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Apuntes sobre soluciones de ecuaciones de segundo grado en el campo de los complejos
Tipo: Apuntes
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Autor: Esteban Rubén Hurtado Cruz & Ofelia Cepeda Camargo & Selma Fernanda Espinosa Guevara
Instituto: Facultad de Ciencias UNAM
Fecha: May. 2, 2021
Versión: 4.
Bio : Semestre 2022-
La magia está en el trabajo, en el esfuerzo, en la confianza y en la convicción de que puedes
lograr todo lo que te propongas.
x = ±
a +
a^2 + b^2
2
y =
b
2 x
−a +
a^2 + b^2
2
μ
donde μ es el signo de b.
signo b =
1 , si b ≥ 0
− 1 , sib < 0
Concluimos que la ecuación w^2 = z con w = x + iy tiene solución
a +
a^2 + b^2
2
−a +
a^2 + b^2
2
Ejemplo 1.
Encuentre las soluciones de las ecuaciones
Tenemos que
Sustituyendo en la fórmula, se obtiene que a = 3 y b = 4
x =
= 2 y y =
por lo que w = z + 1 = ±(2 + i), donde z = ±(2 + i) − 1. Por lo tanto las soluciones buscadas son
z 1 = 1 + i y z 2 = − 3 − i
a = 0 y b = − 1 se obtiene
x =
y y =
de donde
w = ±
− i
(1 − i)
Considere la ecuación z
(1 − i). Otra vez sustituya en la fórmula, ahora con a =
y b = −
con lo cual se obtiene
z = ±
− i
Del otro valor para w se obtienen
z = ±
2
Consideremos ahora la ecuación cuadrática general con coeficientes complejos
az
2
tenemos que
az^2 + bz = −c
a
z
2
bz
a
= −c
z^2 +
bz
a
c
a
z
2
bz
a
b
2 a
c
a
b
2 a
z +
b
2 a
b^2 − 4 ac
4 a^2
(2az + b)^2
4 a^2
b^2 − 4 ac
4 a^2
(2az + b)^2 = b^2 − 4 ac
Si hacemos
y = 2az + b (1.1)
entonces
(2az + b)
2 = b
2 − 4 ac ⇒ y
2 = b
2 − 4 ac = u + iv
la cual tiene solución
y 1 , 2 = ±
r + u
2
r − u
2
i
donde r = |b^2 − 4 ac|. Por lo que de (1,1) se tiene
z 1 , 2 =
2 a
(−b + y 1 , 2 )
Ejemplo 1.2 Resolver la ecuación z^2 + 3iz − 2 = 0.
En este caso
b^2 − 4 ac = (3i)^2 − 4(1)(−2) = −9 + 8 = − 1 , por lo que u + iv = −1 + 0i, y |r| = | − 1 | = 1
de manera que
y 1 , 2 = ±
= ±(i)
por lo tanto
z 1 , 2 =
(− 3 i ± i) ⇒ z 1 =
(− 3 i − i) = − 2 i, z 2 =
(− 3 i + i) = −i
3
