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Terminale S mars 2009
Nouvelle–Calédonie
1. Exercice 1
4 points Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; u v , )direct d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’affixes respectives zA = 1 et zB = 3 + 4 i. Soit C et D les points d’affixes respectives zC 2 3 i 2 (^3) et z (^) D 2 3 i 2 (^3) .
L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.
- a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle^2 3
est le point D.
b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.
- Soit F , l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport^3 2
a. Montrer que l’affixe zF du point F est − 2 i. b. Montrer que le point F est le milieu du segment [ CD ].
c. Montrer que C^ F 3 A F
z z i z z
. En déduire la forme exponentielle de C^ F A F
z z z z
. Déduire des questions
précédentes que la droite ( AF ) est la médiatrice du segment [ CD ].
- Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A , B et F et réaliser la figure. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. 2. Exercice 2 (non spécialistes)
5 points
L’espace est rapporté au repère orthonormal (^ O^ ;^ i^ ,^ j k ,^ ). On considère les points :
A (4 ; 0 ; 0), B (0 ; 2 ; 0), C (0 ; 0 ; 3) et^2 ; 2 ;^1 3 3 9
E ^
On se propose de déterminer de deux façons la distance E du point E au plan ( ABC ).
RAPPEL : Soit (P) un plan d’équation ax + by + cz + d = 0 où a , b , c et d sont des nombre réels avec, a , b
et c non tous nuls et M un point de coordonnées ( xM ; yM ; zM ) la distance M du point M au plan (P) est
égale à
2 2 2
ax M byM cz (^) M d a b c
- a. Montrer que les points A , B et C déterminent bien un plan.
b. Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). Montrer que n est un vecteur normal au plan ( ABC ). c. Montrer qu’une équation du plan ( ABC ) est : 3 x + 6 y + 4 z − 12 = 0.
d. Déduire des questions précédentes la distance E.
- a. Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique :
x t y t t z t
^
, est perpendiculaire
au plan ( ABC ) et passe par le point E.
b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan ( ABC ).
c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance E.
3. Exercice 3
5 points Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est^1 2
. Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que
la suivante le soit est^3 4
. Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte
est
On note, pour tout entier naturel n non nul :
- An l’évènement : « la n -ième cible est atteinte ».
- An l’évènement : « la n - ième cible n’est pas atteinte.
- an la probabilité de l’évènement An
- bn la probabilité de l’évènement An.
- Donner a 1 et b 1. Calculer a 2 et b 2. On pourra utiliser un arbre pondéré.
- Montrer que, pour tout n , n > 1 : 1 3 1 n (^) 4 n (^) 2 n a (^) a b puis : 1 1 1 n (^) 4 n 2 a (^) a .
- Soit ( Un ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul, par
n n 3 U a .
a. Montrer que la suite ( Un ) est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier terme U 1. b. En déduire l’expression de Un en fonction de n , puis l’expression de an en fonction de n. c. Déterminer la limite de la suite ( an ). d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : an >0,6665.
4. Exercice 4
6 points
Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par f x 1 x e x.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j )d’unité graphique 1 cm.
1. a. Étudier le signe de f x sur .
b. Déterminer la limite de la fonction f en . Déterminer la limite de la fonction f en .
c. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur . Calculer, pour tout nombre réel x , f x .
En déduire les variations de la fonction f sur . d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [–2 ; 5].
2. On note ( In ) la suite définie pour tout entier naturel n par :
1
n
In f x dx.
Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de In en fonction de n. a. Montrer que, pour tout n : In > 0. b. Montrer que la suite ( In ) est croissante.
- a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b :
b (^) b a a
^ f^ x^ dx^^ ^ ^ ^ b^ e ^^ ^ a^ e ^.
b. En déduire l’expression de In en fonction de n.
c. Déterminer : lim (^) n n
I
