Télécharge Baccalauréat C Besançon juin 1969 - Mathématiques et plus Exercices au format PDF de Méthodes Mathématiques sur Docsity uniquement!
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Besançon juin 1969 \
EXERCICE 1
On considère, dans le plan complexe muni d’un repère
O,
u ,
v
orthonormé, le
point M image du nombre z. Soit M ′^ le symétrique de M par rapport à la bissectrice
de l’angle
O u ,
O v
et M ′′^ le symétrique de M ′^ par rapport au support de
O v.
Posant z = a + i b , calculer en fonction de a et b les affixes, z ′^ et z ′′, des points M ′^ et
M ′′, puis le rapport
z ′′ z ′^
En déduire la mesure de l’angle
O M ′^ ,
O M ′′^
et la valeur du rapport
O M ′′
O M ′^
Pouvait-on prévoir géométriquement ces résultats?
EXERCICE 2
1. Étudier le sens de variation de la fonction, f , de la variable réelle x définie par
x 7 −→ f ( x ) = y =
p 1 − x^2
sur l’intervalle 0 6 x 6
p 3 2
. Tracer la courbe représentative dans un repère orthonormé. 2. Démontrer que la fonction f admet une fonction réciproque, x = g ( y ). Posant X = y et Y = x , tracer sur la même figure qu’au 1. la courbe représen- tative de la fonction
X 7 −→ g ( X ) = Y.
PROBLÈME
Partie A
1. Par rapport à un repère orthonormé
O,
ı ,
, d’axes
x ′O x et
y ′O y , on donne le cercle ( C ) d’équation
x^2 + y^2 − x = 0
et la droite ( D ) d’équation
x = 1,
qui coupe O x en A. M désignant un point de (C), distinct de O, la droite O M coupe ( D ) en I. On appelle P le symétrique de M par rapport à I et l’on pose (−−→ O x ,
O M
= θ (mod 2 π ).
Calculer O P en fonction de θ et les coordonnées, x et y , de P en fonction de tg θ = t. Former une relation algébrique entre x et y , indépendante de t.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
2. Étudier le sens de variation de la fonction, f , de la variable réelle x définie par la relation
x 7 −→ f ( x ) = y = x
1 − x x − 2
pour 1 6 x < 2.
Tracer sa courbe représentative dans le repère O x , O y. Préciser la tangente au point d’abscisse x = 1. En déduire l’ensemble des points P lorsque M varie sur ( C ).
3. Une inversion de pôle O et de puissance 1 transforme M en M ′^ et P en P ′. Démontrer que M ′^ et P ′^ sont conjugués par rapport au cercle ( C ) et que les droites A P ′^ (lorsque P ′^ et A sont distincts) et O I sont des droites conjuguées par rapport au cercle ( C ). Établir que le produit des coefficients directeurs des droites O I et A P ′^ est constant lorsque M varie sur ( C ). En déduire l’équation de l’ensemble des points P ′^ et construire cet ensemble. Reconnaître que cet ensemble appartient à une el- lipse, dont on donnera les coordonnées des sommets et des foyers.
Partie B
1. On donne, par rapport au repère de la partie A, la droite (∆) d’équation
y = mx + p , avec p 6 = 0.
À tout point variable, M , de (∆), d’abscisse x telle que x ( x − 2) 6 = 0, on associe le point P aligné avec O et M de façon que le milieu, I , du segment MP ait pour abscisse 1. Former l’équation de la courbe (Γ), support des points P associés aux points M de (∆).
2. Trouver l’équation de cette courbe dans le repère
ω ,
ı 1 ,
, ω étant le point de coordonnées (2 ; 2 mp ),
ı 1 et
1 étant les vecteurs
−→ ı 1 =
ı + m
Reconnaître alors la courbe (Γ).
Besançon 2 juin 1969
