Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Aix-Marseille juin 1969 \
EXER CIC E 1 5 points
On considère la transformation Tdu plan complexe qui, au point Md’affixe z, fait
correspondre le point M′d’affixe z′déterminée par
z′=³1−ip3´z−2p3.
Montrer que Test une similitude directe, dont on précisera le centre, ω, l’angle, θ,
et le rapport k. Caractériser le triangle formé par le centre, ω, et deux points homo-
logues, Met M′.
EXER CIC E 2 5 points
Étudier et représenter graphiquement en axes orthonormés la fonction fdéfinie,
pour xréel strictement positif, par
f(x)=lnx
x+1
x.
Calculer l’aire de la partie du plan comprise entrela c ourbe représentative de f, l’axe
Oxet les droites x=1
eet x=1.
PROB LÈM E 10 points
1. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, Ox, O y,les coordonnées, x,y,
d’un point mobile Msont données, à chaque instant t, par
½x=1+2cos2t,
y=2sin tcos t.
Montrer que la trajectoire de Mest un cercle, (Γ), décrit d’un mouvement uni-
forme.
Écrire, en fonction de t, l’équation de la tangente en Mà (Γ).
2. On appelle transformé du point M(x;y) appartenant à (Γ) le point M′(X;Y)
défini par les deux conditions suivantes :
a. OM′est perpendiculaire à la tangente en Mà (Γ) ;
b. le produit scalaire −−−→
OM·−−−→
OM′est égal à 3.
Soit (C) l’ensemble des points M′. Établir que les coordonnées, X,Y, de M′
vérifient le système suivant :
½X(2+cos2t)+Ysin2t=3,
Xsin2t−Ycos2t=0.
Former une équation cartésienne de (C). Montrer que (C) est une hyperbole.
3. Exprimer les coordonnées, Xet Y, de M′en fonction de t. Déterminer un
système de paramètres directeurs de la tangente en M′à (C). Montrer que
cette tangente est perpendiculaire à la droite OMen un point m; vérifier que
ce point mappartient au cercle (Γ).
