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2. VARIABLE

ALEATORIA

Estadística I Dr. Francisco Rabadán Pérez

Índice

1. Variable Aleatoria
2. Función de Distribución
3. Variable Aleatoria Discreta
4. Variable Aleatoria Continua
5. Esperanza Matemática
6. Momentos
7. Varianza
8. CV de Pearson
9. Variable Tipificada
10. Teorema de Chebycheff

2. Función de Distribución

■ Mide la probabilidad acumulada hasta un punto de la variable aleatoria 𝐹 𝑋 = 𝑃 𝜉 ≤ 𝑥 ■ Propiedades:

1. 𝐹 −∞ = 0
2. 𝐹 +∞ = 1
3. 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝑃 𝑎 < 𝜉 ≤ 𝑏
4. F(x) es no decreciente 𝐹 𝑥 + ∆ 𝑥 ≥ 𝐹 𝑥 ∀𝑥
5. F(x) es continua por la derecha Fte: Martín-Pliego, Paraninfo, pág. 47)

3. Variable Aleatoria Discreta (VAD)

■ VAD: Dados dos puntos cualesquiera de la VA, entre ellos tenemos un número finito de puntos.

• En algunos casos se verifica que :; :< > 0 , y a este cociente no nulo le denominados masa o cuantía de probabilidad en el punto ■ Función de cuantía: 𝑃> = 𝑃 𝜉 = 𝑥>
• P-I) 𝑃> ≥ 0 ;
• P-II) ∑^ 𝑃> = 1 @

  AB ■ Función de Distribución: 𝐹 𝑋 = 𝑃 𝜉 ≤ 𝑥 es

• función escalonada con tramos costantes y discontinuidades por la izquierda en los puntos en que existe probabilidad no nula.
• La amplitud de las discontinuidades coincide con la probabilidad en el punto.

3. Variable Aleatoria Discreta (VAD)

Fte: Martín-Pliego, Paraninfo, pág. 47)

4. Variable Aleatoria Continua(VAC)

■ VAC: Dados dos puntos cualesquiera de variable aleatoria entre ellos encontramos un número infinito de puntos. ■ Y por tanto, La función de cuantía será nula para todo el recorrido de la VA. 𝑃> = 𝑃 𝜉 = 𝑥> = 0 ↔ 𝐶𝐹 ∞ = 0 ■ Sin embargo, la Función de Distribución de una VAC es continua (por la derecha y por la izquierda. ■ Aunque no la probabilidad para un punto es siempre cero, si podemos calcular probabilidad para intervalos. ■ Por eso analizamos la densidad de probabilidad: cociente masa de probabilidad entre amplitud de intervalo de VA. ■ Si el intervalo es infinitamente pequeño coincide con el diferencial de x (dx). ■ La función de densidad de probabilidad mide la proporción de masa de probabilidad respecto del diferencial de x.

4. Variable Aleatoria Continua(VAC)

■ Función de densidad f(x): 𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥) Ejemplo de derivada Fte: http://blog.espol.edu.ec/guifecep/deri vada/

4. Variable Aleatoria Continua(VAC)

■ Función de densidad f(x): 𝐹 𝑥 = (^) ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 K LM Fuente: http://hyperphysi cs.phy- astr.gsu.edu/hba sees/integ.html

5. Esperanza Matemática

■ Esperanza Matemática 𝜇 : coincide con el valor de la media aritmética poblacional cuando el número de experimentos aleatorios tiende a infinito. Por tanto lo consideramos valor esperado supuesta la convergencia absoluta. ■ Cálculo: 𝜇 = 𝛼 B

• VAD: 𝜇 = 𝛼 B

= ∑^ 𝑥

• VAC: 𝜇 = 𝛼 B

M LM

5. Esperanza Matemática

■ Propiedades (Operador Esperanza).

5. 𝐸 𝜉 ∗ 𝜂 = 𝐸 𝜉 ∗ 𝐸 𝜂 ↔ 𝜉, 𝜂 independientes

6. Momentos de la VA

■ Respecto al Origen 𝛼 b

b

\ 𝑥

b 𝑃

a 𝑥 b 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 M LM

b

B b

\ 𝑥

B b 𝑃

a 𝑥 − 𝛼 B b 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 M LM

■ Respecto a la Esperanza

6. Momentos de la VA

■ Momentos respecto a la esperanza importantes 𝜇 c

c = 𝐸 𝜉 − 𝛼 B c

\ 𝑥

B c 𝑃

a 𝑥 − 𝛼 B c 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 M LM

■ Varianza ■ Para construir 𝑔 B y 𝑔 c 𝜇 e = 𝐸 𝜉 − 𝛼 B e 𝜇 f = 𝐸 𝜉 − 𝛼 B f 𝑔B es coeficiente de asimetría 𝑔c es coeficiente de curtosis

7. Varianza y desviación típica de la VA

■ Llamamos Varianza al momento central de segundo orden 𝜎 c = 𝜇 c = 𝐸 𝜉 − 𝛼 B c = 𝛼 c − 𝛼 B c ■ Mide las desviaciones cuadráticas de la VA respecto a la esperanza ■ La desviación típica traslada la varianza a unidades comparables con la esperanza. 𝜎 = 𝑉 𝑥 = 𝜎 c

7. Varianza de la VA

■ Propiedades (Operador Varianza).

c 𝑉 𝜉

6. 𝜉, 𝜂 independientes → 𝑉 𝜉 ± 𝜂 = 𝑉 𝜉 + 𝑉 𝜂