Uso de la Combinatoria, Diapositivas de Matemáticas

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TEMA 12

COMBINATORIA

TEMA 12

COMBINATORIA

4º ESO – CURSO 16-

Introducción. Factorial de un Nº

n! = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·

El número n· ( n −1)·( n −2)·…·3·2·1 se llama factorial de n , y se

representa por n !, donde n es un número natural.

Cuidado  0! = 1

Introducción. Números combinatorios

Dados dos números naturales m y n tales que m ≥ n , se define el

número combinatorio , que se lee m sobre n , como:

Veamos un ejemplo:

Introducción. Números combinatorios

Ahora toca practicar… NÚMEROS COMBINATORIOS

Aplicaciones. Binomio de Newton

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce

como binomio de Newton. Los coeficientes son los números

combinatorios que corresponden a la fila “n” del triángulo de Pascal.

Sabemos que: (a + b)

2

= a

2

• 2ab + b

2

Pero… ¿Cómo calcularías: (a + b)

3

Principios fundamentales de conteo

ADICIÓN

MULTIPLICACIÓN

A B

3 aviones

2 trenes

5 buses

Número de maneras de llegar desde A

hasta B

avión O tren O bus No suceden

simultáneamente

A B

C

Número de maneras de llegar desde A

hasta C

AB y BC Sí suceden simultáneamente

3 x 2 = 6

16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos



Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama

Diagrama de árbol.

 Principio de multiplicación : si hay n

1

opciones para elegir un objeto, n

2

opciones para elegir un segundo objeto, así hasta n

m

. El nº total de maneras

de elegir los m objetos es: N = n

1

· n

2

· … · n

m

Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación

Esquema

= =

m = número de elementos

n = de cuánto en cuánto se

toman

Con una baraja española que consta de 40 cartas,

¿de cuántas maneras diferentes podemos

repartir 4 cartas?

¿Influye el orden de colocación? NO

¿Intervienen todos los elementos? NO

¿Se pueden repetir los elementos? NO

COMBINACIÓN

¿Cuántos elementos tengo? m = 40

¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n

= =

C40,4= = = = 91390

40·39·38·

4·3·2·

40!

4! (40-

4)!

40!

4! 36!

Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6

¿Cuántos números distintos de 4 cifras puedo

formar sin repetir?

1 2 3 4

4 3 2 1

¿Influye el orden de colocación? SI

¿Intervienen todos los elementos? NO

¿Se pueden repetir los elementos? NO

VARIACIÓN

SIN REPETICIÓN

V 6, 4 = = 360

¿Cuántos elementos tengo? m = 6

¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n

Con la palabra AMOR

¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden

formarse?

¿Influye el orden de colocación? SI

¿Intervienen todos los elementos? SI

¿Se pueden repetir los elementos? NO

P

4

= 4!= 4·3·2·1 = 24

PERMUTACIÓN

SIN REPETICIÓN

¿Cuántos elementos tengo? m = 4

¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n

AMOR MAOR OAMR RAMO

AMRO MARO OARM RAOM

AOMR MOAR OMAR RMAO

AORM MORA OMRA RMOA

ARMO MRAO ORAM ROMA

AROM MROA ORMA ROAM

¿Cuántas saldrían con la palabra

LOVE?

¿Influye el orden de colocación? SI

¿Intervienen todos los elementos? SI

¿Se pueden repetir los elementos? SI

Las permutaciones con

repetición de n elementos

son en las que un primer

elemento se repite n

1

veces,

un segundo elemento n

2

veces, y así hasta el último,

que se repite n

k

veces, con

n

1

• n

2

+…+ n

k

= n.

Son 7 letras, repitiéndose la “A” y la “R”, por tanto:

¿Cuántas palabras, con o sin sentido,

puedo formar con las letras de la palabra

ARMELAR?

PERMUTACIÓN

CON REPETICIÓN

¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n

¿Qué elementos se repiten a, b, c….?

a=