella?
P.5. (Teorema de la Altura) Dado un tri´angulo rect´angulo ∆ABC y H el pie de la altura sobre la hipotenusa, comprobar que h^2 = AH × HC (Indicaci´on: ver que ∆AHB y ∆BHC son tri´angulos semejantes ).
(Ind´ıcaci´on: usar el teorema de Tales ).
As´ı como con la cinta m´etrica se miden longitudes, existen aparatos, los teodolitos, que miden ´angulos.
P.9. En el problema P.4., las llamas del drag´on nos imped´ıan acercar la cinta m´etrica a la base de la torre, por ello dimos una estimaci´on de la longitud de su sombra. Ahora con el teodolito medimos los ´angulos π 4 y π 8 , y con la cinta m´etrica (¡lejos de las llamas!) AB = 200m. ¿Cu´al es la altura de la torre?
(Indicaci´on: tan π 4 = (^) HAh y tan π 8 = (^) HAh+200 ; usar P.8. para hallar la altura h ).
P.10. De un tri´angulo se conocen la longitud de dos lados: 3 y 7; y el ´angulo que forman entre ellos: 22,5^0. ¿Cu´al es el ´area del tri´angulo
P.11. Las ciudades A y B van a ser unidas por tren. Entre ellas hay una monta˜na que tendr´a que ser perforada. Desde un punto C, desde el que se ven A y B, se miden las distancias CA = 3Km y CB = 27km, as´ı como el ´angulo < ACB = 135o. Determinar la longitud de la v´ıa.
P.12. Calcular el ´angulo β del tri´angulo del dibujo.
(Indicaci´on: es suficiente con calcular sen β ).
F ´ORMULAS TRIGONOM´ETRICAS
Las funciones seno, coseno y tangente aparecen en muchos c´alculos. Las siguientes igualdades son utiles al manipular esta funciones. Si α y β son ´angulos:
cos^2 α + sen^2 α = 1 2) cos(π 2 − α) = sen α
sen(α + β) = cos α sen β + sen α cos β 4) sen 2α = 2 cos α sen α
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β 6) cos 2α = cos^2 α − sen^2 α
P.13. Deducir 4) de 3). Calcular cos π 8 y sen π 8. P.14. Si α ∈ [0, π 2 ), del siguiente dibujo deducir 2).
(Indicaci´on: usar que los ´angulos de un tri´angulo suman π y usar P.8.).
P.15. Si α y β son ´angulos cuya suma es menor que π, deducir del siguiente dibujo la igualdad 3).
(Indicaci´on:´areaT = ´areaT 1 + ´areaT 2 ; usar adem´as P.10. ).
P.16. Deducir de las f´ormulas trigonom´etricas que
cos^2 α =
1 + cos 2 α 2
