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Terminale S juin 2009
France
1. Exercice 1
4 points
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
- On considère la suite ( un ) définie par : 0 u 1 et, pour tout nombre entier naturel n , 1
n n u u
On pose, pour tout nombre entier naturel n , 6 n n v u .
a. Pour tout nombre entier naturel n , calculer vn +1 en fonction de vn .Quelle est la nature de la suite ( vn )?
b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n ,
n
n u
c. Étudier la convergence de la suite ( un ).
- On considère la suite ( wn ) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n 1 :
nwn (^) n (^1) wn (^) 1 1 et w 0 = 1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite :
w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9
a. Détailler le calcul permettant d’obtenir w 10.
b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
Donner la nature de la suite ( wn ). Calculer w 2009.
Correction
- a. 1 1
n n n n n v u u v v . C’est une suite géométrique de raison 1/3, de
premier terme 0 0 v u 6 5.
b. On a donc
n
n v
, soit
n
n n u v
c. un tend vers 6 quand n tend vers l’infini puisque
1 lim 0 3
n n
v
- a. Remplaçons n par 10 : 10 9 10 10 w 11 w 1 210 w 21.
b. Il semble assez évident que 2 1 n w n : par récurrence c’est vrai jusqu’à n 10 ; supposons que c’est
vrai pour n 1 : wn (^) 1 (^2) n (^1) 1 2 n 1 , alors en remplaçant :
2 2 2 2 n^1 2 1 1 2 2 1 1 2 n^2
n n nw n n n n n n n w n n
On a finalement w 2009 (^) 2 2009 1 5019.
2. Exercice 2
6 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; [ par ln (^) 1
x f x xe
.
On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; [.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est
représentée ci-dessous.
PARTIE I
1. Justifier que lim^ ^0
x
f x
2. Justifier que pour tout nombre réel positif x , le signe de f x est celui de 1 – x.
- Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; [.
PARTIE II
Soit un nombre réel strictement positif. On pose
0
A f x dx
. On se propose de majorer
A à l’aide de deux méthodes différentes.
- Première méthode
a. Représenter, sur la figure la partie du plan dont l’aire en unité d’aire, est égale à A .
b. Justifier que pour tout nombre réel strictement positif, A f 1 .
- Deuxième méthode
a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties
0
x xe dx
en fonction de .
b. On admet que pour tout nombre réel positif u , ln 1 u u.
Démontrer alors que, pour tout nombre réel strictement positif, A e e 1
.
- Application numérique : avec chacune des deux méthodes trouver un majorant de A (5) arrondi au
centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où = 5?
Correction
PARTIE I
- Les croissances comparées donnent
lim lim 0
x
x x x
x xe e
donc lim ln 1 0
x
f x
1 '^1 1
x x x (^) x
x x x
xe e x e x e f x
xe xe xe
(^)
L’exponentielle est toujours > 0, x est positif, le seul terme qui peut changer de signe est 1 x.
- Lorsque x 1 , 1 x 0 et donc f est croissante ; lorsque x 1 , f est négative et f est décroissante.
PARTIE II
c. A B= tirer deux jetons blancs impairs :
A B
p
;
A B
p p ,
les événements A et B ne sont pas indépendants.
- a.
X 2 A
p p ;
X 0 2 noirs 45 15
p p
,
X 1 1
p .
b.
X 0. 1. 2. 1, 4
E .
4. Exercice 4 (non spécialistes)
5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u v , )(unité graphique : 2 cm).
On associe à tout point M d’affixe z non nulle, le point M ’ milieu du segment [ MM 1 ] où M 1 est le point
d’affixe
z
. Le point M ’ est appelé l’image du point M.
- a. Montrer que les distances OM et OM 1 vérifient la relation OM OM 1 1 et que les angles
u^ ; OM 1 ^ et^ u^ ; OM vérifient l’égalité des mesures^ suivante^ u^ ;^ OM 1^ u^ ; OM à 2^ près.
b. Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. Construire le point A ’ image du point A. (On
laissera apparents les traits de construction).
- a. Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M ’ a pour affixe
z z z
b. Soient B et C les points d’affixes respectives 2 i et – 2 i. Calculer les affixes des points B ’ et C ’ images
respectives des points B et C.
c. Placer les points B , C , B ’ et C ’ sur la figure.
- Déterminer l’ensemble des points M tels que M ’ = M.
- Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M ’ appartient
au segment [ KL ] où K et L sont les points d’affixes respectives – 1 et 1.
Correction
- a. 1
z OM OM z z z
; (^) 1
u ; OM arg arg z u ; OM z
à 2 près.
b. Le point A appartient au cercle de centre O et
de rayon 2. B est le symétrique de A par rapport à
O^ ; u ^ ,^ A^1 est sur la droite ( OB ) à la distance 1/
de O , A ’ est le milieu de [ AA 1 ].
- a. Si M 1 a pour affixe
z
, le milieu M ’ de [ MM 1 ]
a pour affixe 1
M M z z z z z
b. '
z (^) B i i i i i
'
C z i i i i i
c. Bof…
z ' z 2 z z z z 1 z z
d’où les
solutions z 1.
A'
A
B
A
u
v
x
O
- Si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son affixe est
i e
et son image M ’ a
pour affixe
' cos 2 2
i i i i
z e e e e
qui appartient bien au segment [ KL ]=[–1 ; +1].
5. Exercice 4 (spécialistes)
5 points
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
- a. Déterminer l’ensemble des couples ( x , y ) de nombres entiers relatifs, solution de l’équation
(E) : 8 x – 5 y = 3.
b. Soit m un nombre entier relatif tel qu’il existe un couple ( p , q ) de nombres entiers vérifiant m = 8 p +
et m = 5 q +4. Montrer que le couple ( p , q ) est solution de l’équation (E) et en déduire que m 9 (modulo
40).
c. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000.
- Soit n un nombre entier naturel.
a. Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 2^3 k^ 1(modulo 7).
Quel est le reste dans la division euclidienne de 2^2009 par 7?
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a 0.
On considère le nombre
3 N a 10 b. On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme
N a 00 b.
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a. Vérifier que 10 3
b. En déduire tous les nombres entiers N cherchés.
Correction
- a. Solution évidente : (1, 1), puis en soustrayant :
x k x y k y k
^ ^
^
b. On calcule
m p
et
m q
puis on remplace :
m m m m
. Ok.
Comme p et q sont solutions de (E), ils sont de la forme du 1. a. : m 8 p 1 8 1 5 k (^) 1 9 40 k et
pareil avec q.
c. min m 2000 9 40 k 2000 k 49,... k 50 m 2009 … ah, ah, ah…
