Télécharge Examen de géométrie algorithmique – 4 et plus Examens au format PDF de Géométrie Algorithmique sur Docsity uniquement!
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1993 \
EXERCICE 1 5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct
O,
u ,
v
, l’unité est le centimètre. Soit ABC un triangle direct dont le point O est le centre de son cercle circonscrit. On désigne par M le milieu de [BC], N celui de [CA] et P celui de [AB]. Les affixes respectives des points M, N et P sont notées m , n et p.
1. Dans cette question, m vaut − 1 − 3i et n vaut 2. Construire les triangles MNP et ABC. 2. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à chaque point M d’affixe z = x + i y associe le point M ′^ d’affixe z ′^ = x ′^ + i y ′^ telle que :
z ′^ =
ei^ π 4 p 2
(− z + m + n + p ).
Quelle est la nature de f? Donner ses éléments caractéristiques.
3. a , b et c désignent les affixes respectives des points A, B et C.
a. Montrer que
MN =
PA. En déduire que a = n + p − m. b. Exprimer, d’une manière analogue, b et c en fonction de m , n et p.
4. On pose f (A) = A′, f (B) = B′^ et f (C) = C′. On désigne par a ′, b ′^ et c ′^ les affixes respectives des points A′, B′^ et C′. a. Démontrer que : a ′^ = (1 + i) m , b ′^ = (1 + i) n , c ′^ = (1 + i) p. b. En déduire que
MA′^ et
OM sont orthogonaux et que A′^ appartient à la droite (BC). c. Montrer de même que B′^ appartient à la droite (AC) et que C′^ appartient à la droite (AB).
5. Montrer que les triangles MNP et A′B′C′^ sont directement semblables, (On précisera le centre de la similitude directe transformant le triangle MNP en le triangle A′B′C′.) 6. Compléter par les points A′, B′^ et C′^ la figure réalisée au 1.
EXERCICE 2 4 points
Un tournoi oppose deux équipes A et B qui jouent trois parties successives d’un même jeu. Le vainqueur du tournoi est l’équipe qui a gagné le plus de parties. Chaque partie est notée respectivement A, B ou N suivant que l’équipe A gagne, B gagne ou la partie est nulle. À chaque partie, l’équipe A a une probabilité de 0,5 de gagner, l’équipe B a une pro- babilité de 0,4 de gagner et la probabilité pour que la partie soit nulle vaut 0,1.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
1. Dresser la liste des tournois sans vainqueur : justifier qu’ils sont au nombre de 7. Montrer que la probabilité pour que le tournoi soit sans vainqueur est égale à 0,121. 2. a. Calculer la probabilité pour que l’équipe A gagne exactement une partie du tournoi et remporte le tournoi. b. Montrer que la probabilité pour que l’équipe A soit vainqueur du tournoi est 0,515. 3. Sachant que l’équipe B est vainqueur du tournoi, calculer la probabilité que l’équipe B ait gagné exactement deux parties.
PROBLÈME 11 points
Partie A
1. Résoudre dans l’ensemble R des nombres réels l’équation différentielle :
(1) y ′′^ + 2 y ′^ + 2 y = 0.
2. On considère sur l’ensemble des nombres réels R, l’équation différentielle :
(2) y ′′^ + 2 y ′^ + 2 y = e− x
− x +
a. Déterminer les réels a et b tels que la fonction g définie sur R par :
g ( x ) = e− x^ ( ax + b )
soit une solution de l’équation (2). b. h désignant une solution quelconque de l’équation (1), montrer que la fonction f telle que : f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) est solution de l’équation (2). c. Déterminer parmi les fonctions f définies au 2. b. celle qui vérifie : f (0) = 1 et f ′(0) = −
Partie B
Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle [−1 ; 5] par :
ϕ ( x ) =
e− x 2
(cos x + sin x − 2 x + 1).
1. Montrer que, ϕ ′^ désignant la fonction dérivée de ϕ , on a :
ϕ ′( x ) =
e− x 2
(2 x − 3 − 2sin x ).
2. On pose, pour tout x appartenant à [−1 ; 5], y ( x ) = 2 x − 3 − 2sin x. a. Montrer que y est croissante sur [−1 ; 5]. b. Montrer qu’il existe un unique réel a compris entre 2,2 et 2,3 tel que : y ( a ) = 0. c. Dresser le tableau de variation de ϕ. 3. Construire la courbe représentative de la fonction ϕ en prenant ϕ (2,3) comme valeur approchée de ϕ ( a ).
Partie C
Antilles-Guyane 2 juin 1993
