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Matem atiques de la T elecom unicaci o 100 Pregun tes T est de V ariable Complexa Departamen (^) F. Aguil t de (^) o, Matem (^) M.A. atica (^) Fiol, Aplicada (^) A. Miralles IV (UPC) 20 de jun y del 2003 En aquest do cumen t s'inclouen 100 pregun tes test Resum de V ariable Complexa aparegudes en div erses pro v es de (^) d'un l'assignatura (^) 40% de pregun Matem (^) tes, atiques (^) apro ximadamen de la T (^) t. elecominicaci (^) Encara que ja o. (^) s'han T am b e (^) tret hi p (^) algunes o dreu trobar (^) errades la (^) inicials, resoluci o (^) es completap ossible que (^) [email protected] n'hi hagui algunes (^) o [email protected]. m es. Si us plau, si (^) es en (^). detecteu com uniqueu-ho a les adreces: [email protected] s ,
Index 1 Pregun tes prop osades 2 1.1 1.2 F (^) Deriv unciones (^) aci on. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^). ... (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^). ... (^).. (^). 23 1.3 In tegraci on.............................................. 5 1.4 1.5 Series (^) Residuos.. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^). ... (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^). ... (^).. (^). 79 1.6 Aplicaciones.............................................. 10 1.7 Soluciones............................................... 11 2 Pregun 2.1 (^) F uncions tes resoltes (^)................................................ 1212 2.2 2.3 Deriv (^) In tegraci abilitat (^) o.. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^). ... (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^).. (^). ... (^).. (^). 1316 2.4 S eries................................................. 18 2.5 Residus................................................ 20
1 Pregun tes prop osades 1.1 F unciones
- El conjugado del n umero complejo e^ ^ j^ z es (b) (a)^ ee^ j^ j^ zz (d) (c)^ e ^ e^ j^ j^ zz
- Dado (^) complejos 2 Rtales + , el (^) que lugar (^) j z j geom (^) = z etrico (^) = , de (^) es los (^) una n umeros (a) circunferencia (b) (^) (c) elipsepar ab ola
- El (d)^ n umero hip^ erb^ olade t erminos no n ulos del desarrollo en (^) sin serie (^3) x ) n , de (^) 1 F ourier (^) < x < compleja (^) + 1 , es de f ( x ) = (cos 3 x + (b) (a)^ n^ n ^1 (c) n + 1
- El (d)^ conjun 1 to de pun tos f z 2 C : e^ z = j g es: (b) (a)^ f^ f j^ j ((^ ^2 ^ +^ k^ )^ :^ k^2 Z^ g (c) f j (^2 2 +^ + k^ k )^ ) :^ : k^ k 2 2 Z^ Z ;^ ; k^ k par^ impar g g
- Un (d)^ v alor ninguna^ de j^ ln^ de^ j las^ es otras (a) e^ ^25 4 ^2 (b) (^) (c) ee^ ^5 6 ^22
- Sean (d)^ ex j^ ^22 R^ + y que, para un cierto i^2 N C^ ,^1 1, cada i^ in^ es.^ una Se^ sab^ raiz e ( (^) PN (^) n i =1+ 1)- (^) i Nesima (^) = 0. de (^) En la (^) tonces, unidad, (^) el y x (^) c alculo +^ P^ n i =1 de i = (^) P n i x=1^ N + i p ermite concluir que, necesariamen te,
(a) x = N = 1 (b) (^) (c) x (^) N = (^) = 11 (d) x = 1 o N = 1
- Un (^) (a) v alor (^) e 3 2 de j^ ^ j es (b) (^) (c) ee ^3 2
- Una (d)^ solucie ^ on de la ecuaci on th z = j es: (a) j 5 4 (b) (^) (c) j (^) j 37 (^2) (d) j^ ^4
- Una soluci 2 on de la ecuaci on sh z = j es: (a) j (b) (^) (c) j (^) j (d) ^2 j
- Una (^) (a) soluci (^) ln (1 +on (^) p de (^) 2) + la (^) jecuaci (^) on c h z = j es: (b) (1 +^ p 2) j^2 (d) (c)^ (1^ ln (1 +^ p^ 2)^ p 2) j + j
- Sea (^) ecuaci ln (^) on 1 := (^) z z 0. = 1, Si (^) en z (^) tonces = r e^ j^ se , (^) puede r > 0, (^) a rmar satisface (^) que: la (a) z = 0 (b) (^) (c) z = (^) = z (d) r = 1
- Sea (^) de la ln (^) ecuaci 1 := 0. (^) on El (^) z z n (^) = umero (^1) es: de soluciones distin tas (b) (a)^01
- Consid (^) j sin y ). erese (^) En tonces, la funci (^) se on (^) puede f ( z (^) a rmar:) = e^ x^ +^ y (cos y + (a) f (^) Riemann, ( z ) satisface (^) p ero las (^) no condicionestiene deriv ada de Cauc h y- (b) f (^) Riemann ( z ) no satisface las condiciones de Cauc h y- (c) f ( z 1 + z 2 ) 6 = f ( z 1 ) f ( z 2 ) (d) f (^) Riemann ( z ) satisface (^) y su deriv las condiciones (^) ada es f (^0) ( z ) de (^) = f Cauc (^) ( z ) h y-
- Si (^) C es la parte (^) v ( x; y ) imaginaria (^) = (2 x 1) de (^) y , una (^) su parte funci on (^) real ana (^) u ( tica (^) x; y ) enes (salv o constan te aditiv a): (b) (a)^ yy^22 +^ x x^22 +^ + xx (d) (c)^ yy^22 +^ x x^22 + xx
- Una (^) es v ( x; funci (^) y ) on (^) = een (^) x ( tera (^) y cos f (^) y ( (^) + z ), (^) x cuy (^) sin y a (^) ), parte (^) es imaginaria
(b) (a)^ ej x^ z +^ ez^ z (d) (c)^ j^ z ee^ x^ z+^ z
Una (^) u ( x; y funci (^) ) = c on (^) h x cos en tera (^) y , es f ( z ), cuy a parte real es (a) sin z (b) (^) (c) sh (^) no zexiste
La (d)^ funci c^ h^ zon u ( x; y ) = ae^ y cos x , a 2 R , es la parte real (^) (a) de (^) para una (^) to funci (^) do a on (^2) Ranal tica en C (b) (^) (c) s (^) s olo (^) olo para (^) para a (^) a (^00)
La (d)^ funci ninguna^ on u ( de^ x; y las^ ) = otras e^ y cos x es la parte real de la (^) (a) funci (^) e z on anal tica en C
(b) e^ ^ j^ z (c) e^ j^ z (d) e^ ^ z
- La (^) real funci (^) de una on u (^) funci ( x; y (^) on ) = (^) anal e^ ax^ tica +^ y , a (^) en 2 C R , es la parte (a) s olo para a = 0 (b) para to do a 2 R (c) para ning un a 2 R (d) s olo para a = 1
- Una (^) u ( x; y funci (^) ) s olo on (^) dep anal (^) ende tica (^) de x en (^) es C (^) necesariamen cuy a parte (^) te real (a) un p olinomio de primer grado en z (b) una funci on exp onencial (c) una constan te (d) no existen funciones en tales condiciones
- Si (^) (anal una (^) tica funci (^8) z on 2 f (^) C ( (^) ), z ) (^) en = (^) tonces u ( x; y ) (^) se + (^) puede j v ( x; y (^) a rmar ) es en teraque tam bi en lo es la funci on (a) v ( x; y ) + j u ( x; y ) (b) u x ( x; y ) j v y ( x; y ) (c) u x ( x; y ) + j u y ( x; y ) (d) v ( x; y ) j u ( x; y )
- Si (^) (anal una (^) tica funci (^8) z on 2 f (^) C ( (^) ), z ) (^) en = (^) tonces u ( x; y ) (^) se + (^) puede j v ( x; y (^) a rmar ) es en teraque tam bi en lo es la funci on (a) v x ( x; y ) + j u y ( x; y ) (b) v ( x; y ) + j u ( x; y ) (c) u x ( x; y ) j u y ( x; y ) (d) u ( x; y ) j v ( x; y )
- La funci on f ( z ) = ( z + 1)( z 1) es, en el origen, (a) no deriv able (b) deriv able con f^0 (0) = 0 (c) deriv able con f^0 (0) = 1 (d) anal tica
- La funci on f ( z ) = ( z + 1)^3 es, en el origen,
(a) no deriv able (b) deriv able con f^0 (0) = 0 (c) deriv able con f^0 (0) = 1 (d) anal tica
- De (^) mar la (^) que: funci on ( x; y ) = (2 x 3) y se puede a r- (a) puede (^) de una ser (^) funci la (^) on parte (^) anal real, (^) tica p ero (^) en Cno imaginaria, (b) puede (^) de una ser (^) funci la (^) on parte (^) anal imaginaria, (^) tica en C p ero no real, (c) puede (^) de una ser (^) funci la parte (^) on anal real (^) tica o la (^) en parte (^) C imaginaria (d) ninguna de las otras
- De (^) mar la (^) que: funci on ( x; y ) = (2 x 3) y^2 se puede a r- (a) puede (^) de una ser (^) funci la (^) on parte (^) anal real, (^) tica p ero (^) en Cno imaginaria, (b) puede (^) de una ser (^) funci la (^) on parte (^) anal imaginaria, (^) tica en C p ero no real, (c) puede (^) de una ser (^) funci la parte (^) on anal real (^) tica o la (^) en parte (^) C imaginaria (d) ninguna de las otras
- Sea (^) real. f (^) Si ( z ) (^) f = (^) ( x ) u ( (^) = x; (^) (1 y ) (^) + (^) j j (^) a v (^) ) ( (^) x x; (^) , a y ) 2 anal (^) R , se tica (^) tiene, en el (^) en ejela regi on de analiticidad: (a) v ( x; y ) = ax y (b) u ( x; y ) = ax y (c) u ( x; y ) = x + ay (d) ni (^) cono u ( (^) ciendo x; y ) ni (^) s olo v ( (^) f x; (^) ( x y (^) )) est an determinadas
- La funci on f ( z ) = sh ( e^ z ) cumple: (a) es anal tica s olo en el origen (b) no es anal tica en ning un z 2 C (c) es (^) ferencia anal tica (^) de radio s olo en (^1) cen el in (^) trada terior (^) en de (^) el la (^) origen circun- (d) es anal tica en to do z 2 C
- La funci on f ( z ) = e^ ^ x (cos y j sin y ) cumple:
(a) f ( z ) = f^0 ( z ) (b) f ( z ) = f ( z ) (c) f ( z ) = f^0 ( z ) (d) f ( z ) = f ( z ) 1.3 In tegraci on
- La (^) v a de in tegral 1 j a R 1 cos (^) + j z (^) , dz (^) v ale, donde es la recta que (a) sin (1 j ) sin (1 + j ) (b) 2 j sh 1 cos 1 (c) 2 j c h 1 sin 1 (d) 2 j c h 1 cos 1
- Sea I :=^ R z e^ z^2 dz. En tonces, es falso que (a) I =^12 ( e 1) si es un camino de 0 a 1 (b) I =^12 ( e 1) si es un camino de 0 a 1 (c) I = 0 si es un camino de 1 a 1 (d) I = 0 si es un camino de 0 a j
- El (^) C : v (^) j alor (^) z j = de (^2) g la (^) (recorrido in tegral^ Hen z (^2) sen ( dzz tido 1) , donde (^) p ositiv o) = (^) es:f z 2 (a) 0 (b) 1 (c) 1 (d) 2
- La (^) v ertical in tegral que Rv a j (^) del z j^2 dz (^) pun , (^) to donde (^1) al 1 + es (^) j el (^) v ale: segmen to (a)^43 (b)^43 j (c) 0 (d)^13
- La (^) x + in 1 tegralv ale^ R 1+ 1 jj^ dz z siguiendo la par ab ola 2 y^2 = (b) (a)^ j ^3 2 j^ (c) 0 2
(a) j 2 (b) (c)^121 ( b^2 a^2 ) (d) j 2 ab (^ b^22 ^ +^ a^2 )
- El (^) j z v alor (^) j j = de (^1) g la (^) es: in tegral^ H C ( z 2 dz +1) 2 , donde C = f z :
(b) (a)^ =^ = 216 (d) (c)^ j^ j =^ = 216
- La (^) param in tegral etricas) R z (^) x dz (^) = , (^) t donde (^) cos t , y es (^) = la (^) t sin curv (^) t , a 0 (dada (^) t en , v ale: (b) (a)^ ^22 ^ ^121 ^ j^ ^2 (c)^12 +^ j^ ^3 (d) j^2 ^ ^32
- El v alor 3 de la in tegral^ H j z j j = 2 g es:^ C^ (^ z^2 dz^ ^ 1)^2 ,^ donde^ C^ =^ f^ z^ : (a) j = 2 (b) 1 = 4 (d) (c)^ j^0 =^2
- La (^) de lado in tegral 4 cen H Ctrado c^ zh^4 z dz (^) en , (^) el donde (^) origen, C es (^) v ale: un cuadrado (a) 2 (b) (^) (c) j ^ (^4) j (d) 0 2
- La (^) de lado in tegral 1 cen H Ctrado sh^ z 5 z dz (^) en , (^) el donde (^) origen, C es (^) v ale: un cuadrado
(b) (a)^0 j (c) j 12 (d) j 12
- Las (^) semicircunferencia in tegrales de z (^) en a (^) el lo (^) semiplano largo de las (^) sup curv (^) erior, as (^) con 1 : radio (^) 2 : semicircunferencia 1 y cen tro 0, recorrida (^) en el semiplano desde (^1) inferior, a 1; y con (^) satisfacen: radio 1 y cen tro 0, recorrida desde 1 a 1; (a)^ R 1 =^ R 2 (b)^ R 2 ^ R 1 = j (c)^ R 2 ^ R 1 = 2 j (d)^ R 1 ^ R 2 = 2 j
- Si (^) j ( z (^) + = (^2) r e), j^ el , (^0) v alor < (^) de 2 la , (^) in y (^) tegralse de ne (^) H C ln ln (^) z z (^) dz := (^) , dondeln r + C (^) el origen, es una circunferenciaes: de radio R cen trada en (b) (a)^0 j 2 R (c) j 2 (d) j R
- La (^) : in (^) semicircunferencia tegral^ R z cos( z^2 ) (^) en dz (^) el a lo (^) semiplano largo de (^) derecla curv (^) ho, a con (^0) a jradio p ; v pale: = 2 y cen tro j^ p = 2, recorrida desde (a)^ j 2 sh (b)^ j 2 c h (c)^12 cos( j ) (d) 0
- La (^) v a de in tegral 0 a 1 + R j j z (^) es:j^2 dz a lo largo de la recta que (a)^23 (b)^23 j (c)^13 (1 + j ) (d)^23 (1 + j ) 1.4 Series
- El (^) la funci radio (^) on de (^) f con (^) ( z ) v (^) =ergencia (^) cos ( ez z+2) de (^) , en la (^) p serie (^) otencias de T a (^) de ylor (^) z , dees (a) 1
(b)^ 2 (c)^ 4+^2 (d)^4 2
El (^) la funci radio (^) on de (^) f con (^) ( z ) v (^) =ergencia (^1) (^1) sin z , de (^) en la (^) p otencias serie de T (^) de a ylor (^) z , es de (a)^ 2 (b) 1 (c) (d) 1
La (^) cias serie (^) de ( de (^) z + T (^) 1) a ylor (^) con de (^) v erge f ( z (^) en:) =^ e z^ z 2 +sin^ 6 z +18(^ z^2 ) en p oten- (a) j z + 1 j < 5 (b) j z + 1 j > 5 (c) 2 j z + 1 j 6 (d) 0 < j z + 1 j 5
El (^) v alido desarrollo (^) en j z j > en (^) 1, serie (^) es: de la funci on f ( z ) =^ 1+^1 zz , (a) 1 2 P^1 n =1 z^ n (b) 1 2 P^1 n =1 z^ ^ n (c) 1 2 P^1 n =1 z^ ^ n (d) 1 + 2 P^1 n =1 z^ n
El (^) en desarrollo (^) p otencias de en (^) z serie (^) 1, de (^) es: la funci on f ( z ) =^ 1+^1 zz , (a) T a ylor, con un n umero in nito de t erminos (b) Lauren (^) nos t, con un n umero in nito de t ermi- (c) T a ylor, con un n umero nito de t erminos (d) Lauren t, con un n umero nito de t erminos
El (^) de desarrollo (^) p otencias de (^) de la (^) z es:funci on f ( z ) =^1 e z^ ^ z en serie (a)^ P^1 n = (^1) ( (^ n +1)!1)^ n z^ n (b)^ P^1 n =0^ (^ ( n 1)+1)!^ n^ +1 z^ n (c)^ P^1 n =0 ( (^ n +1)!1)^ n z^ n (d) ninguna de las an teriores
El (^) funci desarrollo (^) on z ( z (^21) 1)de (^) , v Lauren (^) alido en t cen (^) la trado (^) corona en 1 z (^) < = (^) j z 0 j < de 1 la, es (a)^1 z + z^13 + z^15 + (b) z^13 + z^14 + z^15 + (c) z^12 + z^14 + z^16 + (d) z^13 + z^15 + z^17 +
Consideremos funci on f ( z ) = el (^) z (^21) +1desarrollo (^) en torno de (^) a z 0 Lauren (^) = j. El t de (^) co e - la cien te c 2 (de ( z j )^2 ) es: (a) 161 (b)^18 (c) 161 (d) ^18
El (^) funci desarrollo (^) on f ( z ) =en (^1) 1+ serie (^) zz , v alido en p (^) en otencias (^) j z j > 1, de (^) es: z de la (a) 1 + 2 ^1 z z^12 + z^13 z^14 + ^ (b) 1 + 2(1 z + z^2 z^3 + ) (c) 1 + 2 1 ^1 z + z^12 z^13 + ^ (d) 1 + 2 ^1 z + z^12 + z^13 + z^14 + ^
En (^) la funci f z (^2) on C : (^) f ( 1 z < (^) ) =j z j (^) ( z < (^) +5)( 5 1 g (^) z el (^) j )desarrollo (^) es: en serie de (a) 5(5+ 1 j )^ P^1 n =0^ (^ 5 1) n^ n z^ n + 5+ 1 j^ P^1 n =0 z^ j n n+ (b) 5(5+ 1 j )^ P^1 n =0^ (^ 5 1) n^ n z^1 n + 5+ 1 j^ P^1 n =0 j^ n z^ n^ + (c) 5+ 1 j^ P^1 n =0^ (^ 5 1) n^ n z^ n 5(5+ 1 j )^ P^1 n =0 z n j^ n+ (d) ninguna de las otras
En (^) z (^2) z z el (^1) +1 desarrollo (^) en torno a en (^) z = serie (^) 1, el de (^) n umero la funci (^) de on (^) t erminosf ( z ) = no (^) resp n ulosectiv y (^) amen la regi (^) te: on de v alidez del desarrollo son, (a) 3, 0 < j z 1 j < 1 (b) 4, 0 < j z 1 j (c) 3, 0 < j z 1 j (d) 1 , 0 < j z 1 j < 1
(d) N > n + 1
- El (^) Lauren residuo (^) t) de (el (^) la co (^) funci e cien (^) on te (^) f a( z ) 1 = de (^) esu (^1) (^1) zdesarrollo (^) en el pun deto z = 1 es: (a) 0 (b) 1 (d) (c)^12
- P ara la funci on f ( z ) = 1 (1 sin^ zz (^2) ) 2 , el origen es: (a) p olo simple (b) p olo doble (c) p olo triple
- El (d)^ residuo pun^ to^ (el singular,^ co e cien p^ ero^ te ano^ p^ olo Lauren t) de la funci on f ( z ) 1 = de^ sinsu^ desarrollo^ z ^11 z de^11 en el pun to z = 1 es: (a) 0 (b) (^) (c) 1 1 (d) 2
- P ara la funci on f ( z ) =^ z^ zsin^3 z , el origen es: (b) (a)^ p^ p oloolo^ simpletriple (c) singularidad esencial (d) ninguna de las otras 1.6 Aplicaciones
- La in tegral impropia^ R 01 1+ cos^ xx 2 dx v ale: (a) ^ e (b) (c)^ e (d) ^2 e^
- El v alor 2 ede la in tegral^ R^2 (a) 0 0 2+sin^ dt t^ es:
(b)^ p^43 (c)^3 2 (d)^ p^23
- Con el cam bio z = e^ j^ , la in tegral^ R 02 3+cos d da: (a)^ 8 (b)^ p^ 2 (c) 4 p^ 2 (d) 4
- La in tegral^ R 01 x^ dx (^4) +1 dx v ale: (a) 0 (b)^ p^ 2 (c) (d) 2 p^ 2
- El c alculo de la in tegral^ R 01 1+ dxx 6 dx da: (a) = 2 (b) = 3 (c) = 4 (d) = 6
- El c alculo de la in tegral^ R 01 sin^ x x dx da: (b) (a)^ = 2 (c) = 4 (d) 2
- La in tegral^ R (^11) x^ cos^2 +1x dx v ale: (a) 2 e (b) ^ e (c)^ 2 (d)^ e
- El (^) (a) c alculo (^) de la in tegral^ R 11 sin x^22 x dx da: (b) = 2 (c) = 4
(d) 2
- El v alor de la in tegral^ R (^11) ( x (^2) + a^ x (^22) )( dxx (^2) + b (^2) ) es: (b)^ (a)^ a^2 +^ ^ b (c)^ 2(^ a^ +^ b^ ) (d)^ a^ ab^ +^ b
- Sea (^) in tegral p (^2) RR 02 , (^) j 1 p (^) j (^) cos 2 < (^) p cos 2 1. (^) d+ Con (^) p 2 da: el cam bio z = e^ j^ , la (a) ^ ^ (1+^ p 2 p^2 ) (b) 1 2 pp^22 (c) p^ 2 (1+^ (1 pp^42 ) ) (d)^ ^ (1+^ p 2 p^2 ) 1.7 Soluciones 1 9 (b);(c); 10 2 (c); (^) (a); 3 11 (c); (^) (d); 4 (b); (^12) (b); 5 (a); (^13) (b); 6 (d); (^14 7) (c); (a); 15 8 (a);(d); 16 23 (c); (^) (d); 17 24 (b); (^) (b); 18 25 (b); (^) (c); 1926 (d); (c); 20 27 (a); (^) (d); 21 28 (b); (^) (a); 22 29 (d);(b); 30 37 (c); (^) (d); 31 38 (a); (^) (c); 32 39 (d); (^) (d); 4033 (c); (^) (c); 4134 (b); (b); (^3542) (d); (a); (^36 43) (a);(c); 44 51 (b); (^) (d); 45 52 (a); (^) (c); 4653 (b); (^) (c); 4754 (a); (d); (^55 48) (d); (d); (^49 56) (d); (a); 50 57 (a);(a); 58 65 (b); (^) (d); 59 66 (d); (^) (d); 60 67 (d); (^) (a); 61 68 (a); (^) (a); 62 69 (c); (^) (c); 63 70 (b); (^) (d); 64 71 (d);(c); 72 79 (d); (^) (d); 80 73 (c); (^) (b); 74 81 (a); (^) (a); 75 82 (a); (^) (c); 83 76 (c);(b); 77 84 (a); (^) (a); 78 85 (a);(c); 86 93 (d); (^) (b); 87 94 (b); (^) (d); 88 95 (a); (^) (b); 89 96 (a); (^) (b); 90 97 (d); (^) (d); 91 98 (c); (^) (a); 92 99 (d);(c); 100 (b).
2.2 Deriv abilitat T 19. Si p osem f ( z ) en termes de les co ordenades cartesianes, tenim f ( z ) = z = x iy ) u ( x; y ) = x; v ( x; y ) = y : Les deriv ades parcials de u i v s on u x = 1 ; u y = v x = 0 ; v y = 1 : Lla (^) Cauc v ors, (^) h y-Riemann p o dem v eure (^) en cap que (^) pun u xt 6 = (^) del v ypla. 8 ( x; (^) Aix y ) (^) o 2 equiv R^2. (^) al En (^) a que altres (^) f ( z paraules, (^) ) no es deriv no es (^) able compleixen (^) (i am b m es les (^) ra equacions (^) o tamp o c dees anal (^) Recordem tica) en (^) que cap (^) les pun (^) equaciones t de C. de Cauc h y-Riemann s on equiv alen ts, formalmen t, a la condici o:
Es compleixen les eqs. de Cauc h y-Riemann en z 0 ,^ @^ @ fz ( z 0 ) = 0 : Si ho apliquem en aquest cas, tenim @ f p er tan t, no es compleixen les eqs. en cap pun @^ zt, (^ z^ tal )^ =^ com 1 8 z^ hem 2 C^ vist ; abans en co ordenades cartesianes. T 20. Si pro cedim com al problema T 19 , am b la funci o f ( z ) = cos z tenim @ (^) @ fz ( z ) = sin z = 0 , z k = k ; k 2 Z , z k = k ; k 2 Z : Es (^) z^ k = a dir, (^) k . la (^) P er funci (^) tan o (^) t, f (^) no nom (^) existeix es es deriv (^) cap able (^) en torn (noteu (^) de pun que (^) ts les (^) on deriv (^) f hi ades (^) sigui parcials (^) driv able, s on (^) nom con (^) es t n (^) en ues (^) un sempre) (^) conjun en (^) t discret els pun (^) dets pun ts. En altres paraules, la funci o f no es anal tica en cap pun t. T 21. Mirem on es compleixen les eqs. de Cauc h y-Riemann com ho hem fet abans: @ (^) @ fz ( z ) = z ; nom (^) cap en es (^) torn s'an ulde. l a (^) pun en (^) ts z = (^) on 0. (^) f siguiO sigui, (^) deriv les (^) able. eqs. (^) Aix de (^) o C-R (^) v ol dir nom (^) que es es (^) f compleixen (^) no es anal tica en z (^) en = (^) cap 0. (^) punP er (^) t.tan t, no p ot existir Resp (^) ho: ecte la deriv abilitat de f , les eqs. de C-R ens diuen que f nom es p ot ser deriv able en z = 0. Compro v em- z lim! 0 f^ (^ z^ z )^ f^0 (0)^ =^ z lim! 0 z^ zz^ =^ z lim! 0 z^ =^0 : Es a dir, f es deriv able en z = 0 i f^0 (0) = 0. T (^) tenim 22. (^) que Degut (^) ln z al (^) es can (^) anal vi (^) tica brusc (^) en del (^) C v (^) n alor (^) ( f 0 g de (^) [ l'argumen (^) f it j t 2 R t (^) + gen (^) ). la (^) P er semirrecta (^) tan t, es anal it am (^) tica b t > (^) en 0 (noteu (^1) i 1. que ^32 < ^ (^2) ),
T 23. Les eqs. de Cauh y-Riemann en p olars s'escriuen u v r r = = ^1 r v (^1) r u
i (^) P no (^) er tan s on (^) t, les (^) nom relacions (^) es queda que (^) v eure d onen (^) com els (^) s'escriu apartats (^) la deriv (b) i (^) ada (c). en p olars. Sab em que si f es deriv able en z = x + iy , la sev (^) i y a (^) = deriv (^) r sin ada (^) i de es p (^) les ot (^) sev calcular (^) es in v erses mitjan (^) r can (^) = pt f x^02 ( z (^) + ) (^) y= 2 u i x ( z (^) = ) + (^) arctan iv x ( z (^) y x) (^) , = (^) p ov ydem ( z ) calcular iu y ( z ). De les relacions x = r cos r x = 2 p x^2 2 x + y 2 =^1 r r cos = cos ; x = 1 +^ y^ =x y x^2 2 = x 2 + y y 2 = r^12 r sin = ^1 r sin : Ara tenim u x = u r r x + u (^) x = cos u r ^1 r sin u (^) = cos u r ^1 r sin ( r v r ) = cos u r + sin v r ; v x = v r r x + v (^) x = cos v r ^1 r sin v (^) = cos v r ^1 r sin ( r u r ) = cos v r sin u r : P er tan t, nalmen t tenim f^0 ( z ) = u x + iv x = cos u r + sin v r + i (cos v r sin u r ) = (cos i sin )( u r + iv r ) = e^ ^ i ( u r + iv r ) :^ T (^) i sin 24 y. (^) ), P (^) les o dem (^) funcions compro (^) co v (^) ordenades ar les eqs. (^) s onde Cauc h y-Riemann directamen t. Donada la funci o f ( z ) = e^ x^ +^ y (cos y + u ( x; y ) = e^ x^ +^ y cos y ; v ( x; y ) = e^ x^ +^ y sin y : La condici o u x = v y es e^ x^ +^ y cos y = e^ x^ +^ y (cos y + sin y ) , e^ x^ +^ y sin y = 0 , sin y = 0 , y k = k ; k 2 Z : La segona condici o u y = v x es e^ x^ +^ y (cos y sin y ) = e^ x^ +^ y sin y , e^ x^ +^ y cos y = 0 , cos y = 0 : La igualtat cos y k = 0 no es d ona. P er tan t, la funci o f no satisf a les condicions en cap pun t. T (^) el domini 28. Sab (^) que em (^) correspque una (^) ongui), funci o (^) i harm (^) al rev onica (^) es. P sempre (^) er tan t, p (^) cal ot ser (^) v eure la part (^) si u ( x; real (^) y ) o (^) es imagin (^) harm aria (^) onica: d'una funci o anal tica (en
u^ u xx^ x^ =^ = aeae^ y^ y^ sin^ cos x;x; u^ u y yy^ =^ = aeae^ y^ y^ cos cos^ x;x: Finalmen t, notem que u xx + u y y = ae y cos x + ae y cos x = 0 ; p er a qualsev ol v alor de a 2 R. T (^) Riemann, 31. Denotem (^) tenim: aquesta funci o mitjan can t f ( z ) = u ( x ) + iv ( x; y ). Com es compleixen les eqs. de Cauc h y-
u y = u^ x 0 =^ = u ^0 (^ vx^ x :)^ =^ v^ y^ ;
2.3 In tegraci o T (^) Si 42 agafem. La funci (^) una corba o z e^ z^2 es (^) que en tera, (^) v a de p 0 er (^) a tan (^) i t (^) qualsev tenim una (^) ol, tenimregla de Barro w global p er a la in tegral I =^ R z e^ z^2 dz.
I =^ Z z e^ z^2 dz =^ Z 0 ^ i z e^ z^2 dz =^12 e^ z^2 i^ 0 i =^12 ( e^ ^1 1) 6 = 0 : T (^) parametritzaci 44. La corba (^) o, tenim es p ot parametritzar p er z ( t ) = 1 + it p er a t 2 [0 ; 1]. Lla v ors, usan t aquesta Z ^ j^ z^ j^2 dz^ =
Z 1 0 j^1 +^ it^ j^2 idt^ =^ i
Z 1 0 (1^ +^ t^2 )^ dt^ =^ i t +^1 3 t^3
1 0 =^ i^ (1^ +^13 )^ =^43 i:^ T (^) primitiv 45. Si (^) a de usem (^) la funci la branca (^) o (^1) z en ln (^) la z (^) regi = (^) o ln (^) U j z (^) = j + (^) C i (^) n arg (^) f t j ( z (^) t ) 2 am (^) R +b (^) [ arg (^) f 0 ( (^) gg z ) (^). 2 [0 ; 2 ), tenim que aquesta branca es una Noteu (^) demanen que (^) utilitzan la regi o (^) t U (^) la con (^) regla t e (^) de la par (^) Barro ab ola (^) w am 2 yb 2 la = (^) primitiv x + 1 i, (^) a en (^) que conseq (^) abans u encia, (^) hem mencionat:p o dem calcular la in tegral que ens Z 1 i 1+ i^ dz^ z^ =^ ln^ (1^ i^ )^ ln^ (1^ +^ i^ )^ =^ ln^ j^1 i^ j^ +^ i^74 ^ ^ ln^ j^1 +^ i^ j^ i^14 ^ =^ i^32 ^ :^ T (^) del 48 denominador. Noteu que (^) zaquesta (^3) 1. Si circumfer (^) denotem encia (^) p er f no (^) ( z ) con (^) = t (^) ze (^2) + cap (^) z (^3) z +1 de (^) , es les (^) compleix dues arrels 3- esimes de 1 diferen ts de 1, zeros
z^3 z ^31 = ( z 1)( z^ z^23 + z + 1)^ = z f^ (^ z^ ) 1 : Noteu que f es anal tica sobre i (^) I dins de la corba C. P er tan t, p o dem aplicar el T eorema de Cauc h y:
C^ z z^3 ^31 dz^ =^ I C^ z^ f^ (^ z^ )^1 dz^ =^2 if^ (1)^ =^23 ^ i:^ T (^) C v 49 e. (^) donada La branca (^) p er z que (^) ( ) = hem (^) e i , d'utilitzar (^) lla v ors la es (^) in tegral ln ( z ) = (^) v al ln j z j + i ( + 2 ) am b 2 ( ; ]. La parametritzaci o de I C^ z^ dzln^ z^ =
Z ^ ie e^ i^ i ln de^ i^ =^ i^ Z^ ^ i^ (^ ^ d+^2 )^ =^ (ln^ (^ +^2 )]^ ^ ^ =^ ln^ (3^ )^ ln^ =^ ln^3 :^ T (^) la in 54 tegral. Si agafem (^) v al C un cercle de radi R cen trat a l'origen, de parametritzaci o z ( ) = R e^ i p er a 2 [0 ; 2 ), I C^ dz^ j^ z^ j^ =
Z 2 0 R^ ie R^ i^ d^ =^ i^ ^ e i^ i^ ^2 P er tan t, els apartats (b) i (d) no s on certs.^0 =^1 ^1 =^0 : P (^) s'an er (^) ulv eure (^). l a. Considereu que l'apartat (^) la corba (c) tamp (^) de o c (^) la es (^) gura. cert, p (^) Si osem (^) usem un (^) la exemple (^) notaci o d'una (^) a;b p er corba (^) indicar tancada (^) el tro c tal (^) de que (^) la corba la in tegral (^) que nov a del pun t a al pun t b , tenim que = 1 ; 2 + 2 ; 2 i + 2 i;i + i; 1. Am b aquesta notaci o, tenim
2i i
I ^ dz^ j^ z^ j^ =^ (
Z 1 ; 2 +
Z 2 ; 2 i^ +
Z 2 i;i^ +
Z Anem a calcular cada una d'aquestes in tegrals, on les parametritzacions ^ i;^1 )^ dz^ j^ z^ jseran : les usuals: Z 1 ; 2 dz^ j^ z^ j^ =
Z 2 Z^1 dx^ j^ x^ j^ =^ (^ ln^ x^ ]^21 =^ ln^2 ; 2 ; 2 i^ dz^ j^ z^ j^ =
Z = 2 0 2 ie 2 i^ d^ =^ i^ ^ e i^ i^ ^ ^ =^2 Z^0 =^ i^ ^1 ; 2 i;i^ dz^ j^ z^ j^ =
Z 1 2 idy^ j^ iy^ j^ =^ i
Z 1 Z^2 dy^ y^ =^ i^ (^ ln^ y^ ]^12 =^ i^ ln^2 ; i; 1 dz^ j^ z^ j^ =
Z 0 = 2 ie 1 i^ d^ =^ i^ ^ e^ i i^ ^0 Aix , el v alor de la in tegral es:^ ^ =^2 =^1 i: I ^ dz^ j^ z^ j^ =^ ln^2 +^ i^ ^1 i^ ln^2 +^1 i^ =^ (1^ i^ )^ ln^2 6 =^0 : Una (^) tenim altra (^) que manera (^) la funci o de (^) f ( v (^) z eure (^) ) = j que (^1) z j es (c) (^) con no (^) t n es (^) ua correcta, (^) en C n f 0 es (^) g. p (^) P er (^) el con (^) T eorema tradicci (^) de o. (^) Morera Sup osem (^) tindriem que s que que (^) f ho (^) es es, (^) anal lla (^) ticav ors en (^) de C (^) Cauc n f (^0) h g (^) y-Riemann. P er o aix o (^) i es (^) es fals. (^) f acil Si (^) v eure f ora (^) que cert, (^) aix les (^) o no funcions (^) es cert: part real i imagin aria de f complirien les condicions f ( z ) = j 1 z j = ( x^2 + y^2 )^12 ) u ( x; y ) = ( x^2 + y^2 )^12 ; v ( x; y ) = 0 : P er exemple, la condici o u x = v y que es ( x (^2) + xy (^2) ) 3 = 2 = 0, no es compleix en C n f 0 g. T (^) de nim 55. Siguin (^) C 1 ; 1 am C (^1) b ; (^0) el una (^) pun corba (^) t z 1. tancada, con tinguda dins C 1 i que nom es con t e el pun t z 0. De forma an aloga P el fet que es anal tica dins i sobre C 0 , tenim I
P el T eorema de Cauc h y , tenim^ C^0 (^ z^ )^ dz^ =^0 : I C 1 (^ z^ )^ dz^ =
I C 1 ; 0 (^ z^ )^ dz^ +
I C 1 ; 1 (^ z^ )^ dz^ :
T 69. Si escrivim f ( z ) = z + 1 1 z^ =^ (^ z^ +^ 1) z ^11 =^ ^1 +^ z z 1 ^11 z^ =^ (^?^ ) En la regi o j z j > 1 tenim que j^1 z j < 1 i p o dem desen v olupar l'expressi o an terior com segueix: (? ) = (^1 z + 1)^ X k 0 z^1 k = ^ X k 0 z k 1 +1 ^ X k 0 z^1 k = 1 2 X k 1 z^1 k : T (^) in teressa 70. Encara (^) tenir que (^) la s erie es la (^) cen mateixa (^) trada al funci (^) pun o (^) t que (^) z 0 = a (^) 1, l'exercici (^) o sigui en an terior, (^) la regi el (^) o z desen (^6) = 1 v (^) que olupamen (^) es la mateixa t no es al (^) que zero. (^) j z Ara (^1) j > ens 0. P er o si observ em la manipulaci o 1 1 + (^) zz = z (^) z + (^) (^11) = ( z z 1) 1 + (^2) = 1 z (^21) ; ens (^) Lauren queda (^) t de una (^) dos termes.expressi o en p ot encies de z 1. O sigui, en j z 1 j > 0, tenim un desen v olupamen t de
T 72. P o dem manipular directamen t la s erie z ( z^21 1)^ = z^131 ^1 z^12 =^ (^?^ ) a m es, en la regi o 1 < j z j < 1 , tenim j 1 z j < 1 i p o dem p osar la segona fracci o com a una suma geom etrica: (? ) = z^13 X k 0 z^12 k = z^13 + z^15 + z^17 + T (^) i j z 73 . (^) i j Ens (^) > 2, demanen (^) nom es n'hi el co (^) ha e cien (^) una t (^) on c 2 , (^) apareixen que es d' ndex (^) ndexs p (^) p ositiu. (^) ositius: De (^) la les (^) primera. dues p ossibles (^) P er tan t, regions (^) treballarem j z i j (^) en < (^) la 2 regi o j z i j < 2: z^21 + 1 = z^2 ^1 i^2 = ( z i )( 1 z + i )^ = z 1 i ( z i 1 ) + 2 i^ = 2 i ( z 1 i ) 1 +^1 z^2 ii^ =^ (^?^ ) En la regi o de treball es compleix^ z^2 ii < 1. Aix doncs, tenim una suma geom etrica: (? ) = 2 i ( z 1 i )^ X k 0 (^ (2 1)i ) k^ k ( z i )^ k =^ X k 0 (2 (^ i )1) k +1^ k ( z i )^ k^ ^1 : P er tan t, el co e cien t c 2 corresp on a k = 3, es a dir c 2 =^ (^ (2 i 1)) 43 = 161 :^ T 76. Sup osem z 6 = 1, lla v ors si dividim z^2 z + 1 en tre z 1, tenim z^2 z z 1 + (^1) = z + z (^11) = ( z 1) + 1 + z (^11) : P (^) termes. er tan t, si tenim cen trada la s erie en z 0 = 1, tenim que en la regi o j z 1 j > 0 la s erie de Lauren t t e tres
T 79. P o dem fer apar eixer p ot encies de z + 2 aix : (^1) z = ( z + 1 2) 2 = (^121) (^1) z +2 2 = 12 X k 0 21 k^ (^ z^ +^ 2)^ k^ ; v alid en la regi o j z + 2 j < 2.
2.5 Residus T (^) n + 86 2. (^) p Sup (^) osicions osem (^) diferen que les (^) ts arrels (^) de la del (^) corba: p olinomi (^) (1) no s on (^) tanca totes (^) cap diferen (^) arrel; ts, (^) (2) denotem-les (^) nom es tanca p er (^) z 1 z (^1) i ; (^) no :::; zpassa n. Considerem (^) p er cap altra les arrel;... arrels. Si ( n (^) totes + 1) nom (^) aquestes es tanca (^) p osicions z n i no (^) donen passa (^) resultats p er cap altradiferen arrel (^) ts, tenim i, nalmen (^) n + 2 t, (^) resultats ( n + 2) la (^) diferen corba (^) ts. tanca (^) P er totes (^) tan t, lesel nom bre m axim de v alors diferen ts es N n + 2 > n + 1. T 88. Si desen v olup em les expressions que ens apar eixen, en el pun t zero: sin z = z ^16 z^3 + o ( z^3 ) ; 1 (1 z^2 )^2 = 1 (1 + z^4 2 z^2 ) = z^2 (2 z^2 ) ; aix doncs, sin z
P er tan t, si fem^1 (1^ z^2 )^2 =^ z^ ^ z^216 (2^ z^3 ^ +^ zo^2 (^ )z^3 )^ =^1 ^ z^16 (2^ z^2 ^ +^ zo^2 )(^ z^2 )^ : z lim! 0 z 1 (1 sin^ z z^2 )^2 =^ z lim! 0 1 ^162 z ^2 +^ z^2 o^ (^ z^2 )^ =^126 =^0 ; compro v em que tenim un p ol simple. T 89. T enim sin z ^11 z ^11 = z ^11 ^16 ( z ^1 1) 3 + z ^11 = ^16 ( z ^1 1) 3 + on tots els co e cien ts menors que 2, es a dir, c 1 = 0. T 90. Dels desen v olupamen ts z sin z
tenim^ z^3 =^16 z^3 +^ z^3 o^ (^ z^3 )^ ; z lim! 0 z^ zsin^3 z^ =^ z lim! 0 16 +^ o^ (1)^ =^16 : P er tan t, en z 0 = 0 hi ha una singularitat evitable. T 99. Considereu la corba R de la gura
