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Academia de Matemáticas y Física I.C.
- Sean z (^) 1 2 i , z (^) 2 4 5 i , z (^) 3 3 2 i y z (^) 4 1 3 i. Realice las siguientes operaciones
empleando la representación cartesiana.
a) z 1 (^) z 2 z 3 b) ( z 1 (^) z 2 )( z 3 z 4 ) c)
2 ^3
1 4 Re z z
zz d)
1
1 4
2 3
z z
z z
e)
3 1
2 2
Im iz z
i z f) 12 3
Re 4 i Im zz z
z
h) z 1 (^) z 2 z 3 z 4
- Calcule las siguientes operaciones.
a) 𝑖^2015 b) 𝑖^1000000 c) (𝑖^85 + 𝑖−28)(𝑖^64 + 𝑖−37) d)
𝑖^117 +𝑖− 𝑖^60 −𝑖−
- a) Si 𝑧 = −
1 2
√ 2
𝑖, pruebe que se cumple: 1 + 𝑧 + 𝑧^2 = 0 y
1 𝑧
= 𝑧^2.
b) Para 𝑧 = −
1 2
√ 2
𝑖 pruebe que: |𝑧| = 1, 𝑧^2 = 𝑧̅, 𝑧^3 = 1 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧^3002.
- Calcule el valor de 𝑦 para que el producto de (3 − 6𝑖)(4 + 𝑦𝑖)^ sea:
a) un imaginario puro b) un real
- Determine el valor de 𝑥:
a) para que el número 𝑥 + 3𝑖 tenga el mismo módulo que 2√5 + √5𝑖.
b) para que
𝑥+2+𝑥𝑖 𝑥+𝑖
sea imaginario puro.
- Si 𝑧 =
1+𝑥𝑖 𝑥+𝑖
pruebe que |𝑧| = 1, usando dos procedimientos distintos.
- Pruebe que si la suma de dos números complejos dividido por su diferencia es un número
imaginario puro, entonces tienen el mismo módulo.
- Pruebe que para todo número complejo 𝑧 se cumple.
a) 𝑅𝑒(𝑖𝑧) = −𝐼𝑚(𝑧) b) 𝐼𝑚(𝑖𝑧) = −𝑅𝑒(𝑧)
- Sean 𝑧, 𝑤 dos números complejos cualesquiera. Pruebe que se cumple:
a) |1 − 𝑧𝑤̅|^2 − |𝑧 − 𝑤|^2 = (1 − |𝑧|^2 )(1 − |𝑤|^2 ) b) |𝑧 + 𝑤|^2 + |𝑧 − 𝑤|^2 = 2(|𝑧|^2 + |𝑤|^2 )
- Halle la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) ( 3 2 i ) z ( 2 i ) 4 i b)( 1 2 i ) z ( 3 i )( 6 5 i )( 2 i ) z
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c) ( 4 3 i ) z ( 2 5 i ) ( 1 2 i ) z ( 6 i ) 0 d) i i z i
i z i 1 2 ( 4 ) ( 8 3 )
- Use la representación polar para realizar las siguientes operaciones y exprese el resultado en
la forma cartesiana.
Sean a 3 2 i , b 1 3 i , z 6 5 i , w 7 i.
a)
5 4 ab b) bw
az c)
1
4
3
z
w d) 5 4
4 3
a b
w z e) 3 4
4 2
b z
a w
- Halle dos números complejos cuyo cociente sea 3, la suma de sus argumentos
𝜋 3
y la suma de
sus módulos sea 8.
- El producto de dos números complejos es 2𝑖 y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es
1
2
encuentre dichos números.
- Emplee el teorema de De Moivre para deducir las siguientes identidades.
a)cos 3 cos 3 sen cos
3 2 b)
4 2 2 4 cos 4 cos 6 cos sen sen
2 3
sen 3 3 cos sen sen sen 4 4 cos sen 4 sen cos
3 3
- Si sen 𝜃 =
1 2
𝜋 2
, aplique los resultados del ejercicio 14 para hallar los valores de:
a) cos 3𝜃 𝑦 sen 3 𝜃 b) cos 4 𝜃 𝑦 sen 4 𝜃
- Si 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 1, deduzca la fórmula z
z z z z z
n n
1 2 3 .
- Aplique la fórmula del ejercicio 16 y el teorema de De Moivre para probar que:
2
1
2
1 2
1
sen( ) 1 cos cos 2 cos 3 cos sen
sen n n
2
1
2
1 2
1
2 sen
cos cos( ) sen sen 2 sen 3 sen
n n
Suponga que sen
1 2 𝜃^ ≠ 0. Sugerencia: haga
i z e.
- Calcule las raíces mostradas a continuación.
a)
6 1 b)
4 i c) √^
3+3𝑖 −3+3𝑖
3 d) √
𝑖^35 −𝑖^18 1+𝑖
4
- Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 𝑧
5
4
6 −
1+𝑖 √3+𝑖
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- Sea 𝑤 ∈ ℂ tal que 𝑤^2 + 𝑤 + 1 = 0. Encuentre dos números reales 𝑎, 𝑏 para los cuales se
cumple la relación:
2
- Si 𝑤 ∈ ℂ tal que 𝑤^5 = 1 pruebe que:
a)
𝑤 1+𝑤^2
𝑤^2 1+𝑤^4
𝑤^3 1+𝑤
𝑤^4 1+𝑤^3
= 2 b)
𝑤 1−𝑤^2
𝑤^2 1−𝑤^4
𝑤^3 1−𝑤
𝑤^4 1−𝑤^3
- Sean 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ tales que |𝑧| = |𝑤|. Muestre que si 𝛼 ∈ ℂ se cumple la siguiente igualdad.
|𝑧 + 𝛼|^2 + |𝑧 − 𝛼|^2 = |𝑤 + 𝛼|^2 + |𝑤 − 𝑎|^2
Proporcione una interpretación geométrica de este resultado.
- Considere la ecuación cuadrática 𝑎
2 𝑧
2
2 = 0 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ y represente por 𝑧 1 , 𝑧 2
sus raíces. Pruebe que si
𝑏 𝑐
es un número real, entonces |𝑧 1 | = |𝑧 2 |^ o
𝑧 1 𝑧 2
- Para las siguientes funciones determine u(x,y), v(x,y), sus partes real e imaginaria,
respectivamente.
a) f ( z )( 2 i ) z ( 7 4 i ) b) f ( z ) z ( z 3 2 i )
c) f z z z z
3 2 ( ) d) f ( z ) ( 1 i ) z ( 2 i ) z
2
e) z i
z f z
( ) f) 4
2
z
z f z
g) z i
z i f z
2
( ) h) z i
z z i f z 2
34. Halle u ( r , ), v ( r , )para las funciones mostradas a continuación.
a)
3 2 f ( z ) z z b) 2
2 1 ( ) z
z f z
c) z i
z i f z 3
d) f ( z ) z ( z i )
- Exprese las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.
a) f ( z )( x y ) i ( x y ) b) f z x y ixy
2 2 ( )
c) ( ) ( 2 ) ( 2 )
2 2 f z x xy i xy y d) ( ) ( 1 ) ( 1 )
2 2 2 2 f z x y i x y
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e) x iy
x y f z
2 2 ( ) f) x
y i y
x f ( z )
- Exprese las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.
a) 𝑓(𝑧) =
sen 𝜃 𝑟
cos 𝜃 𝑟
b) 𝑓(𝑧) = (𝑟^2 cos 2𝜃 − 2𝑟 sen 𝜃) + 𝑖(𝑟^2 sen 2𝜃 + 2𝑟 cos 𝜃)
c) 𝑔(𝑧) =
𝑟^2 + 𝑟
cos 𝜃 + 𝑖
𝑟^2 − 𝑟
sen 𝜃 d) 𝑔(𝑧) =
𝑟 cos 2𝜃+cos 3𝜃 𝑟^3
𝑟 sen 2𝜃+sen 3𝜃 𝑟^3
- Describe geométricamente los siguientes conjuntos.
a) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝑧 ∈ ℂ}^ b) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 𝐼𝑚(𝑧), 𝑧 ∈ ℂ}
c) {𝑧: |𝑧 − (1 − 𝑖)| ≤ 2, 𝑧 ∈ ℂ} d) {𝑧: |𝑧 + 𝑖| > 3, 𝑧 ∈ ℂ}
e) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝑧 ∈ ℂ} f) {𝑧: |𝑧 − 2 + 𝑖| = 2, 𝑧 ∈ ℂ}
- Sea 𝑆 = {𝑧: |2𝑧 − 3 − 𝑖| = 4, 𝑧 ∈ ℂ}. ¿Cuáles de los siguientes puntos son puntos interiores,
exteriores y frontera de dicho con junto?
a) 𝑧 = 1 + 3 𝑖 b) 𝑧 = 2 + 𝑖 c) 𝑧 =
7 2
1 2
d) 𝑧 = 4 − 3 𝑖 e) 𝑧 = −
1
2
1
2
𝑖 f) 𝑧 =
3
2
1
2
- Clasifique los conjuntos mostrados a continuación en: a) abiertos o cerrados, b) conexos o no
conexos, c) acotados o no acotados.
a) 𝐴 = {𝑧: |𝑧 − 𝑖| < 2, 𝑧 ∈ ℂ} b) 𝐵 = {𝑧: |𝑖𝑧 + 3 − 2𝑖| ≤ 4 , 𝑧 ∈ ℂ}
c) 𝐶 = {𝑧: |2𝑧 − 3𝑖| < 2 𝑜 |2𝑧 − 3𝑖 > 4, 𝑧 ∈ ℂ|}
d) 𝐷 = {𝑧: |2𝑖𝑧 + 3| ≤ 3 𝑜 |3𝑧 − 4 − 2𝑖| ≤ 2, 𝑧 ∈ ℂ}
- Determine el mapeo de las rectas 𝑥 = 2, 𝑦 = −1 bajo la función 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧 + 2.
- Considere la función 𝑓(𝑧) = (1 + 𝑖)𝑧 + 2 − 𝑖. Halle el mapeo de la región delimitada por las
rectas 𝑥 = 1, 𝑥 = −2, 𝑦 = 2, 𝑦 = −1 bajo la función señalada.
- Obtenga el mapeo de la región definida por las rectas 𝑦 = −𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 0 bajo la
función 𝑓(𝑧) = (2 − 𝑖)𝑧 + 1 − 3𝑖.
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- Determine cuáles de las funciones mostradas a continuación satisfacen las ecuaciones
de Cauchy-Riemann y para éstas, halle su derivada.
a) f z z z
2 ( ) b)
2 f ( z ) 2 x ixy c) z
z f ( z )
d) f ( z )cos x cosh y isenxsenhy e) ( ) 2 2 2 2 , , 0
x y x y
y i x y
x f z
f) ( ) ln( ) arctan( ), , 0
2 2 2 1 x y x
y f z x y i g) xy isen xy x y f ( z ) e cos 2 2
2 2
h) f ( z ) sen x y cosh 2 xy i cos x y senh 2 xy
2 2 2 2
i) ( ) cos 2 ln ( 2 )
2 2
f z r r i r sen j) , 0
cos ( ) r r
sen i r
f z
- Pruebe que la función u(x,y) es armónica en algún dominio y encuentre una armónica
conjugada v(x,y).
a) u ( x , y ) 2 x ( 1 y ) b)
3 2 u ( x , y ) 2 x x 3 xy c) u ( x , y ) senxsenhy
d) u ( x , y ) ex cos y e) u ( x , y ) 2 xy f) u xy x y exseny
2 2 ( , )
g) (^ ,^ ) 2 2 x y
y u x y
h) (^ , ) ln( )
2 2 2 u xy ^1 x y i) xy
x y u ( x , y ) e cos 2
2 2
- En coordenadas polares la función 𝑢(𝑟, 𝜃)^ es armónica si cumple la siguiente ecuación:
𝑟^2
𝜕^2 𝑢 𝜕𝑟^2
𝜕𝑢 𝜕𝑟
𝜕^2 𝑢 𝜕𝜃^2
= 0. Determine si las funciones mostradas abajo son armónicas en algún
dominio.
a) 𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟^3 cos(3𝜃) b) 𝑢(𝑟, 𝜃) =
sen 𝜃 𝑟
c) 𝑢(𝑟, 𝜃) =
10𝑟^2 −sen(2𝜃) 𝑟^2
- Para las funciones del ejercicio anterior, halle una armónica conjugada.
- Calcule el valor de las siguientes expresiones.
a) e
i 3
1 b) e
3 4 i c) e
i 1 i
2
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- Halle la solución de:
a) e i
z 3 4 b) 1
2 1
e
z c) e i
z 1 3 d) e 1
iz
- Pruebe que (^) e i^ z eiz sí y sólo si z n para n un número entero.
- Pruebe las siguientes relaciones que involucran funciones trigonométricas complejas.
a) cos z cos x cosh y isenxsenhy b) sen ( iy ) isenhy
c) cos( iy )cosh y d) z x senh y
(^222) cos cos
e) cos( z 1 (^) z 2 )cos z 1 cos z 2 senz 1 senz 2 f) z z sen z
2 2 cos 2 cos
g) z z
2 2 1 cot csc
- Determine la solución de las siguientes ecuaciones.
a) senz 1 b) cos z 2 i c) cos z 0 d) senz 3 2 i
- Pruebe las siguientes relaciones para funciones hiperbólicas complejas.
a) cosh( z 1 (^) z 2 )cosh z 1 cosh z 2 senhz 1 senhz 2 b)cosh( iz )cos z
c) cosh z cos( iz ) d)cosh z cosh x cos y isenhxseny
e) z senh x y
(^222) cosh cos f) z z senh z
2 2 cosh 2 cosh
- Determine la solución de las ecuaciones mostradas a continuación.
a) senhz i b) cosh z 1 c) cosh z 1 i d) senhz 4 i
- Calcule el valor de las expresiones siguientes.
a) Log ( ei ) b) Log ( 1 i ) c) (^) log i d) log( 1 i ) e) )
log( e
i
- Pruebe que ( 1 ) 2 ( 1 )
2 Log i Log i pero que ( 1 ) 2 ( 1 )
2 Log i Log i.
- Si Re( z 1 ) 0 y Re( z 2 ) 0 demuestre que Log ( z 1 z 2 ) Log ( z 1 ) Log ( z 2 ).
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- Calcule la integral de línea de la función z
z f z
donde C es el contorno: a) el semicírculo
z ( t ) 2 e , t 0 ,
it , b) el círculo z ( t ) 2 e , t 0 , 2
it .
- Sea C el círculo z z 0 R , recorrido en el sentido positivo. Usar la representación
paramétrica 0 , t ^ ,
it z z Re para obtener los siguientes resultados
a) i
C
z z
dz
0
b) ^
C
z z dz n
n ( ) 0 con 1 , 2 , 3 ,
1 0
c) ( )
1
0 a^
C
sen a
R
z z dz i
a a
donde a es cualquier número real distinto de cero y donde
se toman la rama principal del integrando y el valor principal de
a R.
- Determine (^) ∫ 𝑧𝑅𝑒(𝑧)𝑑𝑧 𝐶
donde 𝐶 es la circunferencia |𝑧| = 1 recorrida en el sentido positivo.
- Halle el valor de (^) ∫ 𝑧^2 𝑑𝑧 𝐶
donde 𝐶 es:
a) el arco de parábola 𝑦 = 𝑥
2 que une los puntos 𝑧 1 = 0 𝑦 𝑧 2 = 1 + 𝑖. b) el segmento de recta que une los mismos puntos del inciso a).
- Si C es el contorno del triángulo cuyos vértices son los puntos: 2+2i, -i y – 2+2i, halle el valor
de la integral de línea de la función z
f z
( ) a lo largo de C, recorrido en el sentido positivo.
- Calcule
C
senzdz , donde C es el contorno descrito por z it , t 0 , .
- Halle el valor de las siguientes integrales definidas.
a)
i
i
senz dz
2
1
b)
2
1 1
cosh i
z dz c)
2
i
i
dz
z e
d) dz
z
i
2
cos
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- Sabiendo que
a bi
a bi x
dx
a bix e e
,donde se ha omitido la constante de integración,
pruebe que:
a)
( cos ) cos a b
ax a bx bsenbx bxdx
ax e e
b)
( cos )
a b
asenbx b bx
ax
senbxdx
ax e e
En los siguientes problemas aplique las fórmulas integrales de Cauchy o el teorema de Cauchy-
Goursat para calcular el valor de las integrales de línea de las funciones indicadas con el contorno
señalado. Considere que los contornos están recorridos en el sentido positivo.
2
z
z f z , donde C es la circunferencia z 5.
z
z f z , C es la semicircunferencia superior de radio 1 con centro en el origen y el
segmento de recta que une los puntos z = -1 y z = 1.
cos 𝑧 𝑧^3
donde 𝐶 es el contorno |𝑧| = 1.
z i
z f z
e
2
, C es el cuadrado de lado dos con centro en el origen.
cos 2 ( ) z
z f z , C es cualquier contorno cerrado que contenga al origen.
z
zt f z
e , C es la circunferencia z 3 y t 0.
2𝑧+ 𝑧^2 −2𝑧
para la circunferencia |𝑧 − 3| = 2
1 𝑧^3 (𝑧−1)^2
para 𝐶: |𝑧 − 2| = 5.
- Investigue el radio de convergencia de las siguientes series.
a) ∑
cos(𝑖𝑛) 2 𝑛
∞ 𝑛=1 b)^ ∑^
𝑛 sen(in) 3 𝑛
∞ 𝑛=1 c)^ ∑^
𝑒𝑖2𝑛 𝑛√𝑛
∞ 𝑛=1 d)^ ∑^
𝑛 tan(𝑖𝜋𝑛)
∞ 𝑛=
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- Aplique el teorema del residuo para evaluar las siguientes integrales. Considere el contorno
orientado positivamente.
a) C
dz z
z
1
2
3 donde C : z 2 b) C
dz z z
senz 3 2 ( )
para C : z 2
c) C
z z
dz m ( 1 )
2 donde 2
C :^ z ^ i y m un entero no negativo.
d)
C
tan zdz para C : z 1 e)
C
dz z z
z
( 1 )( 9 )
2
3 donde C : z 4
f) C
dz zz
z
( 1 )
cos 2
para C : z 2 g)
C
z z z
z iz
5 6
3 2
2 donde C : z 4
- Si C : z 8 , orientada en el sentido positivo y siendo t un número real, probar que
dz t t
C
senhz
zt
i
e 1 2 cos 2 cos 2 2
En los siguientes problemas transforme las integrales de variable real a una integral de variable
compleja y aplique el teorema del residuo para calcular su valor.
0 5 4 cos
d
2
0
2 1 sen
d
- con 1 0 ( cos )
a a
d
- con 1 1 2 cos
2
0
a a a
d
0
6 sen d 98.
2
0
6 cos d
En los siguientes ejercicios transforme las integrales impropias a una integral de variable
compleja y use el teorema del residuo para hallar su valor.
99.
2 x 1
dx
-
^
2 3 ( x 1 )
dx 101.
0 ^
2 2
2
( x 1 )( x 4 )
x dx
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-
0
2 2 2
2 con a 0 ( x a )
x dx
-
4 2
2
x x
x dx
En los siguientes problemas aplique el teorema del residuo para determinar el valor de las
integrales impropias que involucran funciones seno y coseno, transformándolas previamente a
una integral de variable compleja.
-
^1
cos 2 x
xdx
-
2 x 16
xsenxdx
-
0 ^
2 2 ( 1 )( 4 )
cos
x x
xdx
-
^
2 2
3
( x 1 )
x senxdx
- cona,b 0 ( )
cos
0
x b
axdx
Aplique el método apropiado para evaluar las siguientes integrales impropias cuyos polos están
sobre el eje real.
- dx x
x
^4 ^1
cos 2
dx x
sen x 2
2
- cona,b 0
cos cos
0
dx x
ax bx
-
^
dx x x
senx
4 5
conb 0 ( )
cos 2 2
dx x a b
ax
- Empleando la teoría de residuos, calcule la transformada inversa de Laplace para las
siguientes funciones.
a) 𝐹(𝑠) =
1 𝑠^6
b) 𝐹(𝑠) =
1 𝑠^2 +
c) 𝐹(𝑠) =
1 (𝑠−5)^3
d)𝐹(𝑠) =
1 𝑠^4 −
e) 𝐹(𝑠) =
𝑒𝑎𝑠
𝑠^2 −5𝑠+
, 𝑎 > 0 f) 𝐹(𝑠) =
𝑠
(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)
, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ g) 𝐹(𝑠) =
𝑠^2 −𝑘^2
(𝑠^2 +𝑘^2 )^2
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- La gráfica de la función es:
- a) f ( t ) t para - t
2 , b) Con la serie de Fourier obtenida en el inciso a) y
aplicando el teorema de Parseval pruebe que
1
2
2 6
n n
Determine la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo T que a continuación se
indican.
1 0 t
2
2
T
T
t f t 124.
2
T
2
T
0 t
T
t
t o T
t
f t
2
T 0
2
T
0 t
sen t
t f t
- f ( t ) 1 t T 2^ t T 2
- f ( t ) (^21) e^2 t - 1 t 1 128. f ( t ) cosh t - 3 t 3
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- La gráfica de la función periódica es
- La gráfica de la función es:
- Empleando el resultado del problema 119 y el teorema de Parseval pruebe que se cumple
2
2 ( 2 1 )^8
n n
Calcule la serie de Fourier compleja de las funciones proporcionadas a continuación.
1 si 0 t
1 si- t 0 f ( t ) 133. f (^ t )^ senht para -^ t
