[Baccalauréat C groupe 1 1juin 1988 \
EXER CIC E 1 4 POINTS
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ³O, −→
ı,−→
´. On considère le cercle C de
centre O et de rayon aet le cercle C′de centre O et de rayon b, où aet bsont des
nombres réels donnés tels que 0 <b<a.
On note D et D′les droites passant par O et de vecteurs directeursrespectifs −→
ıet −→
.
Pour tout nombre réel θ, on note P le point du cercle C tel que θsoit une mesure (en
radians) de l’angle á
³−→
ı,−−→
OP ´et P′le point d’intersection de C′avec la demi-droite ∆
d’origine O passant par P.
Soit enfin M le point d’intersection de la droite passant par P parallèle à D′et de la
droite passant par P′parallèle à D.
1. Calculer les coordonnées xet yde M en fonction de θ.
En déduire la nature de l’ensemble E décrit par M lorsque θparcourt R.
2. a. Déterminer un vecteur directeur de la tangente T à la courbe E au point
M.
b. Soit N le point d’intersection de la droite passant par P parallèle à D et
de la droite passant par P′parallèle à D′.
Prouver que T est orthogonale à la droite (ON).
En déduire une construction géométrique de T.
3. On prend a=6 et b=3. Construire sur une même figure les cercles C et C′, les
droites D et D′et l’ensemble E.
On placera sur cette figure les points P, P′, M et N correspondant à θ=π
4, et la
tangente T en M à E (on prendra 1 cm pour unité graphique).
EXER CIC E 2 5 POINTS
Dans un plan P de l’espace, on considère un cercle C de diamètre [AB]. Soit ∆la
droite passant par A orthogonale à P et S un point de ∆distinct de A.
On note I le projeté orthogonal de A sur la droite (BS).
Pour tout point M du cercleC on note H le projeté orthogonal de A sur la droite (MS).
1. Placer les données précédentes sur une figure, ∆étant placée verticalement.
2. Prouver que H appartient à la sphère Σde diamètre [AS].
3. Dans cette question, on suppose que M est distinct de A et de B.
Prouver que la droite (MB) est orthogonale au plan (AMS).
En déduire que la droite (AH) est orthogonale au plan (BMS).
4. Montrer que H appartient au plan Πpassant par I orthogonal à la droite (BS).
5. a. Déterminer l’intersection Γde la sphère Σet du plan Π.
b. Prouver que l’ensemble décrit par H lorsque M parcourt C est égal à Γ. À
cet effet, étant donné un point N′de Γdistinct de A, on pourra montrer
que le plan (AN′S) coupe le cercle C en A et en un autre point M.
PROB LÈM E 11 P OIN TS
AL’objet de cette partie est d’étudier la fonction fdéfinie sur l’intervalle [0 ; +∞[
par :
1. Paris - Créteil - Versailles
