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EJERCICIOS SELECTIVIDAD

MATEMÁTICAS APLICADAS A

LAS CIENCIAS SOCIALES II

LOGSE - 2º BACHILLERATO

EJERCICIO 10 : Junio 99-00. Optativa (3 ptos)

Una tienda de música ha obtenido 247250 ptas por la venta de 220 cintas de música

clásica, rock y folk. Sabiendo que la cinta clásica cuesta 1250 ptas, que las otras dos son

un 10 % y un 20 % más baratas que aquella, respectivamente, y que la suma de las

cintas de rock y folk es el triple que las de clásica, halla el número de cintas vendidas de

cada tipo de música.

EJERCICIO 11 : Septiembre 99-00. Obligatoria (1 pto)

Todo sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas es compatible, ¿verdadero o falso?

EJERCICIO 12 : Junio 00-01. Optativa (3 ptos)

Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemas siguientes:

2x + y = 3 x + y – 2z = 1

• 2x + y = - 6 2x – y + 4z = 7
• 6x + 3y = - 3 4x + y = 9

EJERCICIO 13 : Septiembre 00-01. Optativa (3 ptos)

Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemas siguientes:

x + y + z = 2 2x – y + 3z = 3

2x – 3y + z = 3 x + z = 1

• x – 7y – z = - 2 4x – y + 5z = 5

EJERCICIO 14 : Junio 01-02. Obligatoria (1 pto)

Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea compatible

indeterminado.

EJERCICIO 15 : Septiembre 01-02. Optativa (3 ptos)

Discute y resuelve (si son compatibles) los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

3 x 2 y z 2

x y 2 z 3

2 x y z 5

3 x y 0

x 2 y 4

2 x 2 y 3

EJERCICIO 16 : Junio 02-03. Obligatoria (1 pto)

Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea incompatible.

EJERCICIO 17 : Septiembre 02-03. Optativa (3 ptos)

En un taller de confección se han gastado un total de 300 euros en telas de tres precios:

6 euros/metro, 9 euros/metro y 12 euros/metro. En total se han comprado 32 metros, y

del precio mediano se ha comprado un metro más que del precio más barato. Calcula

cuántos metros se han comprado de cada precio.

EJERCICIO 18 : Junio 03-04. Obligatoria (1 pto)

Todo sistema con más ecuaciones que incógnitas es incompatible. ¿Verdadero o falso?

EJERCICIO 19 : Septiembre 03-04 Optativa (3 ptos)

Discute y resuelve (si son compatibles) los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

3 x 2 y z 5

2 x y z 2

x y 2 z 5

2 x 5 y 1

x 3 y 0

x 2 y 1

EJERCICIO 20 : Junio 04-05. Optativa (3 ptos)

Tres hermanos quieren reunir 26 euros para comprar un regalo a sus padres. Después de

una larga discusión han decidido que el mediano debe poner el doble que el pequeño y

el mayor debe poner dos terceras partes de lo que ponga el mediano. ¿Cuánto debe

poner cada uno?

EJERCICIO 21 : Septiembre 04-05. Optativa (3 ptos)

En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El

número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de

los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero

superan en 250 al quíntuplo de los tercero. Calcula el número de alumnos que hay

matriculados en cada curso.

EJERCICIO 22 : Junio 06-07. Obligatoria 81 pto)

Un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? En

caso afirmativo, da un ejemplo.

MATRICES

EJERCICIO 2 3 : Junio 97-98. Obligatoria (1 pto)

¿Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar?

EJERCICIO 2 4 : Septiembre 97-98. Obligatoria (1 pto)

¿Qué se puede decir acerca de las dimensiones de una matriz A si se sabe que se puede

calcular su cuadrado A

2 = A.A?

EJERCICIO 2 5 : Junio 98-99. Obligatoria (1 pto)

¿Cómo tienen que ser dos matrices, A y B, para que su producto AB sea un escalar?

¿Cómo será entonces B.A?

EJERCICIO 2 6 : Junio 99-00. Obligatoria (1 pto)

De una matriz A se sabe que se transpuesta es A

t = (2 4 1). Calcula A.A

t y A

t .A.

EJERCICIO 2 7 : Septiembre 99-00. Optativa (1 pto)

El producto de una matriz por su transpuesta siempre es una matriz cuadrada,

¿verdadero o falso?

EJERCICIO 2 8 : Junio 00-01. Obligatoria (1 pto)

Sean las matrices: A = (1 - 1 1) B = 

Calcula el producto A.B

t .B.A

t

EJERCICIO 2 9 : Septiembre 00-01. Obligatoria (1 pto)

Sea la matriz A = (a b c). Calcula AA

t y A

t A

EJERCICIO 30 : Junio 01-02. Obligatoria (1 pto)

Sea la matriz 2 x 2 : A = 

a 3 Calcula el valor de “a” sabiendo que A.A

t es una

matriz diagonal

EJERCICIO 3 1 : Septiembre 01-02. Obligatoria (1 pto)

Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa:

M =

2 5 a

EJERCICIO 43 : Septiembre 06-07. Obligatoria (1 pto)

Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa:

M =

a 5 0

SISTEMAS CON PARÁMETROS

EJERCICIO 4 4 : Junio 94-95. Optativa (3 ptos)

Discutir y resolver el siguiente sistema, según los distintos valores del parámetro m:

x + my + z = 3m

x – y + z = 2

mx + y = 4m

EJERCICIO 4 5 : Septiembre 94-95. Optativa (3 ptos)

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

x + ay + z = a + 2

x + y + az = - 2(a + 1)

ax + y + z = a

Determinar los valores de a para los cuales no se puede aplicar la regla de Cramer y

resolverlo en estos casos.

EJERCICIO 4 6 : Junio 95-96. Optativa (3 ptos)

Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k. Encontrar las soluciones

si para algún valor de k el sistema es compatible.

2x + y – z = 3

x + 2y + 3z = 2

x – y + kz = 1

3x + 2y + 2z = 2

EJERCICIO 4 7 : Septiembre 95-96. Optativa (4 ptos)

Estudiar el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro a. Resolverlo en

los casos de compatibilidad si los hay.

x – y + z = 2

x + ay + z = 8

ax + y + az = 10

EJERCICIO 4 8 : Junio 96-97. Optativa (3 ptos)

Discutir y resolver el siguiente sistema según los distintos valores del parámetro a:

ax + y – z = 1

x + 2y + z = 2

x + 3y – z = 0

EJERCICIO 4 9 : Septiembre 96-97. Optativa (4 ptos)

Estudiar el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro k. Resolverlo en

los casos de compatibilidad si los hay.

3x + ky = 1

2x – y + kz = 1

kx – 3y + 2z = 1

EJERCICIO 50 : Junio 97-98. Optativa (3 ptos)

Discute el siguiente sistema en función de los valores del parámetro k. Resuélvelo

cuando sea compatible.

x + y + z = 0

kx + 2z = 0

2x – y + kz = 0

EJERCICIO 51 : Junio 98-99. Optativa (2 ptos)

Discute y resuelve (si es compatible) el sistema siguiente:

4x – 4z = 0

x – y + az = 0

• x – ay – z = 0

PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIO 52 : Junio 94-95. Optativa (3 ptos)

Una fábrica de ropa suministra a una tienda de ropa vaquera pantalones y chaquetas y

dispone de 300 metros de tela para su fabricación. Para confeccionar una chaqueta se

necesitan 4 metros de tela y para un pantalón 2 metros. Sabiendo que el precio de venta

de la fábrica a la tienda es de 2000 ptas la chaqueta y de 1200 ptas el pantalón. Se pide

calcular el número de prendas de cada tipo que se deben fabricar para obtener el

máximo beneficio. Se sabe además que por falta de existencias de botones en la fábrica,

no se pueden confeccionar más de 35 chaquetas ni tampoco más de 60 pantalones.

EJERCICIO 5 3 : Septiembre 94-95. Optativa (3 ptos)

La capacidad de montaje de un taller de electrónica es de 140 televisores por día y de

240 radios, también por día. El número diario total de aparatos está limitado a 210,

cantidad máxima que puede ser revisada por los técnicos de control de calidad.

¿ Cuál debería ser la producción de cada tipo de aparato si se pretende obtener un

beneficio máximo y los precios de venta son los siguientes: precio del televisor =

110.000 ptas; precio de la radio = 25.000 ptas?. Determinar el beneficio máximo.

EJERCICIO 5 4 : Septiembre 95-96. Optativa (4 ptos)

Un pastelero fabrica dos tipos de pasteles de chocolate C 1 y C 2. El pastel C 1 se hace con

1 litro de leche y 0,2 Kg de cacao y el pastel C 2 con 1 litro de leche y 0,4 Kg de cacao.

Por cada pastel del tipo C 1 se obtiene un beneficio de 200 ptas y por cada pastel del tipo

C 2 se obtiene un beneficio de 350 ptas. La maquinaria disponible sólo le permite

fabricar como máximo 100 pasteles de cada tipo al día. Si se le suministran diariamente

120 litro de leche y 40 kilos de cacao. ¿Cuántos pasteles de cada tipo debe fabricar y

vender para que el beneficio obtenido sea máximo?

EJERCICIO 5 5 : Septiembre 96-97. Optativa (4 ptos)

En una fábrica se producen dos tipos de juguetes J 1 y J 2. El beneficio en J 1 es de 300

ptas y en J 2 es de 200 ptas. J 1 necesita 3 horas de fabricación de las piezas, 6 horas de

montaje y 5 horas de embalaje y J 2 necesita 6 horas de fabricación, 4 horas de montaje y

5 horas de embalaje. Debido a las características técnicas de las máquinas se dispone de

54 horas para la fabricación de las piezas, 48 horas para el montaje y 50 para el

EJERCICIO 62 : Septiembre 04-05. Optativa (1 pto)

Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones:

x  0, 0  y  2, y + 2x  4

EJERCICIO 6 3 : Junio 05-06. Optativa (3 ptos)

Una fábrica de conservas recibe el encargo de preparar dos tipos de lotes de fruta en

almíbar. Dispone para ello de 7.500 botes de melocotón, 6.000 botes de piña y 6.

botes de pera. Los lotes de tipo A están formados por 2 botes de melocotón, 2 botes de

piña y 2 botes de pera y se venden a 20 euros. Los de tipo B, están formados por 3 botes

de melocotón, 2 botes de piña y 1 bote de pera y se venden a 25 euros. Plantea y

resuelve el problema de programación lineal que nos proporciona el número de lotes de

cada tipo que debe producir la fábrica para que los ingresos sean máximos.

EJERCICIO 64 : Septiembre 05-06. Optativa (3 ptos)

Una bodega decide lanzar al mercado su nueva marca de vino. Dispone para ello de 900

botellas de blanco, 1200 de tinto de año y 1500 de crianza. Dispone las botellas en dos

tipos de lotes, uno con dos botellas de crianza y una de blanco, y el otro con tres

botellas de vino del año, 2 de blanco y una de crianza. El precio de cada uno de los lotes

es de 15 euros y 20 euros respectivamente. ¿Cuántos lotes ha de preparar de cada clase

para obtener un ingreso máximo? ¿Cuál es dicho ingreso?

EJERCICIO 65 : Junio 06-07. Optativa (3 ptos)

Un supermercado tiene para vender un máximo de 200 quesos y 100 botellas de vino.

Para ello lanza dos promociones, en la primera se vende un lote con un queso y una

botella de vino por 9 euros. En la segunda se ofrece un lote formado por tres quesos y

una botella de vino por 15 euros. La promoción tiene un límite máximo de 65 lotes del

primer tipo y 80 del segundo tipo. ¿Cuántos lotes de cada tipo se han de vender para

obtener unos ingresos máximos? ¿Cuáles son dichos ingresos?

EJERCICIO 66 : Septiembre 06-07. Optativa (3 ptos)

Una empresa de construcción está formada por 20 oficiales y 12 peones. Para su

siguiente trabajo se tienen que distribuir en grupos de dos tipos:

o Tipo A: Un oficial y un peón.

o Tipo B: Dos oficiales y un peón

Los grupos de tipo A tienen unos ingresos de 1.500 euros mensuales. Los grupos de tipo

B tienen unos ingresos de 2.000 euros mensuales. Determina cómo se han de distribuir

los trabajadores para obtener los ingresos máximos.

BLOQUE II - FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD

EJERCICIO 6 7 : Junio 94-95. Optativa (2 ptos)

Hallar el siguiente límite:

x

x 3

2

2

x

2

x 1

x x 1 lim



 

EJERCICIO 6 8 : Junio 94-95. Optativa (2 ptos)

Sea la función f(x) definida como sigue: f(x) =

2x six 0

0 six 0

six 0

1 x

Estudiar la continuidad de f(x) en todo punto de R (reales)

EJERCICIO 6 9 : Junio 99-00. Obligatoria (1 pto)

Hallar k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos:

f(x) =

x 2 x 8 six 5 3

x k six 5

2

EJERCICIO 70 : Junio 01-02. Obligatoria (1 pto)

Calcula la constante k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos

f(x) =

4x k six 5

x 1 six 5

2

EJERCICIO 71 : Septiembre 01-02. Obligatoria (1 pto)

Calcula el valor de k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos:

f(x) =

six 3

2

x 3

k six 3

EJERCICIO 72 : Junio 02-03. Obligatoria (1 pto)

Calcula la constante k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos:

EJERCICIO 73 : Septiembre 03-04. Obligatoria (1 pto)

Calcula el valor de k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos:

f(x) =

2x k six 2

x six 2 2

EJERCICIO 74 : Junio 05-06. Obligatoria (1 pto)

EJERCICIO 83 : Septiembre 01-02. Obligatoria (1 pto)

Calcula la derivada de la función: f(x) = ln (x

2

(ln representa la función logaritmo neperiano)

EJERCICIO 84 : Septiembre 02-03. Obligatoria (1 pto)

Sean las funciones f 1 (x) = ln x, f 2 (x) = x

2

. Calcula y simplifica las derivadas de

f 1 (x)f 2 (x) y f 1 (x)/f 2 (x)

EJERCICIO 85 : Septiembre 03-04. Obligatoria (1 pto)

Calcula la derivada de la función f(x) =

2

x

x 2 



EJERCICIO 86 : Junio 04-05. Obligatoria (1 pto)

Calcula y simplifica la derivada de la función f(x) =

x 1

x 1

2 

EJERCICIO 87 : Septiembre 04-05. Obligatoria (1 pto)

¿Qué se puede decir de la gráfica de una función f(x) si se sabe que f´(1) = 0, f ´´(1) < 0,

f ´(3) = 0 y f´´(3) > 0?

EJERCICIO 88 : Junio 05-06. Obligatoria (1 pto)

Determina el polinomio p(x) = ax

2

• bx + c que pasa por el punto (1,2) y tiene un

mínimo en el punto (-1,-6)

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIO 8 9 : Septiembre 94-95. Optativa (1,5 ptos)

Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto (4,5) determina en el primer

cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.

EJERCICIO 90 : Junio 95-96. Optativa (4 ptos)

De todos los triángulos que al menos tienen dos lados iguales, inscritos en una

circunferencia de radio R. ¿Cuál es el de mayor área?. Justificar la respuesta.

EJERCICIO 91 : Septiembre 95-96. Optativa (3 ptos)

Queremos construir un depósito con una capacidad de 1.000 litros, que tenga forma de

prisma de base cuadrada. El coste de los materiales utilizados en la construcción es el

siguiente: 20 pesetas por dm

2 para las caras laterales

25 pesetas por dm

2 para la base

40 pesetas por dm

2 para la tapa

Determinar las dimensiones del depósito para que el coste económico de su

construcción sea mínimo.

EJERCICIO 92 : Junio 96-97. Optativa (4 ptos)

De una cartulina rectangular de dimensiones a y b se recortan cuatro cuadrados (uno en

cada esquina) y con la superficie resultante se construye una caja. ¿Cómo deben hacerse

los recortes para que la caja tenga volumen máximo?

EJERCICIO 93 : Junio 96-97. Optativa (4 ptos)

Sean A y B dos puntos situados en un mismo semiplano de los dos que tienen por borde

la recta r. La distancia del punto A a la recta r es a y la distancia de B a la recta r es b.

Encontrar sobre r, un punto C de tal manera que el recorrido AC + CB sea mínimo.

EJERCICIO 94 : Septiembre 96-97. Optativa (3 ptos)

El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demostrar que si se

rompe en dos trozos, existe una depreciación de su valor y que esta depreciación es

máxima si los dos trozos son iguales.

EJERCICIO 95 : Septiembre 98-99. Optativa (3 ptos)

¿Qué punto de la recta 3x – y – 2 = 0 está más cerca del origen de coordenadas?

EJERCICIO 96 : Septiembre 99-00. Optativa (3 ptos)

Halla dos números a y b tales que a.b = 100 y a

2

• b

2 sea mínimo.

EJERCICIO 97 : Junio 01-02. Optativa (3 Ptos)

La producción de x unidades de un artículo en una empresa tiene un coste que se puede

expresar mediante la función C(x) = 1500x + 1000000, y cada unidad producida se

venderá a un precio dado por P(x) = 4000 – x

a) Calcula la función que expresa el beneficio obtenido por la venta de x unidades.

b) ¿Cuántas unidades hay que producir para no tener pérdidas?

c) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto

asciende dicho beneficio máximo?

EJERCICIO 98 : Junio 02-03. Optativa (3 ptos)

El encargado del alquiler de hamacas de una playa ha comprobado que, cobrando la

hora a 5 euros vende diariamente 200 horas. Por cada 10 céntimos que aumenta el

precio, vende dos horas menos al día. El ayuntamiento de la ciudad le cobra un canon de

4 euros por hora de hamaca.

a) ¿A qué precio será máximo el beneficio diario del encargado?

b) Para dicho precio, ¿cuántas horas venderá? ¿a cuánto ascenderá el beneficio

obtenido?

EJERCICIO 9 9 : Septiembre 02-03. Optativa (3 ptos)

Una empresa petrolera dispone de un stock de 50000 barriles que podría vender a 30

euros/barril. Sin embargo, el mercado del petróleo se encuentra en fase alcista,

estimándose que el precio del barril aumentará 0,5 euros cada semana que transcurra.

Los costes de almacenamiento ascienden a 1000 euros/semana, y además cada semana

se pierden pedidos de 1000 barriles debido a los clientes que acuden a otros

proveedores. Calcula cuándo interesa vender el stock para obtener el máximo beneficio

posible, y a cuánto asciende dicho beneficio.

EJERCICIO 100 : Septiembre 04-05. Optativa (3 ptos)

La suma de tres números positivos es 60. El primero, el doble del segundo y el triple del

tercero suman 120. Halla los números que cumplen estas condiciones de manera que su

producto sea máximo.

EJERCICIO 101 : Junio 06-07. Optativa (3 ptos)

Determina cómo tienen que ser tres números reales positivos para que su suma valga

100, la suma del primero más 2 veces el segundo más tres veces el tercero valga 200 y

su producto sea lo mayor posible.

EJERCICIO 1 11 : Septiembre 97-98. Obligatoria (1 pto)

¿Qué se puede decir acerca de la gráfica de una función f(x) si se sabe que f(1)=f(3)= 0,

f ‘(2) = 0 y f ‘’ (2) > 0?

EJERCICIO 1 12 : Septiembre 98-99. Optativa (3 ptos)

Sea la función: f(x) =

x 1

3 x

2

2

a) Calcula sus asíntotas

b) Calcula sus extremos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento

c) Represéntala gráficamente.

EJERCICIO 1 13 : Junio 99-00. Optativa (3 ptos)

Sea la función: f(x) =

 

2

2

x

x  1

a) Calcula sus asíntotas horizontales y verticales

b) Calcula sus máximos, mínimos y puntos de inflexión

c) Represéntala gráficamente (Basándote en los resultados de los apartados anteriores y

cualquier otro que puedas necesitar)

EJERCICIO 1 14 : Junio 99-00. Optativa (3 ptos)

La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kilogramos) depende de la

temperatura (x en ºC) según la función: Q(x) = (x + 1)

2 .(32 – x)

a) Calcula la temperatura óptima a mantener en el invernadero (2 ptos)

b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendrá a dicha temperatura? (1 pto)

EJERCICIO 1 15 : Septiembre 99-00. Obligatoria (1 pto)

En los máximos relativos de una función f(x) la segunda derivada, si existe, es negativa,

¿verdadero o falso? (no es necesaria la demostración formal: basta con un razonamiento

intuitivo de porqué tiene que ser así)

EJERCICIO 1 16 : Junio 00-01. Optativa (3 ptos)

Sea la función: f(x) =

x 16

x

2 

a) Calcula sus asíntotas

b) Determina sus extremos, puntos de inflexión e intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

c) Represéntala gráficamente.

EJERCICIO 1 17 : Septiembre 00-01. Optativa (3 ptos)

Sea la función: f(x) = 4x

3

• 8x

2

a) Calcula sus cortes con los ejes, puntos extremos y puntos de inflexión.

b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento

c) Represéntala gráficamente

EJERCICIO 1 18 : Junio 01-02. Optativa (3 Ptos)

Sea la función: f(x) = 2 x

( x 1 ).(x 2 )

a) Calcula sus asíntotas horizontales y verticales

b) Calcula sus cortes con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión

c) Represéntala gráficamente

EJERCICIO 1 19 : Septiembre 01-02. Optativa (3 ptos)

Sea la función: f(x) = 6x

2

• x

3

a) Determina sus puntos de corte con los ejes, máximos, mínimos y puntos de

inflexión.

b) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de corte con los ejes.

c) Represéntala gráficamente

EJERCICIO 1 20 : Junio 02-03. Optativa (3 ptos)

Sea la función: f(x) = x

3

• 4x

a) Obtener sus cortes con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión.

b) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente en los puntos de corte con los ejes.

c) Representarla gráficamente.

EJERCICIO 1 21 : Septiembre 02-03. Optativa (3 ptos)

Sea la función: f(x) = x

4

• 2x

3

a) Halla la ecuación de la recta tangente en x = 1

b) Calcula los cortes con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión.

c) Represéntala gráficamente.

EJERCICIO 1 22 : Junio 03-04. Optativa (1 pto)

¿Qué se puede decir acerca de la gráfica de una función g(x) si se sabe que g(0) = 0 y

g’(0) = 0?

EJERCICIO 1 23 : Junio 03-04. Optativa (3 ptos)

Sea la función f(x) = 2 x

( x 1 ).(x 2 )

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x = - 3

b) Calcula sus asíntotas, máximos, mínimos y puntos de inflexión.

c) Represéntala gráficamente

EJERCICIO 1 24 : Septiembre 03-04. Optativa (3 ptos)

Sea la función f(x) = 2 4 x

a) Determina sus asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento

b) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes en x = 1 y x = - 1

c) Represéntala gráficamente.

EJERCICIO 1 25 : Junio 04-05. Obligatoria (1 pto)

¿Cuál es el dominio de la función f(x) =

x 4

ln x

2 

EJERCICIO 1 26 : Junio 04-05. Optativa (3 ptos)

Sea la función f(x) =

2

x

a) Determina sus asíntotas, máximos, mínimos y puntos de inflexión

b) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abcisa x = 2

c) Represéntala gráficamente.

EJERCICIO 1 27 : Septiembre 04-05. Optativa (3 ptos)

Dada la función g(x) = x

2

• x

4

a) Obtén la ecuación de la recta tangente en el punto (1,0)

EJERCICIO 1 35 : Septiembre 96-97. Optativa (3 ptos)

Calcular el área que la recta de ecuación y = (x 1 )

2

 delimita en la parábola de

ecuación y

2 = x + 1

EJERCICIO 1 36 : Septiembre 97-98. Optativa (3 ptos)

Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones y = 2, y = 4, y = 1/x

2

EJERCICIO 1 37 : Septiembre 00-01. Optativa (3 ptos)

Calcula la constante k de manera que valga 1 el área encerrada entre el eje de abscisas y

la función f(x) = kx(1-x)

EJERCICIO 138 : Septiembre 02-03. Obligatoria (1 pto)

Calcula el valor de la constante k para que se cumpla: 

1

0

2 k(x 2 )dx 1

EJERCICIO 1 39 : Junio 05-06. Optativa (3 ptos)

Dibuja la región limitada por las parábolas y = x

2

• 4x + 4, y = - x

2

• 2x + 4 y calcula

el área de la región limitada por ambas curvas.

EJERCICIO 140 : Septiembre 05-06. Obligatoria (1 pto)

Calcula la siguiente integral indefinida: ^  

2  5 x dx

2

EJERCICIO 141 : Junio 06-07. Obligatoria (1 pto)

Calcular el valor de la integral 

2

1

2 2 (x 2 x 1 ) dx

EJERCICIO 142 : Septiembre 06-07. Obligatoria (1 pto)

Calcula la integral indefinida: dx

x

x 2 x 1

2

3



BLOQUE III – PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

COMBINATORIA

EJERCICIO 1 43 : Junio 97-98. Obligatoria (1 pto)

Una panda de cinco amigos, tres chicas y dos chicos, deciden ir al cine. Si van a ocupar

cinco butacas contiguas, ¿de cuántas maneras se pueden sentar? ¿Y si las tres chicas

quieren estar juntas?

EJERCICIO 1 44 : Junio 99-00. Obligatoria (1 pto)

Un grupo de 25 excursionistas acudió a un restaurante en el que se ofrecía un menú del

día en el que se podía elegir entre tres primeros platos, cuatro segundos y dos postres.

Antes de que nadie pidiera la comida uno de ellos contestó: “Si todos elegimos del

menú del día, seguro que por lo menos dos de nosotros comemos lo mismo”. ¿ Cómo

podía estar tan seguro?

EJERCICIO 1 45 : Septiembre 99-00. Obligatoria (1 pto)

Una panda de seis amigos decide ir al cine. Si van a ocupar seis butacas contiguas, ¿de

cuántas maneras se pueden sentar? ¿Y si en el grupo hay una pareja de novios que

quieren sentarse juntos?

EJERCICIO 1 46 : Junio 01-02. Obligatoria (1 pto)

Un cliente compra en una tienda 6 productos distintos: 3 de alimentación y 3 de

limpieza. ¿De cuántas maneras pueden aparecer los 6 productos en el ticket de compra?

¿Y si el cliente pasa primero por caja los 3 productos de alimentación y después los 3 de

limpieza?

EJERCICIO 1 47 : Septiembre 01-02. Obligatoria (1 pto)

¿De cuántas maneras se pueden combinar tres pantalones, cuatro camisetas y dos

cazadoras?. ¿Y si hay un pantalón y una cazadora que no pueden ir juntos?

EJERCICIO 1 48 : Junio 02-03. Obligatoria (1 pto)

Los clientes de una tienda pueden elegir tres regalos distintos entre un surtido de siete.

¿Cuántas posibilidades de elección existen? ¿En cuántas de ellas está incluido un regalo

determinado?

EJERCICIO 1 49 : Septiembre 03-04. Obligatoria (1 pto)

Un fabricante de automóviles ofrece un modelo con cuatro motores, tres niveles de

acabado y dos carrocerías. ¿Cuántas versiones distintas existen de este modelo? ¿Y si

uno de los cuatro motores sólo se ofrece con una de las dos carrocerías?

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

EJERCICIO 1 50 : Modelo. Obligatoria (1 pto)

La probabilidad de que cierto equipo de fútbol gane un partido es 0,4 y la de que pierda

es 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de que empate?

EJERCICIO 1 51 : Modelo. Optativa (3 ptos)

Para diagnosticar cierta enfermedad los médicos utilizan una prueba que puede fallar.

Esta prueba da resultado positivo (es decir, indica la presencia de la enfermedad),

aunque en realidad el paciente esté sano, con probabilidad 0,001, y da resultado