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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2007
EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions A, B ou C est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre corres- pondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. (Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’ab- sence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l’exercice est ramenée à 0_._
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.
1. On tire au hasard simultanément 3 boules de l’urne. a. La probabilité de tirer 3 boules noires est :
A.
B.
C.
b. La probabilité de tirer 3 boules de la même couleur est :
A.
B.
C.
2. On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. a. La probabilité d’obtenir 5 fois une boule noire est :
A.
×
B.
C.
b. La probabilité d’obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :
A.
×
B. 2 ×
+ 3 ×
C. 10 ×
×
3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : — R 1 l’évènement : « La première boule tirée est rouge » ; — N 1 l’évènement : « La première boule tirée est noire » ; — R 2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est rouge » ; — N 2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est noire ».
a. La probabilité conditionnelle P R 1 (R 2 ) est :
A.
B.
C.
b. La probabilité de l’évènement R 1 ∩ N 2 est :
A.
B.
C.
c. La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est :
A.
B.
C.
d. La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu une boule noire au second tirage est :
A.
B.
C.
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi !’enseignement de spécialité
I. Restitution organisée de connaissances
1. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = − z. 2. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z. 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z , on a l’égalité : zz = | z |^2.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. On se pro- pose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respective a , b , c , et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a + b + c.
Il. Étude d’un cas particulier
On pose : a = 3 + i, b = − 1 + 3i, c = −
p 5 − i
p
1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixe a + b + c , puis vérifier graphique- ment que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.
III. Étude du cas général.
ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a , b , c sont les affixes respectives des points A, B, C.
1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :
aa = bb = cc.
2. On pose w = bc − bc. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w est imaginaire pur.
a.b. Vérifier l’égalité : ( b + c )
b − c
= w et justifier que :
b + c b − c
w | b − c |^2
c. En déduire que le nombre complexe b + c b − c
est imaginaire pur.
3. Soit H le point d’affixe a + b + c. a. Exprimer en fonction de a , b et c les affixes des vecteurs
AH et
CB.
b. Prouver que
CB ,
AH
π 2
- kπ , où k est un entier relatif quelconque.
(On admet de même que
CA ,
BH
π 2
- kπ ). c. Que représente le point H pour le triangle ABC?
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. L’unité graphique est 2 cm. Le but de cet exercice est d’étudier la similitude plane indirecte f d’écriture com- plexe :
2. Montrer que T coupe l’axe des ordonnées en un point K dont l’ordonnée YT vérifie : YT = f ( x ) − x f ′( x ).
II. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence x − XT est constante, et égale à k , pour tout nombre réel x. (Propriété 1)
1. Démontrer que f vérifie la propriété 1 si et seulement si f vérifie l’équation différentielle :
y ′^ =
k y
2. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 1 et déterminer pour k =
la fonction f de cette famille qui vérifie de plus la condition : f (0) = 1.
III. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence y − YT est constante et égale à k , pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle I =]0 ; +∞[. (Propriété 2)
1. Démontrer que f vérifie la condition posée si et seulement si f vérifie l’équa- tion différentielle :
y ′^ = k x
2. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 2 et déterminer pour k =
la fonction f de cette famille qui vérifie la condition : f (1) = 0.
EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats
Le but de l’exercice est de montrer que l’équation (E) : e x^ =
x
, admet une unique so-
lution dans l’ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. I. Existence et unicité de la solution
On note f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x − e− x^.
1. Démonter que x est solution de l’ équation (E) si et seulement si f ( x ) = 0. 2. Étude du signe de la fonction f a. Étudier le sens de variations de la fonction f sur R. b. En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur R, notée α. c. Démontrer que α appartient à l’intervalle
[
]
d. Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; α ].
II. Deuxième approche
On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : g ( x ) =
1 + x 1 + e x^
1. Démontrer que l’équation f ( x ) = 0 est équivalente à l’équation g ( x ) = x. 2. En déduire que α est l’unique réel vérifiant : g ( α ) = α.
3. Calculer g ′( x ) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; α ].
III. Construction d’une suite de réels ayant pour limite α
On considère la suite ( un ) définie par : u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n , par : un + 1 = g (^) ( un ).
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
0 6 un 6 un + 1 6 α.
2. En déduire que la suite ( un ) est convergente. On note ℓ sa limite. 3. Justifier l’égalité : g ( ℓ ) = ℓ. En déduire la valeur de ℓ. 4. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u 4 arrondie à la sixième décimale.
