Complejos
Límites
lim
z → z
0
f
(
z
)
=
Ll
l
Continuidad
lim
z → z
0
f
(
z
)
existe
lim
z → z
0
f
(
z
)
=
f
(
z
0)
f(z0) existe
continua: discontinua (evitable 0/0, Inevitable)
Derivada
lim
∆ z →
0
f
(
z
+
∆ z
)
−
f
(
z
)
∆ z
Función analítica (Cauchy-Riemann)
zx+iyz
∂ u
∂ x
=
∂ v
∂ y y
−
∂ u
∂ y
=
∂ v
∂ x
f(z) es analítica
∀ zϵZ
Derivada
f'
(
z
)
=
∂ u
∂ x
+
i∂ v
∂ x o∂ v
∂ y
−
i∂ u
∂ y
Funciones conjugadas
Sea f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
∇ u ∙ ∇ v
=−1
∇ u
=
Ux
Uy ∇ v
=
Vx
Vy
Funciones Armónicas
Si:
U’’x+U’’y=0
V’’x+V’’y=0
Serie de Taylor
f(z)=z
f
(
z
)
=∑
n
=0
∞
(
z
−
z
0
)
n
n ! f
(
n
)(
z
0)
Serie de Laurent
∑
n
=0
∞
rn
=1
1−
rsi
:∨
r
∨¿1
∑
n
=1
∞
n rn
−1=1
(1−
r
)2
si
:∨
r
∨¿1
Integral de contorno (lineal, curvas
abiertas)
x+iy
∫
c
❑
f
(
z
)
dz
=∫
c
❑
(
u
+
iv
(
dx
+
idy
)
)
Curvas parametrizadas
z(t)=(x(t),y(t))
z(t)=x(t)+iy(t) en a≤t≤b
Punto inicial
En t=a
z(a)=(x(a),y(a))
En t=b
z(b)=(x(b),y(b))
Curva de una línea recta
Z(t)=z0(1-t)+z1t en 0≤t≤1
Circunferencia con centro en el origen
de radio r
|z|=r z(t)=reit 0≤t≤2π
Circunferencia con centro en a de
radio r
|z-a|=r z(t)=a+reit
Curva suave
∫
z
(
t
)
❑
f
(
z
)
dz
=∫
a
b
f
(
z
(
t
)
)
∙ z'
(
t
)
dt
Teorema de Cauchy
Si f(z) armónica
∮
f
(
z
)
dz
=0
Si no: Sing=a de z(t) Curva suave
Teorema de Cauchy modificado
∮
f
(
z
)
dz
=∮
fN
(
z
)
z
−
z
0
dz
=2
πi f N
(
z
0)
∮
f
(
z
)
dz
=∮
fN
(
z
)
(
z
−
z
0)
n
+1
dz
=2
πi f N
(
n
)(
z
0)
n !
Propiedades de z
|z|=
√
x
2+
y
2
|z|2=z
z
z
2
=x2-y2-2ixy
z
2
z
2
=(x2+y2)2
Series de Fourier
Función par impar
Par
f(-x)=f(x) -L≤x≤L
Reflexión eje y 0≤x≤L
Impar:
f(-x)=-f(x) -L≤x≤L
f(x)=-f(-x)
Reflexión y y desp x
Propiedades:
Par*par=par
Impar*impar=par
