¡Descarga Variables aleatorias y modelos de distribución de probabilidad - Prof. 657 y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
TEMA 3:
Variables aleatòries i models
de distribució de probabilitat
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
TEMA 3: Variables aleatòries i models de distribució de probabilitat
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
1. Variables aleatòries discretes i variables aleatòries contínues
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
3. Models de distribució de probabilitat
a. Distribució binomial
b. Distribució de Poisson
4. Distribució normal i distribucions relacionades
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
A l’Estadística Descriptiva, la informació d’una variable queda recollida en una Taula de Freqüències. En el cas de variables aleatòries la infomació queda especificada en: Variables aleatòries discretes (VAD): RX finit o numerable
- funció de quantia o de probabilitat
- funció de distribució acumulativa de probabilitat Variables aleatòries contínues (VAC): RX infinit
- funció de densitat de probabilitat
- funció de distribució acumulativa de probabilitat
Per cada v.a. podem resumir la informació en una sèrie de característiques. Només veurem E[X] = i Var[X] = ^2
TEMA 3: Variables aleatòries i models de distribució de probabilitat
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Esperança matemàtica o valor esperat d’una variable aleatòria (E[X] o ) : És el valor mitjà teòric de la distribució i s’obté mitjançant la “suma” tots els valors de la v.a. ponderats per les seves respectives probabilitats d’ocurrència.
(^) xRX
E[X] x·P(X x)
Per VAD :
E[ X] (^) x·fd(x)dx
Per VAC : Per variables amb RX infinit pot no existir l’esperança matemàtica (perquè existeixi s’ha de complir una condició matemàtica de convergència de sèries). No ho veurem.
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Ex. Juguem al revés. Si surt parell perdem 6 euros per cada punt del número que ha sortit Si surt senar guanyem 6 euros per cada punt del número que ha sortit Quin és el guany esperat de la tirada? Jugaries a aquest joc? X P(X=x) 1 1/ 2 1/ 3 1/ 4 1/ 5 1/ 6 1/
E[X] = (^) xR Xx·P(Xx)=
TEMA 3: Variables aleatòries i models de distribució de probabilitat
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Propietats de l’esperança matemàtica (E[X] = )
L’esperança matemàtica d’una constant és la pròpia constant. E[a] = a
Es veu afectada pels canvis d’escala. E[a·X] = a·E[X]
Es veu afectada pels canvis d’origen. E[X+b] = E[X] + b
L’esperança matemàtica de la suma de v.a. és igual a la suma de les esperances matemàtiques de cadascuna d’elles. X 1 , X 2 , ..., Xn n variables aleatòries, i existeix l’esperança de totes elles. E[X 1 + X 2 + ... + Xn] = E[X 1 ] + E[X 2 ] + ... + E[Xn] en cas de resta, per exemple E[X 1 – X 2 ] = E[X 1 ] – E[X 2 ]
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Ex. La següent taula mostra la distribució de probabilitat d’una v.a. discreta. X 1 2 3 4 P(X=x) 1/4 1/4 1/3 1/ Trobar l’esperança matemàtica de la variable Y = 3X+2 , sense utilitzar les propietats de l’esperança matemàtica. X Y P(Y=y) 1 3· 1 + 2 = 5 P(Y=5) = P(X=1) = 1/ 2 3· 2 + 2 = 8 P(Y=8) = P(X=2) = 1/ 3 3· 3 + 2 = 11 P(Y=11) = P(X=3) = 1/ 4 3· 4 + 2 = 14 P(Y=14) = P(X=4) = 1/ RX = {1,2,3,4} RY = {5,8,11,14} E[Y] = (^) = 5·(1/4) + 8·(1/4) + 11·(1/3) + 14·(1/6) = 37/4 = 9, y R Y
y·P(Y y)
TEMA 3: Variables aleatòries i models de distribució de probabilitat
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Ex. El mateix exemple. La següent taula mostra la distribució de probabilitat d’una v.a. discreta. X 1 2 3 4 P(X=x) 1/4 1/4 1/3 1/ Trobar l’esperança matemàtica de la variable Y = 3X+2 , utilitzant les propietats de l’esperança matemàtica. E[Y] = E[3X+2] = E[3X] + E[2] = 3E[X] + 2. E[X] = 1·(1/4) + 2·(1/4) + 3·(1/3) + 4·(1/6) = 29/ E[Y] = 3E[X] + 2 = 3·(29/12) + 2 = 29/4 + 2 = 37/4 = 9, Amb aquest mateix exemple, utilitzant les propietats de l’esperança matemàtica, calculeu:
- E[W], sent W=5X-3 E[W] = _________
- E[M], sent M= 2X+3 E[M] = _________
- E[X+Y+W+M] E[X+Y+W+M] = ____________
Var[X] = 155/144 = 1, Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Ex. La següent taula mostra la distribució de probabilitat d’una v.a. discreta. X 1 2 3 4 P(X=x) 1/4 1/4 1/3 1/ Trobar la variància de la variable aleatòria X segons fórmula de la definició.
X X – E[X] (X – E[X])^2 ·P(X=x) 1 1 – 29/12 = -17/12 (-17/12) 2 ·(1/4) = 289/ 2 2 – 29/12 = -5/12 (-5/12) 2 ·(1/4) = 25/ 3 3 – 29/12 = 7/12 (7/12) 2 ·(1/3) = 49/ 4 4 – 29/12 = 19/12 (19/12) 2 ·(1/6) = 361/
E[X] = 1·(1/4) + 2·(1/4) + 3·(1/3) + 4·(1/6) = 29/12 =
Var[X] =xR X(x^ )^2 ·P(Xx)
TEMA 3: Variables aleatòries i models de distribució de probabilitat
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Propietats de la Variància (Var[X] = ^2 )
Var[X] 0 (una mesura de dispersió mai pot ser negativa).
Var[X] = E[(X-) 2 ] = E[X^2 ] - ^2 (on =E[X] i E[X^2 ] = x^2 ·P(X=x) per VAD).
La variància d’una constant és igual a 0. Var[a] = 0.
Es veu afectada pels canvis d’escala. Var[a·X] = a^2 ·Var[X]
No es veu afectada pels canvis d’origen. Var[X+b] = Var[X]
Si X i Y són estocàsticament independents [Cov(X,Y)=0] Var [X+Y] = Var[X] + Var[Y] Var [X-Y] = Var[X] + Var[Y] En general: Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] + 2Cov[X,Y] Var[X - Y] = Var[X] + Var[Y] – 2Cov[X,Y]
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Ex. Mateix exemple. La següent taula mostra la distribució de probabilitat d’una v.a. discreta. X 1 2 3 4 P(X=x) 1/4 1/4 1/3 1/ Trobar la variància de la variable aleatòria X utilitzant la fórmula: Var[X] = E[X^2 ] - ^2
E[X] = = 1·(1/4) + 2·(1/4) + 3·(1/3) + 4·(1/6) = 29/ E[X^2 ] = = 1^2 ·(1/4) + 2^2 ·(1/4) + 3^2 ·(1/3) + 4^2 ·(1/6) = 83/ Var[X] = E[X^2 ] - ^2 = (83/12) – (29/12) 2 = 155/
x^ R Xx^2 ·P(Xx)
TEMA 3: Variables aleatòries i models de distribució de probabilitat
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
En agafar les diferències al quadrat, el valor de la variància no està expressat en la mateixa unitat de mesura que la v.a., sinó en el quadrat d’aquesta unitat de mesura. Per aquest motiu definim la desviació típica o estàndard , com l’arrel quadrada de la variància, que serà una mesura de dispersió de la v.a. expressada en la mateixa unitat de mesura.
Var[X] = ^2 = E[(X- ) 2 ]
DS[X] = = Var[X]
Àrea Estadística – Dep. Economia URV Tècniques quantitatives curs 2014-
2. Característiques de les v.a.: Esperança i variància
Cal tenir en compte que sobre una variable aleatòria podríem definir altres característiques, com la mediana , la moda , quartils , simetria ,... que heu estudiat a l’assignatura d’Estadística Bàsica per variables observables i que aquí es consideren per variables teòriques (enlloc de freqüències aquí treballem amb probabilitats).
El següent pas és definir models teòrics de probabilitat i veure sota quines condicions es reprodueixen aquests models a la realitat.
