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TEMA 3: Variables Aleatorias Unidimensionales.
1 Introducci´on
Una variable aleatoria X es una funci´on que asigna un valor num´erico a cada posible resultado de un experimento: X : Ω −→ R.
Example 1 Sea el experimento “lanzamiento de una moneda dos veces”. El espacio muestral es Ω = {CC, +C, C+, ++} y las probabilidades sobre los sucesos elementales ser´an:
P (CC) =
, P (+C) =
, P (C+) =
, P (++) =
Definimos la variable X =“N´umero de caras” como X : Ω 7 −→ R donde:
CC 7 −→ 2 , +C 7 −→ 1 , C+ 7 −→ 1 , ++ 7 −→ 0
2 Distribuci´on de una variable aleatoria
Una variable aleatoria induce un nuevo espacio probabil´ıstico sobre R de la siguiente manera. Dado B ⊂ R, la probabilidad P (B) ser´a la probabilidad de aquellos resultados del experimento que dan lugar a un n´umero en B.
Example 2 Sea X la variable aleatoria“n´umero de caras en dos lanzamientos de una moneda”. La probabilidad inducida por X en R ser´a:
P (0) = P (++) =
, P (1) = P (C+, +C) =
, P (2) = P (CC) =
2.1 Funci´on de distribuci´on
Una funci´on de distribuci´on se define como F (x) = P (X ≤ x). Verifica las siguientes condi- ciones:
- F es no decreciente.
- F es continua por la derecha: limh→ 0 ,h> 0 F (x + h) = F (x).
- F (−∞) = 0.
- F (+∞) = 1.
3 Clasificaci´on de variables aleatorias
En funci´on de los valores que tomen (X(Ω)) se clasifican en discretas y continuas.
3.1 Variables aleatorias discretas
Si el conjunto de posibles valores que puede tomar es finito o infinito numerable. Dada una variable discreta X que toma los valores X(Ω) = {x 1 , x 2 ,.. .}, llamaremos llama funci´on masa de probabilidad de la variable aleatoria X, a aquella funci´on que nos especifica la probabilidad de cada uno de los valores que toma X. Se trata de una funci´on P : Ω −→ [0, 1] definida por P (X = xi) = pi.
Propiedades:
- 0 ≤ P (X = x) ≤ 1 para todo x ∈ {x 1 , x 2 ,.. .}.
i
P (X = xi) = 1.
Podemos calcular las probabilidades sobre cualquier otro suceso a partir de las pi de la siguiente manera:
P (A) =
xi∈A
pi =
xi∈A
P (X = xi) para todo A ⊂ R
La funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria discreta es de la forma:
F (x) = P (X ≤ x) =
xi≤x
pi.
0 1 2 3 4 5 6 7
P(X=0)
P(X=1)
P(X=3)
P(X=4)
P(X=5)
1=F(5)
F(4)
F(3)
F(1) F(0)
3.1.1 Caracter´ısticas de una variable aleatoria discreta
Esperanza matem´atica o valor esperado (media): E(X)
E(X) = μ =
i
xipi
Propiedades
- Funci´on de distribuci´on:
F (x) =
0 si x < x 1 k n
si xk ≤ x < xk+1, k = 1,... , n − 1 1 si x ≥ xn
Bernoulli, Be(p): llamaremos experimento de Bernoulli al experimento aleatorio donde s´olo hay dos posibles resultados: ´exito y fracaso. Llamaremos p a la probabilidad de ´exito y q = 1 − p a la probabilidad de fracaso. Una variable aleatoria de Bernoulli tomar´a dos ´unicos valores: 1 (´exito) y 0 (fracaso). Por ejemplo, lanzamos un triple y observamos si encestamos o no, 1 (´exito) ser´ıa encestar y 0 (fracaso) no encestar.
- Valores que toma la variable X(Ω) = { 0 , 1 }.
- Funci´on de masa de probabilidad: xi 0 1 pi q p
- Caracter´ısticas: E(X) = p, V ar(X) = pq.
- Funci´on de distribuci´on:
F (x) =
0 si x < 0 q si 0 ≤ x < 1 1 si x ≥ 1
Binomial, B(n,p): La variable X de inter´es ser´a X =“n´umero de ´exitos en n experimentos de Bernouilli independientes”. Dicha variable la denominaremos binomial de par´ametros n, p y la representaremos por B(n, p), donde n es el n´umero de experimentos realizados y p la probabilidad de ´exito.
Ejemplos: n´umero de triples encestados en 10 lanzamientos, n´umero de caramelos de lim´on en un paquete de 10 caramelos...
- Valores que toma la variable X(Ω) = { 0 , 1 ,... , n}.
- Funci´on de masa de probabilidad: la probabilidad de obtener k ´exitos ser´a
P (X = k) =
n k
pkqn−k
- Caracter´ısticas: E(X) = np, V ar(X) = npq.
Geom´etrica, G(p): en las mismas condiciones del experimento binomial, consideremos la variable aleatoria X =“n´umero de fracasos hasta obtener el primer ´exito”. La variable as´ı definida tiene una distribuci´on geom´etrica de par´ametro p (donde p es, de nuevo, la probabilidad de ´exito).
- Valores que toma la variable X(Ω) = { 0 , 1 , 2 ,.. .}.
- Funci´on de masa de probabilidad: la probabilidad de fracasar k veces antes de obtener el primer ´exito ser´a P (X = k) = qkp.
q p
, V ar(X) =
q p^2
Binomial Negativa, BN(r,p): en las mismas condiciones del experimento binomial, con- sideremos la variable aleatoria X =“n´umero de fracasos hasta obtener r ´exitos”. La variable as´ı definida tiene una distribuci´on binomial negativa de par´ametros r y p, donde r representa el n´umero de ´exitos a obtener y p la probabilidad de ´exito.
- Valores que toma la variable X(Ω) = { 0 , 1 , 2 ,.. .}.
- Funci´on de masa de probabilidad: la probabilidad de fallar k veces antes de obtener los r ´exitos ser´a P (X = k) =
(r+k− 1 k
qkpr.
- Caracter´ısticas: E(X) = r
q p
, V ar(X) = r
q p^2
Distribuci´on de Poisson, P (λ): para definir esta variable es necesario explicar que es un proceso de Poisson. Consideremos un experimento en el que observamos la aparici´on de sucesos en un intervalo de espacio o tiempo. Supondremos que el proceso que genera estos sucesos se caracteriza por:
- Es estable: produce, a largo plazo, un n´umero medio de sucesos constante λ por unidad de observaci´on (tiempo, espacio,... )
- Los sucesos aparecen de forma independiente, es decir, conocer el n´umero de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el n´umero de sucesos en el siguiente.
La variable de Poisson se define en el proceso anterior como X =“n´umero de sucesos en un intervalo de tiempo o espacio”. Ejemplos de esta variable ser´ıan: el n´umero de radares en 200km de carretera, el n´umero de clientes que llegan a una gasolinera durante una hora, el n´umero de defectos en un metro cuadrado de tela, el n´umero de llamadas en una centralita durante 8 horas,...
- Valores que toma la variable X(Ω) = { 0 , 1 , 2 ,.. .}.
- Funci´on de masa de probabilidad: la probabilidad de que ocurran k sucesos ser´a
P (X = k) = e−λ^
λk k!
- Caracter´ısticas: E(X) = λ, V ar(X) = λ.
3.2 Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria es continua si toma un n´umero infinito no numerable de valores. Se define la funci´on de densidad asociada a una variable aleatoria continua X como una funci´on real que verifica:
- Es una funci´on no negativa, f (x) ≥ 0, para todo x ∈ R.
−∞ f^ (x)dx^ = 1. La funci´on de densidad verifica las siguientes propiedades:
3.2.2 Principales distribuciones de probabilidad continuas
Uniforme continua, U(a, b): una variable aleatoria sigue una distribuci´on uniforme en un intervalo, cuando su funci´on de densidad es constante en dicho intervalo y se anula fuera de ´el.
- Valores que toma la variable X(Ω) = (a, b).
- Funci´on de densidad:
f (x) =
b − a
cuando a < x < b
0 en otro caso
- Funci´on de distribuci´on:
F (x) =
0 cuando x ≤ a x − a b − a
cuando a < x < b
1 cuando x ≥ b
b + a 2
, V ar(X) =
(b − a)^2 12
Distribuci´on normal, N (μ, σ): Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribuci´on normal de par´ametros μ y σ, con μ ∈ R y σ > 0 si su funci´on de densidad es:
f (x) =
2 πσ^2
exp
(x − μ)^2 σ^2
con x ∈ R
- Valores que toma la variable X(Ω) = R.
- Funci´on de distribuci´on: F (x) =
∫ (^) x −∞
2 πσ^2
exp
(t − μ)^2 σ^2
dt. Est´a tabulada.
- Caracter´ısticas: E(X) = μ, V ar(X) = σ^2. Es sim´etrica respecto a μ y acampanada.
- La distribuci´on N (0, 1) se conoce como normal est´andar.
Distribuci´on exponencial, Exp(λ): dado un proceso de Poisson de par´ametro λ, que nos indica el n´umero medio de sucesos por unidad de tiempo (espacio), si llamamos X al tiempo (espacio) que transcurre hasta que ocurre el primer suceso o el tiempo (espacio) transcurrido entre dos sucesos consecutivos, esta variable seguir´a una distribuci´on exponencial de par´ametro λ, es decir, X ∼ Exp(λ).
- Valores que toma la variable X(Ω) = [0, +∞).
- Funci´on de densidad:
f (x) =
λe−λx^ cuando x > 0 0 cuando x ≤ 0
- Funci´on de distribuci´on:
F (X) =
0 cuando x ≤ 0 ∫ (^) x 0 λe
−λtdt = 1 − e−λx (^) cuando x > 0
λ
, V ar(X) =
λ^2
4 Aproximaciones a la normal
Teorema central del l´ımite: Si tenemos un conjunto de variables {X 1 ,... , Xn}, con n ≥ 30, donde todas las variables tienen la misma distribuci´on, son independientes, y E(Xi) = μ y
V arXi = σ^2 para todo i = 1,... , n. Entonces la variable suma
∑n i=
Xi tendr´a una distribuci´on
aproximada a la de una N (nμ,
nσ). Consecuencias del TCL: Binomial: Dada una variable X ∼ B(n, p) cuando el n´umero de realizaciones del experi- mento es suficientemente grande (n > 30), podemos aproximar la variable por una normal de par´ametros N (np,
npq). Poisson: Dada una variable X ∼ P (λ) con λ > 10 podemos aproximarla por una normal de par´ametros N (λ,
λ).
5 Distribuciones asociadas a la normal
5.1 Chi cuadrado de Pearson
Sean Z 1 , Z 2 , · · · , Zn variables aleatorias independientes tales que Zi ∼ N (0, 1) para todo i = 1 ,... , n. Entonces la variable aleatoria:
∑^ n
i=
Z^2 i = Z 12 + Z 22 +... + Z n^2 ∼ χ^2 n
Propiedades de X ∼ χ^2 n:
- Valores que toma la variable X(Ω) = [0, +∞).
- Caracter´ısticas: E(X) = n, V ar(X) = 2n.
- Sean X ∼ χ^2 n y Y ∼ χ^2 m independientes, entonces X + Y ∼ χ^2 n+m.
La distribuci´on χ^2 est´a tabulada y toma valores no negativos.
5.2 Distribuci´on t de Student
Sean X ∼ N (0, 1) e Y ∼ χ^2 n independientes, entonces la distribuci´on t − student con n grados de libertad (siendo n un n´umero entero) es la distribuci´on de la transformaci´on:
X √ Y n
∼ tn
se dice que tiene una distribuci´on t de Student con n grados de libertad (tantos grados como la Chi del denominador).
Propiedades:
- Valores que toma la variable X(Ω) = R.
- E(X) = 0. Es sim´etrica respecto a su media y con forma de campana.
