Teoría de la Probabilidad: Variables Aleatorias, Diapositivas de Ciencias Aplicadas a la Actividad Profesiona

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Variable

Aleatoria.

• (^) Vimos que los elementos de un espacio muestral Ω pueden ser números, letras, pares ordenados, categorías, etc.
• (^) En general no importa saber que evento ocurrió, sino cuantas veces ocurrió un evento de interés.
• (^) Por ejemplo, al tirar un dado n veces nos interesa saber cuantas veces salió un numero impar Por este motivo resulta útil identificar los elementos de Ω con un número.

Variable Aleatoria.

• (^) Una función que asigna a cada elemento de Ω un numero real se denomina variable aleatoria.
• (^) Se representa con mayúscula: X( wi )
• (^) Es decir, si Ω={ w1,w2,....,wn }
• (^) Es el espacio muestral de un experimento aleatorio, entonces una V.A. sobre Ω será cualquier función.
• (^) V.A. Discreta es la que asigna números enteros.
• (^) V.A. Continua es la que asigna números reales.

Variable Aleatoria.

Variable Aleatoria –

Ejemplo (discreta)

• (^) Experimento: lanzar 3 veces una moneda.
• (^) Ω={ccc,ccs,csc,css,scc,scs,ssc,sss}
• (^) con c:cara y s:seca
• (^) X={numero de caras obtenido}
• (^) Así, X(w 3 ) = X(csc) = 2

Funcion de densidad

(probabilidad)

• (^) Una variable aleatoria X es un descriptor de eventos aleatorios y su función de densidad f(X) asigna probabilidades a esos eventos.
• (^) Se tira 3 veces una moneda, sobre Ω se define la V.A. X={numero de caras}

Funcion de densidad

(V.A. continua)

• (^) Sea X:Ω→ una V.A. continua
• (^) Se llama función de densidad de X a la función f ,
• (^) tal que:
• (^) es el área limitada por el eje X y la curva f(x) entre a y b

Función de densidad

(probabilidad)

• (^) Sea Ω={(1,1), (1,2),.....,(6,6)} su espacio muestral.
• (^) X={cantidad de caras impares}
• (^) Tenemos que: X:Ω→{0,1,2}
• (^) La función de probabilidad puntual es:
• (^) f(X=0) = P({no salió ninguna cara impar}) = 9/
• (^) f(X=1) = P({ solo salió una cara impar}) = 18/
• (^) f(X=2) = P({salieron ambas caras impares}) = 9/

Función de Distribución

Acumulada

• (^) La Función de Distribución Acumulada F (.) de una variable aleatoria X se define como:
• (^) Es la función que para un valor x nos da la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual que dicho valor x.
• (^) F: B → [0,1]
• (^) F(xi)=P(X≤xi) Discreta Continua

Distribución

Acumulada

• (^) Ejemplo: se lanzan dos dados distinguidos.
• (^) X={cantidad de caras impares}
• (^) X:Ω→{0,1,2}
• (^) La función de distribución acumulada es:
• (^) F(0) = P(X ≤ 0)=f(0)= 1/
• (^) F(1) = P(X ≤ 1)=f(0)+f(1)= 1/4 + 1/2 = 3/
• (^) F(2) = P(X ≤ 2)=f(0)+f(1)+f(2) = 1/4 + 1/2+ 1/4 = 1

Medidas de Resumen -

Esperanza

• (^) La esperanza matemática o media poblacional de una variable aleatoria X es el promedio de los valores asumidos por la variable, un valor que identifica al “ centro de gravedad ” de la función de densidad.
• (^) Se nota: μ =E[ X ]