M´
ETODOS MATEM ´
ATICOS DE LA INFORM´
ATICA
2. Espacios vectoriales
2.1. Demostrar que el conjunto 𝐴={𝑎+𝑏√2 : 𝑎, 𝑏 ∈ℚ}respecto de las operaciones
(𝑎+𝑏√2) + (𝑎′+𝑏′√2) = 𝑎+𝑎′+ (𝑏+𝑏′)√2
𝛼(𝑎+𝑏√2) = 𝛼𝑎 +𝛼𝑏√2
es un espacio vectorial sobre ℚ.
2.2. Estudiar si el conjunto 𝐴={(𝑥, 𝑦) : 𝑥, 𝑦 ∈ℝ}respecto de las operaciones
(𝑥, 𝑦)+(𝑥′, 𝑦′)=(𝑥+𝑥′, 𝑦 +𝑦′)
𝛼(𝑥, 𝑦)=(𝛼𝑥, 0)
es un espacio vectorial sobre ℝ.
2.3. a) Sea ℚ(√2) := {𝑎+𝑏√2 : 𝑎, 𝑏 ∈ℚ}. Prueba que ℚ(√2) es un espacio vectorial sobre el
cuerpo ℚ. ¿Tiene en este conjunto soluci´on la ecuaci´on 𝑥2−2 = 0?
b) Sea ℚ(𝑖) := {𝑎+𝑏𝑖 :𝑎, 𝑏 ∈ℚ. Prueba que ℚ(𝑖) es un espacio vectorial sobre el cuerpo ℚ.
¿Tiene en este conjunto soluci´on la ecuaci´on 𝑥2+ 1 = 0?
2.4. Calcular el valor de 𝑎y𝑏para que el vector −→
𝑣= (𝑎, −2,1, 𝑏) se pueda expresar como
combinaci´on lineal de los vectores −→
𝑢1= (1,2,3,4) y −→
𝑢2= (−1,0,−2,3).
2.5. Siendo −→
𝑢1= (−5,2,8,−16),−→
𝑢2= (−5,3,17,−14) y −→
𝑢3= (1,1,11,6),expresa −→
𝑢1como
combinaci´on lineal de −→
𝑢2y−→
𝑢3.
2.6. Sea {−→
𝑢1,−→
𝑢2,−→
𝑢3}un sistema de vectores de (ℝ3,+, .ℝ),tal que −→
𝑢1= (1,2,3),−→
𝑢2= (2,1,0) y
−→
𝑢3= (−1,−1,0).Demostrar que estos vectores forman una base de ℝ3y calcular las coordenadas
del vector (1,−1,0) respecto de esta base.
2.7. En el espacio vectorial (𝑉3,+, .ℝ),demostrar que si los vectores {−→
𝑢1,−→
𝑢2,−→
𝑢3}forman una
base, tambi´en es una base la formada por los vectores {−→
𝑣1,−→
𝑣2,−→
𝑣3}siendo
−→
𝑣1=−→
𝑢1+ 2−→
𝑢2,−→
𝑣2= 2−→
𝑢1−−→
𝑢2,−→
𝑣3=−→
𝑢3
2.8. Demostrar que el conjunto formado por los vectores
{1 + 𝑥, 𝑥2,1 + 𝑥2,3𝑥−2𝑥2}
es linealmente dependiente en el espacio de los polinomios con coeficientes racionales y grado
menor o igual que dos. A partir de dicho conjunto, encontrar un conjunto m´aximo de vectores
linealmente independientes.
